IDZ Ryabushko 3.2 Opción 3

No. 1 Para un triángulo dado ∆ABC con vértices A(1;7); B(–3,–1); Es necesario encontrar C(11;–3):

a) Ecuación del lado AB. Para hacer esto, necesitas calcular los coeficientes de la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos dados usando la fórmula: y = kx + b. Donde k es la pendiente de la recta y b es la intersección con el eje y de la recta (es decir, el valor de y cuando x = 0). Así, los coeficientes de la ecuación del lado AB se pueden encontrar de la siguiente manera:

k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-1 - 7) / (-3 - 1) = -2 b = y1 - k * x1 = 7 - (-2) * 1 = 9

Por tanto, la ecuación del lado AB es y = -2x + 9.

b) Ecuación de altura CH. La altura CH pasa por el vértice C y es perpendicular al lado AB. El primer paso es encontrar la ecuación de la recta paralela al lado AB que pasa por el punto C. Esto se puede hacer usando una fórmula usando el coeficiente de pendiente, que es igual a -2 (como calculamos en el paso a)):

y = kx + b = -2x + b -3 = -2 * 11 + b b = 19

Por tanto, la ecuación de una recta paralela al lado AB y que pasa por el punto C es y = -2x + 19.

Luego, para encontrar la ecuación de la altura CH, necesitas encontrar la ecuación de una línea recta perpendicular al lado AB y que pasa por el punto C. Dicha línea recta debe tener un coeficiente de pendiente de 1/2 (ya que el producto de la pendiente Los coeficientes de las líneas perpendiculares deben ser iguales a -1). El punto de intersección de la altura CH con el lado AB se puede encontrar como el punto de intersección de las ecuaciones de estas dos rectas:

y = -2x + 9 y = (1/2)x - 13/2

Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos las coordenadas del punto de intersección: N(5/2; 2).

B) Ecuación de la mediana AM. La mediana AM es la recta que pasa por el vértice A y el centro del lado BC. Primero necesitas encontrar las coordenadas del centro del lado del sol:

x = (x2 + x3) / 2 = (-3 + 11) / 2 = 4 y = (y2 + y3) / 2 = (-1 - 3) / 2 = -2

Por tanto, el centro del lado BC tiene coordenadas (4; -2).

Luego, usando la fórmula para la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados, podemos encontrar la ecuación de la mediana AM:

k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-2 - 7) / (4 - 1) = -3/1 b = y1 - k* x1 = 7 - (-3/1) * 1 = 10

Por tanto, la ecuación para la mediana AM es y = -3x + 10.

d) Ya hemos encontrado el punto N de la intersección de la mediana M y la altura CH en el punto b) - este es el punto N(5/2; 2).

e) Ecuación de una recta que pasa por el vértice C y es paralela al lado AB. Para hacer esto, es necesario utilizar el mismo coeficiente de pendiente que encontramos en el punto a), así como el punto C:

y = kx + b = -2x + b -3 = -2 * 11 + b b = 19

Por tanto, la ecuación de la recta que pasa por el vértice C y es paralela al lado AB es y = -2x + 19.

e) Distancia del punto C a la recta AB. La distancia de un punto a una recta se puede encontrar usando la fórmula: d = |ax + by + c| / sqrt(a^2 + b^2), donde a, b y c son los coeficientes de la ecuación de una recta en forma general (ax + by + c = 0), y x e y son las coordenadas del punto .

Para la ecuación del lado AB, que encontramos en el punto a), los coeficientes son: a = -2, b = 1 y c = -9.

El punto C tiene coordenadas (11; -3).

Por tanto, la distancia del punto C a la recta AB es:

re = |-211 + 1(-3) - 9| / raíz cuadrada ((-2) ^ 2 + 1 ^ 2) = 5 raíz cuadrada (5).

No. 2 Dados dos vértices del triángulo ABC: A(–4;4); B(4;–12) y el punto M(4;2), que es el punto de intersección de las alturas. Es necesario encontrar las coordenadas del vértice C.

Primero, necesitas encontrar las ecuaciones de las tres altitudes del triángulo ABC, que se cruzan en el punto M.

La altura que pasa por el vértice A será perpendicular al lado BC y pasará por el punto A (-4; 4). Entonces su ecuación será:

x = -4

La altura que pasa por el vértice B será perpendicular al lado AC y pasará por el punto B (4, -12). Entonces su ecuación será:

y = -3x - 12

La altura que pasa por el vértice C será perpendicular al lado AB y pasará por el punto C(x, y). Entonces su ecuación será:

y = 2x + k

donde k es el valor de y cuando la altura intersecta el eje y (es decir, el valor de y cuando x = 0).

Para encontrar las coordenadas del vértice C, necesitas encontrar el punto de intersección de las tres alturas. Para hacer esto, necesitas resolver el sistema de ecuaciones:

x = -4 y = -3x - 12 y = 2x + k

Sustituyendo la primera ecuación en la segunda, encontramos y = 0. Sustituyendo este valor de y en la tercera ecuación, encontramos k = 0. Por lo tanto, la ecuación para la altura que pasa por el vértice

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Para encontrar las coordenadas del vértice C, es necesario encontrar el punto de intersección de las tres alturas. Para hacer esto, necesitas resolver un sistema de ecuaciones que describa tres alturas y sustituir las coordenadas del punto M(4;2) en cada ecuación. La altura que pasa por el vértice A tiene la ecuación x = -4. La altura que pasa por el vértice B tiene la ecuación y = -3x - 12. La altura que pasa por el vértice C tiene la ecuación y = 2x + k.

Dado que el punto M(4;2) se encuentra en las tres alturas, sus coordenadas satisfacen cada una de las ecuaciones: 4 = -4 (para altura que pasa por el vértice A) 2 = -3 * 4 - 12 = -24 (para la altura que pasa por el vértice B) 2 = 2 * 4 + k, k = -6 (para la altura que pasa por el vértice C)

Por tanto, la ecuación para la altura que pasa por el vértice C tiene la forma y = 2x - 6. Para encontrar las coordenadas del vértice C, es necesario encontrar el punto de intersección de esta altura con la recta AB. Para ello resolvemos el sistema de ecuaciones: y = 2x - 6 (ecuación de la altura que pasa por el vértice C) y = -3x + b (ecuación de la recta AB)

Sustituimos una ecuación por otra y encontramos el valor de x: 2x - 6 = -3x + segundo 5x = b + 6 x = (b + 6) / 5

Como el punto se encuentra sobre la recta AB, sus coordenadas satisfacen la ecuación de la recta: y = -3x + b

Sustituimos el valor de x encontrado y encontramos el valor de y: y = -3 * (b + 6) / 5 + b = -3b / 5 - 18 / 5

Así, las coordenadas del vértice C son iguales a: x = (b + 6) / 5 y = -3b / 5 - 18 / 5

El valor de b se puede encontrar sabiendo que el punto C se encuentra en la recta AB. Para hacer esto, necesita encontrar el coeficiente de pendiente de la línea recta AB y sustituir las coordenadas de uno de los vértices (por ejemplo, el punto A) y el coeficiente encontrado en la ecuación de la línea recta: k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-12 - 4) / (4 - (-4)) = -2/3 y = -2/3x + b (ecuación de la recta AB) 4 = -2/3 * (-4) + segundo segundo = -8/3

Así, las coordenadas del vértice C son iguales a: x = (b + 6) / 5 = (-8/3 + 6) / 5 = -2/15 y = -3b / 5 - 18 / 5 = 8/3 - 18/5 = -2/15

Respuesta: las coordenadas del vértice C son (-2/15; -2/15).

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IDZ Ryabushko 3.2 Opción 3 es una tarea matemática que incluye dos tareas:

1. Encuentra varios parámetros del triángulo ∆ABC definido por sus vértices: a) Ecuación del lado AB; b) Ecuación de la altura CH descendida desde el vértice C al lado AB; c) Ecuación de la mediana AM trazada desde el vértice A hasta la mitad del lado BC; d) Punto N de intersección de la mediana AM y la altura CH; e) Ecuación de una recta que pasa por el vértice C y es paralela al lado AB; f) Distancia del punto C a la recta AB.

2. Encuentra las coordenadas del tercer vértice del triángulo ∆ABC si las coordenadas de sus dos vértices A(-4;4), B(4;-12) y el punto de intersección de las altitudes del triángulo M(4;2 ) son conocidos.

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