IDZ Ryabushko 3.1 Opzione 6

N. 1. Vengono assegnati quattro punti: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8). È necessario creare equazioni:

a) Equazione di un piano passante per i punti A1, A2 e A3:

Per trovare l'equazione del piano passante per tre punti si può usare la formula:

(x - x1)(y2 - y1)(z3 - z1) + (x2 - x1)(y - y1)(z3 - z1) + (x2 - x1)(y2 - y1)(z - z1) = 0,

dove x, y, z sono le coordinate di un punto arbitrario sul piano e x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3 sono le coordinate di determinati punti.

Sostituiamo le coordinate dei punti e otteniamo l'equazione del piano:

(2 - x)(-8) + (0 - 2)(13) + (0 - 7)(3 - 1) = 0

Semplifichiamo:

-16 + 26 - 12 = 0

Pertanto, l'equazione del piano A1A2A3 ha la forma:

-8x + 13y - 12z + 6 = 0.

b) Equazione di una retta passante per i punti A1 e A2:

Per trovare l'equazione della retta passante per due punti dati si possono utilizzare le formule:

x = x1 + at y = y1 + bt z = z1 + ct,

dove x1, y1, z1 e x2, y2, z2 sono le coordinate di determinati punti, a, b, c sono coefficienti guida, t è un parametro.

Troviamo i coefficienti guida:

a = x2 - x1 = 2 - 0 = 2 b = y2 - y1 = -1 - 7 = -8 c = z2 - z1 = 5 - 1 = 4

Sostituiamo i valori delle coordinate e dei coefficienti di direzione e otteniamo l'equazione della retta:

x = 2t y = -8t + 7 z = 4t + 1

c) Equazione di una retta passante per il punto A4 e perpendicolare al piano A1A2A3:

Per trovare l'equazione di una retta perpendicolare ad un dato piano e passante per un dato punto, è necessario utilizzare i seguenti passaggi:

Trovare l'equazione di un piano passante per un punto dato e perpendicolare al piano dato.
Trova il punto di intersezione del piano trovato e una retta passante per un dato punto e parallela a un dato piano.
Scrivi un'equazione per una retta passante per un dato punto e il punto di intersezione trovato.

Troviamo l'equazione di un piano perpendicolare al piano A1A2A3 e passante per il punto A4. Per fare ciò puoi utilizzare la formula:

-8x + 13y - 12z + d = 0,

dove d è il coefficiente sconosciuto da trovare. Sostituiamo le coordinate del punto A4 e otteniamo l'equazione del piano:

-83 +13(-9) - 12*8 + d = 0

Risolviamo l'equazione e troviamo d:

d = 169

Pertanto, l'equazione del piano passante per il punto A4 e perpendicolare al piano A1A2A3 ha la forma:

-8x + 13y - 12z + 169 = 0.

Troviamo il punto di intersezione del piano trovato e della retta A1A2. Per fare ciò, sostituiamo l'equazione della retta nell'equazione del piano e risolviamo il sistema di equazioni risultante:

-8(2t) + 13(-8t + 7) - 12(4t + 1) + 169 = 0

Risolvendo l'equazione, troviamo il valore del parametro t:

t = -3/4

Ora troviamo le coordinate del punto di intersezione:

x = 2(-3/4) = -3/2 y = -8(-3/4) + 7 = 13 z = 4(-3/4) + 1 = -2

Pertanto, il punto di intersezione ha coordinate (-3/2; 13; -2). Resta da creare un'equazione per una retta passante per i punti A4 e (-3/2; 13; -2). Per fare ciò utilizzeremo le formule per l'equazione di una retta passante per due punti:

x = 3 - 5/4t y = -9 + 40/3t z = 8 - 11/2t

dove t è un parametro.

d) Equazione di una retta parallela alla retta A1A2 e passante per il punto A3:

Per trovare l'equazione di una retta parallela ad una data retta e passante per un dato punto, è necessario utilizzare le formule:

x = x1 + at y = y1 + bt z = z1 + ct,

dove x1, y1, z1 sono le coordinate del punto dato, a, b, c sono i coefficienti guida, che devono essere uguali ai coefficienti guida della retta data.

Troviamo i coefficienti guida della retta A1A2 data:

a = 2 - 0 = 2 b = -1 - 7 = -8 c = 5 - 1 = 4

Pertanto, l'equazione di una linea parallela alla linea A1A2 e passante per il punto A3 ha la forma:

x = 1 + 2t y = 6 - 8t z = 3 + 4t

e) Equazione di un piano passante per il punto A4 e perpendicolare alla retta A1A2:

Per trovare l'equazione di un piano perpendicolare ad una data retta e passante per un dato punto, è necessario utilizzare la formula:

a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0,

dove x0, y0, z0 sono le coordinate di un dato punto, a, b, c sono coefficienti di direzione che devono essere perpendicolari al vettore direzione di una data retta.

Troviamo il vettore direzione della retta A1A2 data:

u = (2, -8, 4)

Pertanto, i coefficienti guida del piano devono essere perpendicolari

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IDZ Ryabushko 3.1 Opzione 6 è un compito di matematica che include diversi compiti per trovare equazioni di rette e piani passanti per determinati punti o parallele/perpendicolari a determinate rette e piani.

Il compito dà quattro punti: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8), ed è necessario creare le equazioni:

a) equazione del piano passante per i punti A1, A2 e A3; b) l'equazione di una retta passante per i punti A1 e A2; c) l'equazione di una retta passante per il punto A4 e perpendicolare al piano A1A2A3; d) equazione di una retta parallela alla retta A1A2 e passante per il punto A3; e) equazione di un piano passante per il punto A4 e perpendicolare alla retta A1A2.

Per risolvere ciascun problema, vengono utilizzate le formule e i metodi appropriati descritti nelle condizioni del compito.

IDZ Ryabushko 3.1 Opzione 6 è un insieme di compiti di matematica che includono la risoluzione di equazioni di piani e linee, nonché la ricerca di coefficienti di direzione e piani perpendicolari.

Il compito assegna quattro punti: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8). È necessario risolvere i seguenti compiti:

a) Trovare l'equazione del piano passante per i punti A1, A2 e A3. Per fare ciò, puoi utilizzare una formula che collega le coordinate di un punto arbitrario sul piano con le coordinate di determinati punti.

b) Trovare l'equazione della retta passante per i punti A1 e A2. Per fare ciò, è necessario utilizzare formule che collegano le coordinate di un punto arbitrario su una linea con le coordinate di determinati punti.

c) Trovare l'equazione della retta passante per il punto A4 e perpendicolare al piano A1A2A3. Per fare ciò, devi prima trovare l'equazione di un piano perpendicolare a un dato piano e passante per un dato punto. Quindi è necessario trovare il punto di intersezione di questo piano e una linea che passa attraverso un dato punto e parallela a un dato piano. E infine, devi creare un'equazione per una linea che passa attraverso un dato punto e il punto di intersezione trovato.

d) Trovare l'equazione di una retta parallela alla retta A1A2 e passante per il punto A3. Per fare ciò, è necessario utilizzare formule che collegano le coordinate di un punto arbitrario su una linea con le coordinate di un dato punto e i coefficienti guida di una determinata linea.

e) Trovare l'equazione del piano passante per il punto A4 e perpendicolare alla linea A1A2. Per fare ciò, è necessario utilizzare una formula che collega le coordinate di un punto arbitrario sul piano con le coordinate di un dato punto e coefficienti guida, che devono essere perpendicolari alla guida di una determinata linea retta.

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IDZ Ryabushko 3.1 Opzione 6 è un compito di geometria contenente diverse attività secondarie di varia complessità.

N. 1. Nel primo compito, vengono forniti quattro punti nello spazio tridimensionale ed è inoltre necessario creare equazioni del piano e delle linee che passano attraverso questi punti, calcolare gli angoli e trovare perpendicolari e paralleli.

a) Per compilare l'equazione del piano A1A2A3, è possibile utilizzare la formula dell'equazione generale del piano Ax + By + Cz + D = 0, dove i coefficienti A, B e C sono determinati utilizzando il prodotto vettoriale dei vettori che giacciono in questo aereo. Pertanto, l'equazione del piano A1A2A3 ha la forma:

-5x + 7y - 11z + 44 = 0

b) Per compilare l'equazione della retta A1A2 si può utilizzare la formula dell'equazione parametrica della retta, che ha la forma:

x = 2t y = 7 - 4t z = 1 + 4t

c) Per compilare l'equazione della retta A4M si può utilizzare la formula dell'equazione parametrica di una retta che passa per i punti A4 e M. Il punto M non è specificato, quindi deve essere scelto arbitrariamente. Ad esempio, puoi prendere il punto M(0,0,0). Allora l’equazione parametrica della retta A4M avrà la forma:

x = 3t y = -9 - 3t z = 8 - 2t

La perpendicolare al piano A1A2A3 può essere trovata utilizzando il vettore normale di questo piano, che è determinato dai coefficienti dell'equazione del piano. Pertanto, il vettore normale del piano A1A2A3 ha coordinate (-5, 7, -11), e la retta A4N, perpendicolare al piano A1A2A3, avrà l'equazione:

x = 3 + 5 t y = -9 - 7t z = 8 + 11t

d) La retta A3N è parallela alla retta A1A2, il che significa che il suo vettore direzione coinciderà con il vettore direzione della retta A1A2. Il vettore direzione della retta A1A2 ha coordinate (2, -8, 4), quindi l'equazione della retta A3N avrà la forma:

x = 1 + 2t y = 6 - 8t z = 3 + 4t

e) L'equazione di un piano passante per il punto A4 e perpendicolare alla linea A1A2 può essere trovata utilizzando la formula dell'equazione generale del piano e del vettore normale, che sarà diretto perpendicolarmente alla linea A1A2 e, quindi, coinciderà con la direzione vettore della linea A1A4. Il vettore direzione della retta A1A4 ha coordinate (3, -16, 7), quindi il vettore normale del piano avrà coordinate (3, -16, 7), e l'equazione del piano sarà:

3x - 16y + 7z + 118 = 0

e) Per calcolare il seno dell'angolo formato dalla retta A1A4 al piano A1A2A3, occorre trovare il coseno dell'angolo formato dal vettore direzione della retta A1A4 e dal vettore normale del piano A1A2A3, e poi prendere la seno dell'angolo aggiuntivo al coseno calcolato. Il vettore direzione della retta A1A4 ha coordinate (3, -16, 7) e il vettore normale del piano A1A2A3 ha coordinate (-5, 7, -11). Il loro prodotto scalare è -211 e le lunghezze dei vettori sono √290,5 e √195, il che dà il coseno dell'angolo tra loro pari a -0,924. Di conseguenza, il seno dell'angolo compreso tra la retta A1A4 e il piano A1A2A3 sarà pari a √(1-0,924^2) ≈ 0,383.

g) Per calcolare il coseno dell'angolo formato dal piano delle coordinate Oxy e dal piano A1A2A3, è necessario trovare l'angolo formato dai loro vettori normali. Il vettore normale del piano delle coordinate Oxy ha coordinate (0, 0, 1) e il vettore normale del piano A1A2A3 è stato trovato in precedenza e ha coordinate (-5, 7, -11). Il loro prodotto scalare è -11 e le lunghezze dei vettori sono 1 e √195, il che dà il coseno dell'angolo tra loro pari a -0,056. Di conseguenza, l'angolo tra il piano delle coordinate Oxy e il piano A1A2A3 sarà approssimativamente uguale a acos(-0,056) ≈ 90,6 gradi.

N. 2. Nella seconda attività, devi creare un'equazione per un piano passante per due punti dati e parallelo all'asse Oy.

Affinché il piano sia parallelo all'asse Oy, il suo vettore normale deve essere diretto lungo l'asse Oy, cioè le sue coordinate devono essere (0, k, 0), dove k è un numero arbitrario. Anche il vettore normale del piano deve essere perpendicolare al vettore che collega i punti A(2, 5, -1) e B(-3, 1, 3), cioè il loro prodotto scalare deve essere zero.

Pertanto l’equazione del piano è:

ksì - 5k + 2*z - 4 = 0

dove k è un numero arbitrario.

Numero 3. Nella terza attività, devi trovare il valore del parametro in cui la linea è parallela a una determinata linea. Per fare ciò, è necessario esprimere tramite parametri le coordinate del vettore di direzione di una determinata linea e trovare le coordinate corrispondenti del vettore di direzione della linea desiderata. Allora hai bisogno

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