IDZ Ryabushko 3.2 Option 3

N°1 Pour un triangle donné ∆ABC de sommets A(1;7) ; B(–3,–1); C(11;–3) doit être trouvé :

a) Équation du côté AB. Pour ce faire, vous devez calculer les coefficients de l'équation d'une droite passant par deux points donnés à l'aide de la formule : y = kx + b. Où k est la pente de la ligne et b est l'ordonnée à l'origine de la ligne (c'est-à-dire la valeur de y lorsque x = 0). Ainsi, les coefficients de l’équation du côté AB peuvent être trouvés comme suit :

k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-1 - 7) / (-3 - 1) = -2 b = y1 - k * x1 = 7 - (-2) * 1 = 9

Ainsi, l’équation du côté AB est y = -2x + 9.

b) Équation de la hauteur CH. La hauteur CH passe par le sommet C et est perpendiculaire au côté AB. La première étape consiste à trouver l'équation de la droite parallèle au côté AB passant par le point C. Cela peut être fait à l'aide d'une formule utilisant le coefficient de pente, qui est égal à -2 (comme nous l'avons calculé à l'étape a)) :

y = kx + b = -2x + b -3 = -2 * 11 + b b = 19

Ainsi, l'équation d'une droite parallèle au côté AB et passant par le point C est y = -2x + 19.

Ensuite, pour trouver l'équation de la hauteur CH, il faut trouver l'équation d'une droite perpendiculaire au côté AB et passant par le point C. Une telle droite doit avoir un coefficient de pente de 1/2 (puisque le produit de la pente les coefficients des droites perpendiculaires doivent être égaux à -1). Le point d'intersection de la hauteur CH avec le côté AB peut être trouvé comme le point d'intersection des équations de ces deux droites :

y = -2x + 9 y = (1/2)x - 13/2

En résolvant ce système d'équations, on obtient les coordonnées du point d'intersection : N(5/2 ; 2).

B) Équation du AM médian. La médiane AM est la droite passant par le sommet A et le milieu du côté BC. Vous devez d’abord trouver les coordonnées du milieu du côté du soleil :

x = (x2 + x3) / 2 = (-3 + 11) / 2 = 4 y = (y2 + y3) / 2 = (-1 - 3) / 2 = -2

Ainsi, le milieu du côté BC a les coordonnées (4 ; -2).

Ensuite, en utilisant la formule de l'équation d'une droite passant par deux points donnés, on peut trouver l'équation de la médiane AM :

k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-2 - 7) / (4 - 1) = -3/1 b = y1 - k* x1 = 7 - (-3/1) * 1 = dix

Ainsi, l’équation du AM médian est y = -3x + 10.

d) Nous avons déjà trouvé le point N de l'intersection de la médiane M et de la hauteur CH au point b) - c'est le point N(5/2 ; 2).

e) Équation d'une droite passant par le sommet C et parallèle au côté AB. Pour ce faire, vous devez utiliser le même coefficient de pente que nous avons trouvé au point a), ainsi qu'au point C :

y = kx + b = -2x + b -3 = -2 * 11 + b b = 19

Ainsi, l’équation de la droite passant par le sommet C et parallèle au côté AB est y = -2x + 19.

e) Distance du point C à la droite AB. La distance d'un point à une ligne peut être trouvée à l'aide de la formule : d = |ax + by + c| / sqrt(a^2 + b^2), où a, b et c sont les coefficients de l'équation d'une droite sous forme générale (ax + by + c = 0), et x et y sont les coordonnées du point .

Pour l'équation du côté AB, que nous avons trouvée au point a), les coefficients sont : a = -2, b = 1 et c = -9.

Le point C a les coordonnées (11; -3).

Ainsi, la distance du point C à la droite AB est :

d = |-211 + 1(-3) - 9| / carré ((-2) ^ 2 + 1 ^ 2) = 5 carré (5).

N° 2 Étant donné deux sommets du triangle ABC : A(–4;4) ; B(4;–12) et le point M(4;2), qui est le point d'intersection des hauteurs. Il faut trouver les coordonnées du sommet C.

Tout d’abord, vous devez trouver les équations des trois altitudes du triangle ABC, qui se coupent au point M.

La hauteur passant par le sommet A sera perpendiculaire au côté BC et passera par le point A (-4 ; 4). Son équation sera donc :

x = -4

La hauteur passant par le sommet B sera perpendiculaire au côté AC et passera par le point B (4, -12). Son équation sera donc :

y = -3x - 12

La hauteur passant par le sommet C sera perpendiculaire au côté AB et passera par le point C(x, y). Son équation sera donc :

y = 2x + k

où k est la valeur y lorsque la hauteur coupe l'axe y (c'est-à-dire la valeur y lorsque x = 0).

Pour trouver les coordonnées du sommet C, vous devez trouver le point d’intersection des trois hauteurs. Pour ce faire, vous devez résoudre le système d'équations :

x = -4 y = -3x - 12 y = 2x + k

En remplaçant la première équation dans la seconde, nous trouvons y = 0. En remplaçant cette valeur y dans la troisième équation, nous trouvons k = 0. Ainsi, l'équation de la hauteur passant par le sommet

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Afin de trouver les coordonnées du sommet C, il est nécessaire de trouver le point d’intersection des trois hauteurs. Pour ce faire, vous devez résoudre un système d'équations décrivant trois hauteurs et substituer les coordonnées du point M(4;2) dans chaque équation. La hauteur passant par le sommet A a l’équation x = -4. La hauteur passant par le sommet B a l'équation y = -3x - 12. La hauteur passant par le sommet C a pour équation y = 2x + k.

Puisque le point M(4;2) se situe aux trois hauteurs, ses coordonnées satisfont chacune des équations : 4 = -4 (pour la hauteur passant par le sommet A) 2 = -3 * 4 - 12 = -24 (pour la hauteur passant par le sommet B) 2 = 2 * 4 + k, k = -6 (pour la hauteur passant par le sommet C)

Ainsi, l'équation de la hauteur passant par le sommet C a la forme y = 2x - 6. Pour trouver les coordonnées du sommet C, il faut trouver le point d'intersection de cette hauteur avec la droite AB. Pour ce faire, nous résolvons le système d'équations : y = 2x - 6 (équation de la hauteur passant par le sommet C) y = -3x + b (équation de la droite AB)

Nous remplaçons une équation par une autre et trouvons la valeur de x : 2x - 6 = -3x + b 5x = b + 6 x = (b + 6) / 5

Puisque le point se trouve sur la droite AB, ses coordonnées satisfont à l’équation de la droite : y = -3x + b

Nous substituons la valeur x trouvée et trouvons la valeur y : y = -3 * (b + 6) / 5 + b = -3b / 5 - 18 / 5

Ainsi, les coordonnées du sommet C sont égales à : x = (b + 6) / 5 y = -3b / 5 - 18 / 5

La valeur de b peut être trouvée sachant que le point C se trouve sur la droite AB. Pour ce faire, vous devez trouver le coefficient de pente de la droite AB et substituer les coordonnées de l'un des sommets (par exemple, le point A) et le coefficient trouvé dans l'équation de la droite : k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-12 - 4) / (4 - (-4)) = -2/3 y = -2/3x + b (équation de la droite AB) 4 = -2/3 * (-4) + b b = -8/3

Ainsi, les coordonnées du sommet C sont égales à : x = (b + 6) / 5 = (-8/3 + 6) / 5 = -2/15 y = -3b / 5 - 18 / 5 = 8/3 - 18/5 = -2/15

Réponse : les coordonnées du sommet C sont (-2/15 ; -2/15).

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IDZ Ryabushko 3.2 Option 3 est une tâche mathématique qui comprend deux tâches :

1. Trouver différents paramètres du triangle ∆ABC défini par ses sommets : a) Équation du côté AB ; b) Équation de la hauteur CH abaissée du sommet C au côté AB ; c) Équation de la médiane AM tracée du sommet A jusqu'au milieu du côté BC ; d) Point N d'intersection du médian AM et de la hauteur CH ; e) Équation d'une droite passant par le sommet C et parallèle au côté AB ; f) Distance du point C à la ligne AB.

2. Trouver les coordonnées du troisième sommet du triangle ∆ABC si les coordonnées de ses deux sommets A(-4;4), B(4;-12) et le point d'intersection des altitudes du triangle M(4;2 ) sont connus.

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