IDZ Ryabushko 3.2 Opzione 3

N. 1 Per un dato triangolo ∆ABC di vertici A(1;7); B(–3,–1); È necessario trovare C(11;–3):

a) Equazione del lato AB. Per fare ciò, devi calcolare i coefficienti dell'equazione di una linea retta passante per due punti dati utilizzando la formula: y = kx + b. Dove k è la pendenza della linea e b è l'intercetta y della linea (ovvero il valore di y quando x = 0). Pertanto, i coefficienti dell'equazione del lato AB possono essere trovati come segue:

k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-1 - 7) / (-3 - 1) = -2 b = y1 - k * x1 = 7 - (-2) * 1 = 9

Pertanto, l'equazione del lato AB è y = -2x + 9.

b) Equazione dell'altezza CH. L'altezza CH passa per il vertice C ed è perpendicolare al lato AB. Il primo passo è trovare l'equazione della linea parallela al lato AB che passa per il punto C. Questo può essere fatto utilizzando una formula che utilizza il coefficiente di pendenza, che è uguale a -2 (come calcolato nel passaggio a)):

y = kx + b = -2x + b -3 = -2 * 11 + b b = 19

Pertanto, l'equazione di una retta parallela al lato AB e passante per il punto C è y = -2x + 19.

Quindi, per trovare l'equazione dell'altezza CH, è necessario trovare l'equazione di una retta perpendicolare al lato AB e passante per il punto C. Tale retta deve avere un coefficiente di pendenza pari a 1/2 (poiché il prodotto della pendenza i coefficienti delle rette perpendicolari devono essere pari a -1). Il punto di intersezione dell'altezza CH con il lato AB può essere trovato come punto di intersezione delle equazioni di queste due rette:

y = -2x + 9 y = (1/2)x - 13/2

Risolvendo questo sistema di equazioni, otteniamo le coordinate del punto di intersezione: N(5/2; 2).

B) Equazione della mediana AM. La mediana AM è la retta che passa per il vertice A e la metà del lato BC. Per prima cosa devi trovare le coordinate del centro del lato del sole:

x = (x2 + x3) / 2 = (-3 + 11) / 2 = 4 y = (y2 + y3) / 2 = (-1 - 3) / 2 = -2

Pertanto, il centro del lato BC ha coordinate (4; -2).

Quindi, utilizzando la formula per l'equazione della retta passante per due punti dati, possiamo trovare l'equazione della mediana AM:

k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-2 - 7) / (4 - 1) = -3/1 b = y1 - k* x1 = 7 - (-3/1) * 1 = 10

Pertanto, l'equazione per la mediana AM è y = -3x + 10.

d) Abbiamo già trovato il punto N dell'intersezione della mediana M e l'altezza CH nel punto b) - questo è il punto N(5/2; 2).

e) Equazione di una retta passante per il vertice C e parallela al lato AB. Per fare questo è necessario utilizzare lo stesso coefficiente di pendenza che abbiamo trovato al punto a), nonché al punto C:

y = kx + b = -2x + b -3 = -2 * 11 + b b = 19

Pertanto, l'equazione della retta passante per il vertice C e parallela al lato AB è y = -2x + 19.

e) Distanza dal punto C alla retta AB. La distanza da un punto a una linea può essere trovata utilizzando la formula: d = |ax + by + c| / sqrt(a^2 + b^2), dove a, b e c sono i coefficienti dell'equazione di una linea in forma generale (ax + by + c = 0), e xey sono le coordinate del punto .

Per l'equazione del lato AB, che abbiamo trovato al punto a), i coefficienti sono: a = -2, b = 1 e c = -9.

Il punto C ha coordinate (11; -3).

Pertanto la distanza dal punto C alla retta AB è:

d = |-211 + 1(-3) - 9| /qq((-2)^2 + 1^2) = 5qq(5).

N. 2 Dati due vertici del triangolo ABC: A(–4;4); B(4;–12) e il punto M(4;2), che è il punto di intersezione delle altezze. È necessario trovare le coordinate del vertice C.

Per prima cosa devi trovare le equazioni delle tre altezze del triangolo ABC, che si intersecano nel punto M.

L'altezza che passa per il vertice A sarà perpendicolare al lato BC e passerà per il punto A (-4; 4). Quindi la sua equazione sarà:

x = -4

L'altezza che passa per il vertice B sarà perpendicolare al lato AC e passerà per il punto B (4, -12). Quindi la sua equazione sarà:

y = -3x - 12

L'altezza che passa per il vertice C sarà perpendicolare al lato AB e passerà per il punto C(x, y). Quindi la sua equazione sarà:

y = 2x + k

dove k è il valore y quando l'altezza interseca l'asse y (ovvero il valore y quando x = 0).

Per trovare le coordinate del vertice C, è necessario trovare il punto di intersezione di tutte e tre le altezze. Per fare ciò, è necessario risolvere il sistema di equazioni:

x = -4 y = -3x - 12 y = 2x + k

Sostituendo la prima equazione nella seconda, troviamo y = 0. Sostituendo questo valore y nella terza equazione, troviamo k = 0. Pertanto, l'equazione per l'altezza che passa attraverso il vertice

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Per trovare le coordinate del vertice C è necessario trovare il punto di intersezione di tutte e tre le altezze. Per fare ciò, devi risolvere un sistema di equazioni che descrivono tre altezze e sostituire le coordinate del punto M(4;2) in ciascuna equazione. L'altezza passante per il vertice A ha l'equazione x = -4. L'altezza passante per il vertice B ha l'equazione y = -3x - 12. L'altezza passante per il vertice C ha l'equazione y = 2x + k.

Poiché il punto M(4;2) giace su tutte e tre le altezze, le sue coordinate soddisfano ciascuna delle equazioni: 4 = -4 (per l'altezza passante per il vertice A) 2 = -3 * 4 - 12 = -24 (per l'altezza passante per il vertice B) 2 = 2 * 4 + k, k = -6 (per l'altezza passante per il vertice C)

Pertanto, l'equazione per l'altezza passante per il vertice C ha la forma y = 2x - 6. Per trovare le coordinate del vertice C, è necessario trovare il punto di intersezione di questa altezza con la retta AB. Per fare ciò, risolviamo il sistema di equazioni: y = 2x - 6 (equazione dell'altezza passante per il vertice C) y = -3x + b (equazione della linea AB)

Sostituiamo un'equazione con un'altra e troviamo il valore di x: 2x - 6 = -3x + b 5x = b + 6 x = (b + 6) / 5

Poiché il punto giace sulla linea AB, le sue coordinate soddisfano l'equazione della linea: y = -3x + b

Sostituiamo il valore x trovato e troviamo il valore y: y = -3 * (b + 6) / 5 + b = -3b / 5 - 18 / 5

Pertanto le coordinate del vertice C sono pari a: x = (b + 6) / 5 y = -3b/5 - 18/5

Il valore di b può essere trovato sapendo che il punto C giace sulla linea AB. Per fare ciò, devi trovare il coefficiente di pendenza della retta AB e sostituire le coordinate di uno dei vertici (ad esempio il punto A) e il coefficiente trovato nell'equazione della retta: k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-12 - 4) / (4 - (-4)) = -2/3 y = -2/3x + b (equazione della linea AB) 4 = -2/3 * (-4) + b b = -8/3

Pertanto le coordinate del vertice C sono pari a: x = (b + 6) / 5 = (-8/3 + 6) / 5 = -2/15 y = -3b / 5 - 18 / 5 = 8/3 - 18/5 = -2/15

Risposta: le coordinate del vertice C sono (-2/15; -2/15).

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IDZ Ryabushko 3.2 Opzione 3 è un compito di matematica che include due compiti:

1. Trova vari parametri del triangolo ∆ABC definiti dai suoi vertici: a) Equazione del lato AB; b) Equazione dell'altezza CH abbassata dal vertice C al lato AB; c) Equazione della mediana AM tracciata dal vertice A alla metà del lato BC; d) Punto N di intersezione della mediana AM con la quota CH; e) Equazione di una retta passante per il vertice C e parallela al lato AB; f) Distanza dal punto C alla linea AB.

2. Trovare le coordinate del terzo vertice del triangolo ∆ABC se le coordinate dei suoi due vertici A(-4;4), B(4;-12) e il punto di intersezione delle altezze del triangolo M(4;2 ) sono conosciuti.

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