IDZ Ryabushko 3.1 选项 6

1号。给出四个点：A1(0;7;1)、A2(2;-1;5)、A3(1;6;3)、A4(3;-9;8)。有必要创建方程：

a) 通过A1、A2、A3点的平面方程：

要找到经过三点的平面方程，可以使用以下公式：

(x - x1)(y2 - y1)(z3 - z1) + (x2 - x1)(y - y1)(z3 - z1) + (x2 - x1)(y2 - y1)(z - z1) = 0,

其中 x, y, z 是平面上任意点的坐标，x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3 是给定点的坐标。

让我们代入这些点的坐标并得到平面的方程：

(2 - x)(-8) + (0 - 2)(13) + (0 - 7)(3 - 1) = 0

让我们简化一下：

-16 + 26 - 12 = 0

因此，平面 A1A2A3 的方程具有以下形式：

-8x + 13y - 12z + 6 = 0。

b) 通过A1、A2点的直线方程：

要找到穿过两个给定点的直线方程，您可以使用以下公式：

x = x1 + y = y1 + bt z = z1 + ct，

其中x1，y1，z1和x2，y2，z2是给定点的坐标，a，b，c是引导系数，t是参数。

我们来求指导系数：

a = x2 - x1 = 2 - 0 = 2 b = y2 - y1 = -1 - 7 = -8 c = z2 - z1 = 5 - 1 = 4

我们将坐标和方向系数的值代入，得到直线的方程：

x = 2t y = -8t + 7 z = 4t + 1

c) 过点A4并垂直于平面A1A2A3的直线方程：

要找到垂直于给定平面并穿过给定点的直线方程，必须使用以下步骤：

1. 求通过给定点并垂直于给定平面的平面方程。
2. 求找到的平面与穿过给定点并平行于给定平面的直线的交点。
3. 写出穿过给定点和找到的交点的直线的方程。

让我们求垂直于平面 A1A2A3 并经过点 A4 的平面的方程。为此，您可以使用以下公式：

-8x + 13y - 12z + d = 0，

其中 d 是需要找到的未知系数。将A4点坐标代入，得到平面方程：

-83 +13(-9) - 12*8 + d = 0

让我们解方程并找到 d：

d = 169

因此，通过点 A4 并垂直于平面 A1A2A3 的平面方程具有以下形式：

-8x + 13y - 12z + 169 = 0。

让我们找到找到的平面与直线 A1A2 的交点。为此，我们将直线方程代入平面方程并求解所得方程组：

-8(2t) + 13(-8t + 7) - 12(4t + 1) + 169 = 0

求解方程，我们得到参数 t 的值：

t = -3/4

现在，让我们找到交点的坐标：

x = 2(-3/4) = -3/2 y = -8(-3/4) + 7 = 13 z = 4(-3/4) + 1 = -2

因此，交点的坐标为 (-3/2; 13; -2)。仍然需要为穿过点 A4 和 (-3/2; 13; -2) 的直线创建方程。为此，我们使用穿过两点的直线方程的公式：

x = 3 - 5/4t y = -9 + 40/3t z = 8 - 11/2t

其中 t 是一个参数。

d) 平行于直线 A1A2 并经过点 A3 的直线方程：

要找到与给定直线平行并穿过给定点的直线方程，必须使用以下公式：

x = x1 + y = y1 + bt z = z1 + ct，

其中x1，y1，z1是给定点的坐标，a，b，c是引导系数，它必须等于给定直线的引导系数。

我们来求给定直线 A1A2 的引导系数：

a = 2 - 0 = 2 b = -1 - 7 = -8 c = 5 - 1 = 4

因此，平行于线 A1A2 并经过点 A3 的线的方程具有以下形式：

x = 1 + 2t y = 6 - 8t z = 3 + 4t

e) 过点A4并垂直于直线A1A2的平面方程：

要找到垂直于给定直线并通过给定点的平面的方程，必须使用以下公式：

a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0,

其中x0，y0，z0是给定点的坐标，a，b，c是方向系数，必须垂直于给定直线的方向向量。

让我们求给定直线 A1A2 的方向向量：

u = (2, -8, 4)

因此，平面的引导系数必须垂直

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IDZ Ryabushko 3.1 选项 6 是一项数学任务，其中包括查找穿过给定点或平行/垂直于给定直线和平面的直线和平面方程的多项任务。

任务给出四个点：A1(0;7;1)、A2(2;-1;5)、A3(1;6;3)、A4(3;-9;8)，需要创建方程：

a) 通过A1、A2、A3点的平面方程； b) 通过A1、A2点的直线方程； c) 过点A4并垂直于平面A1A2A3的直线方程； d) 平行于直线A1A2并经过点A3的直线方程； e) 穿过点A4并垂直于直线A1A2的平面方程。

为了解决每个问题，使用任务条件中描述的适当的公式和方法。

IDZ Ryabushko 3.1 选项 6 是一组数学任务，包括求解平面和直线方程，以及查找方向系数和垂直平面。

该任务给出四个点：A1(0;7;1)、A2(2;-1;5)、A3(1;6;3)、A4(3;-9;8)。需要解决以下任务：

a) 求经过A1、A2、A3点的平面方程。为此，您可以使用一个公式将平面上任意点的坐标与给定点的坐标连接起来。

b) 求通过点 A1 和 A2 的直线方程。为此，您需要使用公式将线上任意点的坐标与给定点的坐标连接起来。

c) 求通过点 A4 并垂直于平面 A1A2A3 的直线方程。为此，您首先需要找到垂直于给定平面并穿过给定点的平面的方程。然后，您需要找到该平面与穿过给定点并平行于给定平面的直线的交点。最后，您需要为穿过给定点和找到的交点的直线创建方程。

d) 求与A1A2 线平行并经过A3 点的直线方程。为此，您需要使用公式将线上任意点的坐标与给定点的坐标和给定线的引导系数连接起来。

e) 求通过点 A4 并垂直于线 A1A2 的平面方程。为此，您需要使用一个公式将平面上任意点的坐标与给定点的坐标和引导系数连接起来，引导系数必须垂直于给定直线的引导。

***

IDZ Ryabushko 3.1 选项 6 是一个几何任务，包含多个不同复杂度的子任务。

1号。在第一个任务中，在三维空间中给出四个点，您还需要创建穿过这些点的平面和直线的方程，计算角度并找到垂线和平行线。

a) 要编译平面 A1A2A3 的方程，可以使用平面 Ax + By + Cz + D = 0 的一般方程的公式，其中系数 A、B 和 C 使用向量的向量积确定在这个平面上。因此，平面 A1A2A3 的方程具有以下形式：

-5x + 7y - 11z + 44 = 0

b) 要编写直线 A1A2 的方程，可以使用直线参数方程的公式，其形式为：

x = 2t y = 7 - 4t z = 1 + 4t

c) 编制直线A4M 方程，可以使用经过A4 点和M 点的直线参数方程的公式。M 点没有指定，因此必须任意选择。例如，您可以取点 M(0,0,0)。则直线 A4M 的参数方程为：

x = 3t y = -9 - 3t z = 8 - 2t

可以使用该平面的法向量找到与平面 A1A2A3 的垂直线，该法向量由该平面方程的系数确定。因此，平面 A1A2A3 的法向量的坐标为 (-5, 7, -11)，垂直于平面 A1A2A3 的直线 A4N 的方程为：

x = 3 + 5t y = -9 - 7t z = 8 + 11t

d) 直线 A3N 与直线 A1A2 平行，这意味着它的方向矢量将与直线 A1A2 的方向矢量重合。直线 A1A2 的方向向量的坐标为 (2, -8, 4)，因此直线 A3N 的方程将具有以下形式：

x = 1 + 2t y = 6 - 8t z = 3 + 4t

e) 穿过点 A4 并垂直于线 A1A2 的平面的方程可以使用平面一般方程和法向量的公式找到，法向量将垂直于线 A1A2，因此与方向一致线 A1A4 的向量。直线 A1A4 的方向向量的坐标为 (3, -16, 7)，因此平面的法向量的坐标为 (3, -16, 7)，平面的方程为：

3x - 16y + 7z + 118 = 0

e) 要计算直线 A1A4 与平面 A1A2A3 之间的夹角的正弦，需要求直线 A1A4 的方向向量与平面 A1A2A3 的法向量之间的夹角的余弦，然后取除计算出的余弦之外的角度的正弦。直线A1A4的方向矢量的坐标为(3,-16,7)，平面A1A2A3的法线矢量的坐标为(-5,7,-11)。它们的点积为 -211，向量的长度为 √290.5 和 √195，这使得它们之间的角度的余弦等于 -0.924。因此，直线 A1A4 和平面 A1A2A3 之间的角度的正弦将等于 √(1-0.924^2) ≈ 0.383。

g) 要计算坐标平面 Oxy 与平面 A1A2A3 之间的角度的余弦，需要找到它们的法向量之间的角度。坐标平面 Oxy 的法向量具有坐标 (0, 0, 1)，平面 A1A2A3 的法向量先前已找到并且具有坐标 (-5, 7, -11)。它们的点积为 -11，向量长度为​​ 1 和 √195，这使得它们之间的角度的余弦等于 -0.056。因此，坐标平面 Oxy 和平面 A1A2A3 之间的角度将近似等于 acos(-0.056) ≈ 90.6 度。

2号。在第二个任务中，您需要为穿过两个给定点并平行于 Oy 轴的平面创建方程。

为了使平面平行于 Oy 轴，其法向量必须沿 Oy 轴方向，即其坐标必须为 (0, k, 0)，其中 k 为任意数。平面的法向量也必须垂直于连接点 A(2, 5, -1) 和 B(-3, 1, 3) 的向量，即它们的点积必须为零。

因此，平面方程为：

ky-5k + 2*z - 4 = 0

其中 k 是任意数。

第三。在第三个任务中，您需要找到该线与给定线平行的参数值。为此，需要通过参数表达给定直线的方向向量的坐标，并找到所需直线的方向向量对应的坐标。那么你需要

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