IDZ Ryabushko 3.2 Option 3

Nr. 1 Für ein gegebenes Dreieck ∆ABC mit Eckpunkten A(1;7); B(–3,–1); C(11;–3) muss gefunden werden:

a) Gleichung der Seite AB. Dazu müssen Sie die Koeffizienten der Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft, mit der Formel berechnen: y = kx + b. Dabei ist k die Steigung der Linie und b der y-Achsenabschnitt der Linie (d. h. der Wert von y, wenn x = 0). Somit können die Koeffizienten der Gleichung der Seite AB wie folgt ermittelt werden:

k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-1 - 7) / (-3 - 1) = -2 b = y1 - k * x1 = 7 - (-2) * 1 = 9

Somit lautet die Gleichung der Seite AB y = -2x + 9.

b) Gleichung der CH-Höhe. Die Höhe CH verläuft durch den Scheitelpunkt C und steht senkrecht zur Seite AB. Der erste Schritt besteht darin, die Gleichung der Linie parallel zur Seite AB zu finden, die durch den Punkt C verläuft. Dies kann mithilfe einer Formel unter Verwendung des Steigungskoeffizienten erfolgen, der gleich -2 ist (wie wir in Schritt a) berechnet haben):

y = kx + b = -2x + b -3 = -2 * 11 + b b = 19

Somit lautet die Gleichung einer Geraden parallel zur Seite AB, die durch den Punkt C verläuft, y = -2x + 19.

Um dann die Gleichung für die Höhe CH zu finden, müssen Sie die Gleichung einer geraden Linie finden, die senkrecht zur Seite AB steht und durch den Punkt C verläuft. Eine solche gerade Linie muss einen Steigungskoeffizienten von 1/2 haben (da das Produkt der Steigung Koeffizienten senkrechter Linien müssen gleich -1 sein). Der Schnittpunkt der Höhe CH mit der Seite AB ergibt sich als Schnittpunkt der Gleichungen dieser beiden Geraden:

y = -2x + 9 y = (1/2)x - 13/2

Wenn wir dieses Gleichungssystem lösen, erhalten wir die Koordinaten des Schnittpunkts: N(5/2; 2).

B) Gleichung des Medians AM. Der Median AM ist die Linie, die durch den Scheitelpunkt A und die Mitte der Seite BC verläuft. Zuerst müssen Sie die Koordinaten der Mitte der Sonnenseite ermitteln:

x = (x2 + x3) / 2 = (-3 + 11) / 2 = 4 y = (y2 + y3) / 2 = (-1 - 3) / 2 = -2

Somit hat die Mitte der Seite BC die Koordinaten (4; -2).

Dann können wir mithilfe der Formel für die Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft, die Gleichung des Medians AM finden:

k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-2 - 7) / (4 - 1) = -3/1 b = y1 - k* x1 = 7 - (-3/1) * 1 = 10

Somit lautet die Gleichung für den Median AM y = -3x + 10.

d) Den Punkt N des Schnittpunkts des Medians M und der Höhe CH in Punkt b) haben wir bereits gefunden – das ist der Punkt N(5/2; 2).

e) Gleichung einer Geraden, die durch den Scheitelpunkt C verläuft und parallel zur Seite AB verläuft. Dazu müssen Sie denselben Steigungskoeffizienten verwenden, den wir in Punkt a) sowie in Punkt C gefunden haben:

y = kx + b = -2x + b -3 = -2 * 11 + b b = 19

Somit lautet die Gleichung der Linie, die durch den Scheitelpunkt C verläuft und parallel zur Seite AB verläuft, y = -2x + 19.

e) Abstand vom Punkt C zur Geraden AB. Der Abstand von einem Punkt zu einer Linie kann mit der Formel ermittelt werden: d = |ax + by + c| / sqrt(a^2 + b^2), wobei a, b und c die Koeffizienten der Gleichung einer Geraden in allgemeiner Form (ax + by + c = 0) und x und y die Koordinaten des Punktes sind .

Für die Gleichung der Seite AB, die wir in Punkt a) gefunden haben, sind die Koeffizienten: a = -2, b = 1 und c = -9.

Punkt C hat die Koordinaten (11; -3).

Somit beträgt der Abstand vom Punkt C zur Geraden AB:

d = |-211 + 1(-3) - 9| / sqrt((-2)^2 + 1^2) = 5sqrt(5).

Nr. 2 Gegeben sind zwei Eckpunkte des Dreiecks ABC: A(–4;4); B(4;–12) und Punkt M(4;2), der der Schnittpunkt der Höhen ist. Es ist notwendig, die Koordinaten des Scheitelpunkts C zu finden.

Zuerst müssen Sie die Gleichungen der drei Höhen des Dreiecks ABC finden, die sich im Punkt M schneiden.

Die durch den Scheitelpunkt A verlaufende Höhe ist senkrecht zur Seite BC und verläuft durch Punkt A (-4; 4). Die Gleichung lautet also:

x = -4

Die durch den Scheitelpunkt B verlaufende Höhe verläuft senkrecht zur Seite AC und verläuft durch Punkt B (4, -12). Die Gleichung lautet also:

y = -3x - 12

Die durch den Scheitelpunkt C verlaufende Höhe steht senkrecht zur Seite AB und verläuft durch den Punkt C(x, y). Die Gleichung lautet also:

y = 2x + k

Dabei ist k der y-Wert, wenn die Höhe die y-Achse schneidet (d. h. der y-Wert, wenn x = 0).

Um die Koordinaten des Scheitelpunkts C zu ermitteln, müssen Sie den Schnittpunkt aller drei Höhen ermitteln. Dazu müssen Sie das Gleichungssystem lösen:

x = -4 y = -3x - 12 y = 2x + k

Wenn wir die erste Gleichung in die zweite einsetzen, finden wir y = 0. Wenn wir diesen y-Wert in die dritte Gleichung einsetzen, finden wir k = 0. Somit ergibt sich die Gleichung für die Höhe, die durch den Scheitelpunkt verläuft

„IDZ Ryabushko 3.2 Option 3“ ist ein digitales Produkt, das in unserem Shop für digitale Waren präsentiert wird. Hierbei handelt es sich um einen pädagogischen und methodischen Komplex, der Aufgaben für die selbstständige Arbeit der Studierenden im Fach „Mathematische Analysis“ enthält.

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Um die Koordinaten des Scheitelpunkts C zu ermitteln, muss der Schnittpunkt aller drei Höhen ermittelt werden. Dazu müssen Sie ein Gleichungssystem lösen, das drei Höhen beschreibt, und die Koordinaten des Punktes M(4;2) in jede Gleichung einsetzen. Die durch den Scheitelpunkt A verlaufende Höhe hat die Gleichung x = -4. Die durch den Scheitelpunkt B verlaufende Höhe hat die Gleichung y = -3x - 12. Die durch den Scheitelpunkt C verlaufende Höhe hat die Gleichung y = 2x + k.

Da der Punkt M(4;2) auf allen drei Höhen liegt, erfüllen seine Koordinaten jede der Gleichungen: 4 = -4 (für die Höhe durch Scheitelpunkt A) 2 = -3 * 4 - 12 = -24 (für die Höhe durch den Scheitelpunkt B) 2 = 2 * 4 + k, k = -6 (für die Höhe durch den Scheitelpunkt C)

Somit hat die Gleichung der Höhe, die durch den Scheitelpunkt C verläuft, die Form y = 2x - 6. Um die Koordinaten des Scheitelpunkts C zu finden, ist es notwendig, den Schnittpunkt dieser Höhe mit der Linie AB zu finden. Dazu lösen wir das Gleichungssystem: y = 2x - 6 (Gleichung der Höhe durch den Scheitelpunkt C) y = -3x + b (Gleichung der Linie AB)

Wir ersetzen eine Gleichung durch eine andere und ermitteln den Wert von x: 2x - 6 = -3x + b 5x = b + 6 x = (b + 6) / 5

Da der Punkt auf der Geraden AB liegt, erfüllen seine Koordinaten die Geradengleichung: y = -3x + b

Wir ersetzen den gefundenen x-Wert und ermitteln den y-Wert: y = -3 * (b + 6) / 5 + b = -3b / 5 - 18 / 5

Somit sind die Koordinaten des Scheitelpunkts C gleich: x = (b + 6) / 5 y = -3b / 5 - 18 / 5

Der Wert von b kann ermittelt werden, wenn man weiß, dass Punkt C auf der Linie AB liegt. Dazu müssen Sie den Steigungskoeffizienten der Geraden AB ermitteln und die Koordinaten eines der Eckpunkte (z. B. Punkt A) und den gefundenen Koeffizienten in die Gleichung der Geraden einsetzen: k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-12 - 4) / (4 - (-4)) = -2/3 y = -2/3x + b (Gleichung der Linie AB) 4 = -2/3 * (-4) + b b = -8/3

Somit sind die Koordinaten des Scheitelpunkts C gleich: x = (b + 6) / 5 = (-8/3 + 6) / 5 = -2/15 y = -3b / 5 - 18 / 5 = 8/3 - 18/5 = -2/15

Antwort: Die Koordinaten des Scheitelpunkts C sind (-2/15; -2/15).

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IDZ Ryabushko 3.2 Option 3 ist eine Mathematikaufgabe, die zwei Aufgaben umfasst:

1. Finden Sie verschiedene Parameter des durch seine Eckpunkte definierten Dreiecks ∆ABC: a) Gleichung der Seite AB; b) Gleichung der Höhe CH, abgesenkt vom Scheitelpunkt C zur Seite AB; c) Gleichung des Medians AM vom Scheitelpunkt A zur Mitte der Seite BC; d) Punkt N des Schnittpunkts des Medians AM und der Höhe CH; e) Gleichung einer Geraden, die durch den Scheitelpunkt C verläuft und parallel zur Seite AB verläuft; e) Abstand vom Punkt C zur Linie AB.

2. Finden Sie die Koordinaten des dritten Scheitelpunkts des Dreiecks ∆ABC, wenn die Koordinaten seiner beiden Scheitelpunkte A(-4;4), B(4;-12) und der Schnittpunkt der Höhen des Dreiecks M(4;2 ) sind bekannt.

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