IDZ Ryabushko 3.2 Opção 3

Nº 1 Para um determinado triângulo ∆ABC com vértices A(1;7); B(–3,–1); C(11;–3) precisa ser encontrado:

a) Equação do lado AB. Para fazer isso, você precisa calcular os coeficientes da equação de uma linha reta que passa por dois pontos dados usando a fórmula: y = kx + b. Onde k é a inclinação da reta e b é a interceptação y da reta (ou seja, o valor de y quando x = 0). Assim, os coeficientes da equação do lado AB podem ser encontrados da seguinte forma:

k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-1 - 7) / (-3 - 1) = -2 b = y1 - k * x1 = 7 - (-2) * 1 = 9

Assim, a equação do lado AB é y = -2x + 9.

b) Equação da altura do CH. A altura CH passa pelo vértice C e é perpendicular ao lado AB. O primeiro passo é encontrar a equação da reta paralela ao lado AB que passa pelo ponto C. Isso pode ser feito usando uma fórmula que utiliza o coeficiente de inclinação, que é igual a -2 (como calculamos no passo a)):

y = kx + b = -2x + b -3 = -2 * 11 + b b = 19

Assim, a equação de uma reta paralela ao lado AB e que passa pelo ponto C é y = -2x + 19.

Então, para encontrar a equação da altura CH, você precisa encontrar a equação de uma linha reta perpendicular ao lado AB e passando pelo ponto C. Essa linha reta deve ter um coeficiente de inclinação de 1/2 (já que o produto da inclinação os coeficientes das retas perpendiculares devem ser iguais a -1). O ponto de intersecção da altura CH com o lado AB pode ser encontrado como o ponto de intersecção das equações destas duas retas:

y = -2x + 9 y = (1/2)x - 13/2

Resolvendo este sistema de equações, obtemos as coordenadas do ponto de intersecção: N(5/2; 2).

B) Equação da mediana AM. A mediana AM é a linha que passa pelo vértice A e pelo ponto médio do lado BC. Primeiro você precisa encontrar as coordenadas do meio do lado do sol:

x = (x2 + x3) / 2 = (-3 + 11) / 2 = 4 y = (y2 + y3) / 2 = (-1 - 3) / 2 = -2

Assim, o meio do lado BC tem coordenadas (4; -2).

Então, usando a fórmula da equação de uma reta que passa por dois pontos dados, podemos encontrar a equação da mediana AM:

k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-2 - 7) / (4 - 1) = -3/1 b = y1 - k* x1 = 7 - (-3/1) * 1 = 10

Assim, a equação para a mediana AM é y = -3x + 10.

d) Já encontramos o ponto N da intersecção da mediana M e a altura CH no ponto b) - este é o ponto N(5/2; 2).

e) Equação de uma reta que passa pelo vértice C e é paralela ao lado AB. Para fazer isso, você precisa usar o mesmo coeficiente de inclinação que encontramos no ponto a), bem como no ponto C:

y = kx + b = -2x + b -3 = -2 * 11 + b b = 19

Assim, a equação da reta que passa pelo vértice C e paralela ao lado AB é y = -2x + 19.

e) Distância do ponto C à reta AB. A distância de um ponto a uma reta pode ser encontrada usando a fórmula: d = |ax + by + c| / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2), onde a, b e c são os coeficientes da equação de uma reta na forma geral (ax + by + c = 0), e x e y são as coordenadas do ponto .

Para a equação do lado AB, que encontramos no ponto a), os coeficientes são: a = -2, b = 1 e c = -9.

O ponto C possui coordenadas (11; -3).

Assim, a distância do ponto C à reta AB é:

d = |-211 + 1(-3) - 9| /sqrt((-2)^2 + 1^2) = 5sqrt(5).

Nº 2 Dados dois vértices do triângulo ABC: A(–4;4); B(4;–12) e ponto M(4;2), que é o ponto de intersecção das alturas. É necessário encontrar as coordenadas do vértice C.

Primeiro você precisa encontrar as equações das três alturas do triângulo ABC que se cruzam no ponto M.

A altura que passa pelo vértice A será perpendicular ao lado BC e passará pelo ponto A (-4; 4). Então sua equação será:

x = -4

A altura que passa pelo vértice B será perpendicular ao lado AC e passará pelo ponto B (4, -12). Então sua equação será:

y = -3x - 12

A altura que passa pelo vértice C será perpendicular ao lado AB e passará pelo ponto C(x, y). Então sua equação será:

y = 2x + k

onde k é o valor de y quando a altura cruza o eixo y (ou seja, o valor de y quando x = 0).

Para encontrar as coordenadas do vértice C, você precisa encontrar o ponto de intersecção de todas as três alturas. Para fazer isso, você precisa resolver o sistema de equações:

x = -4 y = -3x - 12 y = 2x + k

Substituindo a primeira equação na segunda, encontramos y = 0. Substituindo este valor de y na terceira equação, encontramos k = 0. Assim, a equação para a altura que passa pelo vértice

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Para encontrar as coordenadas do vértice C, é necessário encontrar o ponto de intersecção das três alturas. Para fazer isso, você precisa resolver um sistema de equações que descreve três alturas e substituir as coordenadas do ponto M(4;2) em cada equação. A altura que passa pelo vértice A tem a equação x = -4. A altura que passa pelo vértice B tem a equação y = -3x - 12. A altura que passa pelo vértice C tem a equação y = 2x + k.

Como o ponto M(4;2) está em todas as três alturas, suas coordenadas satisfazem cada uma das equações: 4 = -4 (para altura passando pelo vértice A) 2 = -3 * 4 - 12 = -24 (para a altura que passa pelo vértice B) 2 = 2 * 4 + k, k = -6 (para a altura que passa pelo vértice C)

Assim, a equação da altura que passa pelo vértice C tem a forma y = 2x - 6. Para encontrar as coordenadas do vértice C, é necessário encontrar o ponto de intersecção desta altura com a reta AB. Para fazer isso, resolvemos o sistema de equações: y = 2x - 6 (equação da altura passando pelo vértice C) y = -3x + b (equação da linha AB)

Substituímos uma equação por outra e encontramos o valor de x: 2x - 6 = -3x + b 5x = b + 6 x = (b + 6)/5

Como o ponto está na reta AB, suas coordenadas satisfazem a equação da reta: y = -3x + b

Substituímos o valor x encontrado e encontramos o valor y: y = -3 * (b + 6) / 5 + b = -3b / 5 - 18/5

Assim, as coordenadas do vértice C são iguais a: x = (b + 6)/5 y = -3b/5 - 18/5

O valor de b pode ser encontrado sabendo que o ponto C está na linha AB. Para fazer isso, você precisa encontrar o coeficiente de inclinação da reta AB e substituir as coordenadas de um dos vértices (por exemplo, ponto A) e o coeficiente encontrado na equação da reta: k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-12 - 4) / (4 - (-4)) = -2/3 y = -2/3x + b (equação da linha AB) 4 = -2/3 * (-4) + b b = -8/3

Assim, as coordenadas do vértice C são iguais a: x = (b + 6) / 5 = (-8/3 + 6) / 5 = -2/15 y = -3b/5 - 18/5 = 8/3 - 18/5 = -2/15

Resposta: as coordenadas do vértice C são (-2/15; -2/15).

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IDZ Ryabushko 3.2 Opção 3 é uma tarefa matemática que inclui duas tarefas:

Encontre vários parâmetros do triângulo ∆ABC definidos por seus vértices: a) Equação do lado AB; b) Equação da altura CH rebaixada do vértice C ao lado AB; c) Equação da mediana AM traçada do vértice A até o meio do lado BC; d) Ponto N de intersecção da mediana AM e altura CH; e) Equação de uma reta que passa pelo vértice C e é paralela ao lado AB; f) Distância do ponto C à linha AB.
Encontre as coordenadas do terceiro vértice do triângulo ∆ABC se as coordenadas de seus dois vértices A(-4;4), B(4;-12) e o ponto de intersecção das altitudes do triângulo M(4;2 ) são conhecidos.

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