IDZ Ryabushko 3.1 Alternativ 6

Nr. 1. Fire poeng er gitt: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8). Det er nødvendig å lage ligninger:

a) Ligning for et plan som går gjennom punktene A1, A2 og A3:

For å finne ligningen til et plan som går gjennom tre punkter, kan du bruke formelen:

(x - x1)(y2 - y1)(z3 - z1) + (x2 - x1)(y - y1)(z3 - z1) + (x2 - x1)(y2 - y1)(z - z1) = 0,

hvor x, y, z er koordinatene til et vilkårlig punkt på planet, og x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3 er koordinatene til gitte punkter.

La oss erstatte koordinatene til punktene og få likningen til planet:

(2 - x)(-8) + (0 - 2)(13) + (0 - 7)(3 - 1) = 0

La oss forenkle:

-16 + 26 - 12 = 0

Dermed har ligningen til planet A1A2A3 formen:

-8x + 13y - 12z + 6 = 0.

b) Ligning av en rett linje som går gjennom punktene A1 og A2:

For å finne ligningen til en linje som går gjennom to gitte punkter, kan du bruke formlene:

x = x1 + ved y = y1 + bt z = z1 + ct,

hvor x1, y1, z1 og x2, y2, z2 er koordinatene til gitte punkter, a, b, c er veiledende koeffisienter, t er en parameter.

La oss finne de veiledende koeffisientene:

a = x2 - x1 = 2 - 0 = 2 b = y2 - y1 = -1 - 7 = -8 c = z2 - z1 = 5 - 1 = 4

La oss erstatte verdiene til koordinatene og retningskoeffisienten og få ligningen til den rette linjen:

x = 2t y = -8t + 7 z = 4t + 1

c) Ligning av en rett linje som går gjennom punkt A4 og vinkelrett på planet A1A2A3:

For å finne ligningen til en linje vinkelrett på et gitt plan og som går gjennom et gitt punkt, må du bruke følgende trinn:

Finn ligningen til et plan som går gjennom et gitt punkt og vinkelrett på det gitte planet.
Finn skjæringspunktet mellom det funnet planet og en linje som går gjennom et gitt punkt og parallelt med et gitt plan.
Skriv en ligning for en linje som går gjennom et gitt punkt og det funnet skjæringspunktet.

La oss finne ligningen til et plan vinkelrett på planet A1A2A3 og som går gjennom punkt A4. For å gjøre dette kan du bruke formelen:

-8x + 13y - 12z + d = 0,

hvor d er den ukjente koeffisienten som må finnes. La oss erstatte koordinatene til punkt A4 og få ligningen til planet:

-83 +13(-9) - 12*8 + d = 0

La oss løse ligningen og finne d:

d = 169

Således har ligningen til planet som går gjennom punkt A4 og vinkelrett på planet A1A2A3 formen:

-8x + 13y - 12z + 169 = 0.

La oss finne skjæringspunktet mellom det funnet planet og rett linje A1A2. For å gjøre dette, erstatter vi ligningen til den rette linjen i ligningen til planet og løser det resulterende ligningssystemet:

-8(2t) + 13(-8t + 7) - 12(4t + 1) + 169 = 0

Ved å løse ligningen finner vi verdien av parameteren t:

t = -3/4

La oss nå finne koordinatene til skjæringspunktet:

x = 2(-3/4) = -3/2 y = -8(-3/4) + 7 = 13 z = 4(-3/4) + 1 = -2

Dermed har skjæringspunktet koordinater (-3/2; 13; -2). Det gjenstår å lage en ligning for en rett linje som går gjennom punktene A4 og (-3/2; 13; -2). For å gjøre dette bruker vi formlene for ligningen til en linje som går gjennom to punkter:

x = 3 - 5/4t y = -9 + 40/3t z = 8 - 11/2t

hvor t er en parameter.

d) Ligning av en linje parallell med rett linje A1A2 og som går gjennom punkt A3:

For å finne ligningen til en linje parallelt med en gitt linje og som går gjennom et gitt punkt, må du bruke formlene:

x = x1 + ved y = y1 + bt z = z1 + ct,

hvor x1, y1, z1 er koordinatene til det gitte punktet, a, b, c er de veiledende koeffisientene, som må være lik veiledende koeffisientene til den gitte rette linjen.

La oss finne de veiledende koeffisientene til den gitte rette linjen A1A2:

a = 2 - 0 = 2 b = -1 - 7 = -8 c = 5 - 1 = 4

Således har ligningen til en linje parallell med linjen A1A2 og som går gjennom punkt A3 formen:

x = 1 + 2t y = 6 - 8t z = 3 + 4t

e) Ligning av et plan som går gjennom punkt A4 og vinkelrett på rett linje A1A2:

For å finne ligningen til et plan vinkelrett på en gitt linje og som går gjennom et gitt punkt, må du bruke formelen:

a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0,

hvor x0, y0, z0 er koordinatene til et gitt punkt, a, b, c er retningskoeffisienter som må være vinkelrett på retningsvektoren til en gitt rett linje.

La oss finne retningsvektoren til den gitte rette linjen A1A2:

u = (2, -8, 4)

Dermed må føringskoeffisienten til planet være vinkelrett

IDZ Ryabushko 3.1 Alternativ 6 er et digitalt produkt, som er en samling av matematikkproblemer for skolebarn. Dette produktet inneholder problemer om ulike emner, som geometri, algebra og trigonometri, med ulike vanskelighetsgrader, som lar deg bruke det både til selvstudium og til forberedelse til olympiader og eksamener.

Produktet er designet i et vakkert html-format, som gjør det enkelt å bruke og lar deg raskt og enkelt finne informasjonen du trenger. Produktet inneholder også en detaljert beskrivelse av hver oppgave, samt eksempelløsninger for en mer fullstendig forståelse av stoffet.

IDZ Ryabushko 3.1 Alternativ 6 er et utmerket valg for alle som ønsker å forbedre sitt kunnskapsnivå i matematikk og forbedre sine resultater på skolen eller i konkurranser. Takket være det praktiske formatet og innholdet, vil dette produktet bli en uunnværlig assistent for alle som ønsker å lykkes med matematiske problemer.

IDZ Ryabushko 3.1 Alternativ 6 er en matematikkoppgave som inkluderer flere oppgaver for å finne ligninger av linjer og plan som passerer gjennom gitte punkter eller parallelt/vinkelrett på gitte linjer og plan.

Oppgaven gir fire poeng: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8), og det er nødvendig å lage ligningene:

a) ligning av planet som går gjennom punktene A1, A2 og A3; b) ligningen til en rett linje som går gjennom punktene A1 og A2; c) ligningen til en rett linje som går gjennom punkt A4 og vinkelrett på planet A1A2A3; d) ligning av en linje parallell med rett linje A1A2 og som går gjennom punkt A3; e) ligning av et plan som går gjennom punkt A4 og vinkelrett på rett linje A1A2.

For å løse hvert problem brukes de riktige formlene og metodene beskrevet i oppgavebetingelsene.

IDZ Ryabushko 3.1 Alternativ 6 er et sett med oppgaver i matematikk som inkluderer løsning av likninger av plan og linjer, samt å finne retningskoeffisienter og vinkelrette plan.

Oppgaven gir fire poeng: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8). Følgende oppgaver må løses:

a) Finn ligningen til planet som går gjennom punktene A1, A2 og A3. For å gjøre dette kan du bruke en formel som forbinder koordinatene til et vilkårlig punkt på planet med koordinatene til gitte punkter.

b) Finn ligningen til linjen som går gjennom punktene A1 og A2. For å gjøre dette må du bruke formler som forbinder koordinatene til et vilkårlig punkt på en linje med koordinatene til gitte punkter.

c) Finn ligningen til linjen som går gjennom punkt A4 og vinkelrett på planet A1A2A3. For å gjøre dette må du først finne ligningen til et plan vinkelrett på et gitt plan og som går gjennom et gitt punkt. Deretter må du finne skjæringspunktet for dette planet og en linje som går gjennom et gitt punkt og parallelt med et gitt plan. Og til slutt må du lage en ligning for en rett linje som går gjennom et gitt punkt og det funnet skjæringspunktet.

d) Finn ligningen til en linje parallelt med linje A1A2 og som går gjennom punkt A3. For å gjøre dette, må du bruke formler som forbinder koordinatene til et vilkårlig punkt på en linje med koordinatene til et gitt punkt og retningskoeffisienten til en gitt linje.

e) Finn ligningen til planet som går gjennom punkt A4 og vinkelrett på linje A1A2. For å gjøre dette må du bruke en formel som forbinder koordinatene til et vilkårlig punkt på planet med koordinatene til et gitt punkt og guidekoeffisienter, som må være vinkelrett på guiden til en gitt rett linje.

***

IDZ Ryabushko 3.1 Alternativ 6 er en geometrioppgave som inneholder flere deloppgaver av ulik kompleksitet.

Nr. 1. I den første oppgaven er det gitt fire punkter i tredimensjonalt rom, og du må også lage likninger av planet og linjene som går gjennom disse punktene, beregne vinkler og finne perpendikulære og paralleller.

a) For å kompilere likningen til planet A1A2A3 kan du bruke formelen for den generelle likningen til planet Ax + By + Cz + D = 0, hvor koeffisientene A, B og C bestemmes ved hjelp av vektorproduktet til vektorer som ligger i dette flyet. Dermed har ligningen til planet A1A2A3 formen:

-5x + 7y - 11z + 44 = 0

b) For å kompilere likningen til den rette linjen A1A2, kan du bruke formelen for den parametriske likningen til den rette linjen, som har formen:

x = 2t y = 7 - 4t z = 1 + 4t

c) For å kompilere likningen til rett linje A4M kan du bruke formelen for den parametriske likningen til en rett linje som går gjennom punktene A4 og M. Punkt M er ikke spesifisert, så det må velges vilkårlig. For eksempel kan du ta punkt M(0,0,0). Da vil den parametriske ligningen til rett linje A4M ha formen:

x = 3t y = -9 - 3t z = 8 - 2t

Perpendikulæren til planet A1A2A3 kan finnes ved å bruke normalvektoren til dette planet, som bestemmes av koeffisientene til planets ligning. Dermed har normalvektoren til planet A1A2A3 koordinater (-5, 7, -11), og den rette linjen A4N, vinkelrett på planet A1A2A3, vil ha ligningen:

x = 3 + 5t y = -9 - 7t z = 8 + 11t

d) Rett A3N er parallell med rette A1A2, noe som betyr at retningsvektoren vil falle sammen med retningsvektoren til rette A1A2. Retningsvektoren til rett linje A1A2 har koordinater (2, -8, 4), så ligningen til rett linje A3N vil ha formen:

x = 1 + 2t y = 6 - 8t z = 3 + 4t

e) Ligningen til et plan som går gjennom punkt A4 og vinkelrett på linjen A1A2 kan finnes ved å bruke formelen for den generelle likningen av planet og normalvektoren, som vil bli rettet vinkelrett på linjen A1A2 og derfor falle sammen med retningen vektor av linje A1A4. Retningsvektoren til rett linje A1A4 har koordinater (3, -16, 7), så normalvektoren til planet vil ha koordinater (3, -16, 7), og ligningen til planet vil være:

3x - 16y + 7z + 118 = 0

e) For å beregne sinusen til vinkelen mellom den rette linjen A1A4 og planet A1A2A3, må du finne cosinus til vinkelen mellom retningsvektoren til den rette linjen A1A4 og normalvektoren til planet A1A2A3, og deretter ta sinus til vinkelen i tillegg til den beregnede cosinus. Retningsvektoren til rett linje A1A4 har koordinater (3, -16, 7), og normalvektoren til planet A1A2A3 har koordinater (-5, 7, -11). Punktproduktet deres er -211, og lengdene på vektorene er √290,5 og √195, som gir cosinus til vinkelen mellom dem lik -0,924. Følgelig vil sinusen til vinkelen mellom rett linje A1A4 og plan A1A2A3 være lik √(1-0,924^2) ≈ 0,383.

g) For å beregne cosinus til vinkelen mellom koordinatplanet Oxy og planet A1A2A3, må du finne vinkelen mellom deres normalvektorer. Normalvektoren til koordinatplanet Oxy har koordinater (0, 0, 1), og normalvektoren til planet A1A2A3 ble funnet tidligere og har koordinater (-5, 7, -11). Punktproduktet deres er -11, og lengdene på vektorene er 1 og √195, som gir cosinus til vinkelen mellom dem lik -0,056. Følgelig vil vinkelen mellom koordinatplanet Oxy og planet A1A2A3 være omtrent lik acos(-0,056) ≈ 90,6 grader.

Nr. 2. I den andre oppgaven må du lage en ligning for et plan som går gjennom to gitte punkter og parallelt med Oy-aksen.

For at planet skal være parallelt med Oy-aksen, må normalvektoren rettes langs Oy-aksen, det vil si at koordinatene må være (0, k, 0), der k er et vilkårlig tall. Normalvektoren til planet må også være vinkelrett på vektorforbindelsespunktene A(2, 5, -1) og B(-3, 1, 3), det vil si at punktproduktet deres må være null.

Dermed er ligningen til planet:

ky - 5k + 2*z - 4 = 0

hvor k er et vilkårlig tall.

Nr. 3. I den tredje oppgaven må du finne verdien til parameteren der linjen er parallell med en gitt linje. For å gjøre dette er det nødvendig å uttrykke koordinatene til retningsvektoren til en gitt linje gjennom parametere og finne de tilsvarende koordinatene til retningsvektoren til ønsket linje. Da trenger du

***

Veldig praktisk og forståelig oppgaveformat.
Et stort antall oppgaver lar deg øve lenge.
Løsninger på alle problemer er ledsaget av detaljerte forklaringer.
Oppgavene er godt strukturert og delt inn i seksjoner, noe som gjør arbeidet enklere.
Mange ulike typer oppdrag er med på å forsterke stoffet i praksis.
Kompleksiteten til oppgavene øker gradvis, noe som bidrar til å forbedre ferdighetene dine.
Kvaliteten på materialene er veldig høy og relevant.
Programmet dekker alle nødvendige emner og seksjoner for å bestå eksamen.
Jeg anbefaler dette digitale produktet til alle studenter som forbereder seg på å ta IPD.
Digitalt produkt IDZ Ryabushko 3.1 Alternativ 6 er et utmerket verktøy for selvstudier og øke kunnskapsnivået.