IDZ Ryabushko 3.1 Možnost 6

Č.1. Jsou uvedeny čtyři body: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8). Je nutné vytvořit rovnice:

a) Rovnice roviny procházející body A1, A2 a A3:

Chcete-li najít rovnici roviny procházející třemi body, můžete použít vzorec:

(x - x1)(y2 - y1)(z3 - z1) + (x2 - x1)(y - y1)(z3 - z1) + (x2 - x1)(y2 - y1)(z - z1) = 0,

kde x, y, z jsou souřadnice libovolného bodu v rovině a x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3 jsou souřadnice daných bodů.

Dosadíme souřadnice bodů a dostaneme rovnici roviny:

(2 - x) (-8) + (0 - 2) (13) + (0 - 7) (3 - 1) = 0

Pojďme to zjednodušit:

-16 + 26 - 12 = 0

Rovnice roviny A1A2A3 má tedy tvar:

-8x + 13y - 12z + 6 = 0.

b) Rovnice přímky procházející body A1 a A2:

Chcete-li najít rovnici přímky procházející dvěma danými body, můžete použít vzorce:

x = x1 + při y = y1 + bt z = z1 + ct,

kde x1, y1, z1 a x2, y2, z2 jsou souřadnice daných bodů, a, b, c jsou vodící koeficienty, t je parametr.

Pojďme najít vodící koeficienty:

a = x2 - x1 = 2 - 0 = 2 b = y2 - y1 = -1 - 7 = -8 c = z2 - z1 = 5 - 1 = 4

Dosadíme hodnoty souřadnic a směrových koeficientů a dostaneme rovnici přímky:

x = 2t y = -8t + 7 z = 4t + 1

c) Rovnice přímky procházející bodem A4 a kolmé k rovině A1A2A3:

Chcete-li najít rovnici přímky kolmé k dané rovině a procházející daným bodem, musíte použít následující kroky:

1. Najděte rovnici roviny procházející daným bodem a kolmé k dané rovině.
2. Najděte průsečík nalezené roviny a přímky procházející daným bodem a rovnoběžné s danou rovinou.
3. Napište rovnici pro přímku procházející daným bodem a nalezeným průsečíkem.

Najděte rovnici roviny kolmé k rovině A1A2A3 a procházející bodem A4. K tomu můžete použít vzorec:

-8x + 13y - 12z + d = 0,

kde d je neznámý koeficient, který je třeba najít. Dosadíme souřadnice bodu A4 a dostaneme rovnici roviny:

-83 +13(-9) - 12*8 + d = 0

Vyřešíme rovnici a najdeme d:

d = 169

Rovnice roviny procházející bodem A4 a kolmé k rovině A1A2A3 má tedy tvar:

-8x + 13y - 12z + 169 = 0.

Najděte průsečík nalezené roviny a přímky A1A2. K tomu dosadíme rovnici přímky do rovnice roviny a vyřešíme výslednou soustavu rovnic:

-8(2t) + 13(-8t + 7) - 12(4t + 1) + 169 = 0

Řešením rovnice zjistíme hodnotu parametru t:

t = -3/4

Nyní najdeme souřadnice průsečíku:

x = 2(-3/4) = -3/2 y = -8(-3/4) + 7 = 13 z = 4(-3/4) + 1 = -2

Průsečík má tedy souřadnice (-3/2; 13; -2). Zbývá vytvořit rovnici pro přímku procházející body A4 a (-3/2; 13; -2). K tomu použijeme vzorce pro rovnici přímky procházející dvěma body:

x = 3 - 5/4t y = -9 + 40/3t z = 8 - 11/2t

kde t je parametr.

d) Rovnice přímky rovnoběžné s přímkou ​​A1A2 a procházející bodem A3:

Chcete-li najít rovnici přímky rovnoběžné s danou přímkou ​​a procházející daným bodem, musíte použít vzorce:

x = x1 + při y = y1 + bt z = z1 + ct,

kde x1, y1, z1 jsou souřadnice daného bodu, a, b, c jsou koeficienty navádění, které se musí rovnat koeficientům navádění dané přímky.

Pojďme najít vodící koeficienty dané přímky A1A2:

a = 2 - 0 = 2 b = -1 - 7 = -8 c = 5 - 1 = 4

Rovnice přímky rovnoběžné s přímkou ​​A1A2 a procházející bodem A3 má tedy tvar:

x = 1 + 2t y = 6 - 8t z = 3 + 4t

e) Rovnice roviny procházející bodem A4 a kolmé k přímce A1A2:

Chcete-li najít rovnici roviny kolmé k dané přímce a procházející daným bodem, musíte použít vzorec:

a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0,

kde x0, y0, z0 jsou souřadnice daného bodu, a, b, c jsou směrové koeficienty, které musí být kolmé na směrový vektor dané přímky.

Najdeme směrový vektor dané přímky A1A2:

u = (2, -8, 4)

Vodící koeficienty roviny tedy musí být kolmé

IDZ Ryabushko 3.1 Option 6 je digitální produkt, který je sbírkou matematických úloh pro školáky. Tento produkt obsahuje úlohy na různá témata, jako je geometrie, algebra a trigonometrie, s různou úrovní obtížnosti, což umožňuje jeho využití jak pro samostudium, tak pro přípravu na olympiády a zkoušky.

Produkt je navržen v krásném formátu html, který usnadňuje použití a umožňuje rychle a snadno najít informace, které potřebujete. Produkt také obsahuje podrobný popis každého úkolu a také příkladná řešení pro úplnější pochopení látky.

IDZ Ryabushko 3.1 Option 6 je vynikající volbou pro každého, kdo si chce zlepšit úroveň znalostí v matematice a zlepšit své výsledky ve škole nebo na soutěžích. Díky pohodlnému formátu a obsahu se tento produkt stane nepostradatelným pomocníkem pro každého, kdo se chce úspěšně vypořádat s matematickými problémy.

IDZ Ryabushko 3.1 Možnost 6 je matematická úloha, která obsahuje několik úloh na hledání rovnic přímek a rovin procházejících danými body nebo rovnoběžných/kolmých k daným přímkám a rovinám.

Úloha dává čtyři body: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8) a je nutné vytvořit rovnice:

a) rovnice roviny procházející body A1, A2 a A3; b) rovnice přímky procházející body A1 a A2; c) rovnice přímky procházející bodem A4 a kolmé k rovině A1A2A3; d) rovnice přímky rovnoběžné s přímkou ​​A1A2 a procházející bodem A3; e) rovnice roviny procházející bodem A4 a kolmé k přímce A1A2.

K řešení každého problému se používají příslušné vzorce a metody popsané v podmínkách úlohy.

IDZ Ryabushko 3.1 Možnost 6 je sada úloh v matematice, která zahrnuje řešení rovnic rovin a přímek, stejně jako hledání směrovacích koeficientů a kolmých rovin.

Úloha dává čtyři body: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8). Je třeba vyřešit následující úkoly:

a) Najděte rovnici roviny procházející body A1, A2 a A3. K tomu můžete použít vzorec, který spojí souřadnice libovolného bodu v rovině se souřadnicemi daných bodů.

b) Najděte rovnici přímky procházející body A1 a A2. K tomu je potřeba použít vzorce, které spojí souřadnice libovolného bodu na přímce se souřadnicemi daných bodů.

c) Najděte rovnici přímky procházející bodem A4 a kolmé k rovině A1A2A3. K tomu je potřeba nejprve najít rovnici roviny kolmé k dané rovině a procházející daným bodem. Pak musíte najít průsečík této roviny a přímky procházející daným bodem a rovnoběžné s danou rovinou. A nakonec je potřeba vytvořit rovnici pro přímku procházející daným bodem a nalezeným průsečíkem.

d) Najděte rovnici přímky rovnoběžné s přímkou ​​A1A2 a procházející bodem A3. K tomu je potřeba použít vzorce, které spojují souřadnice libovolného bodu na přímce se souřadnicemi daného bodu a vodícími koeficienty dané přímky.

e) Najděte rovnici roviny procházející bodem A4 a kolmé k přímce A1A2. K tomu je potřeba použít vzorec, který spojí souřadnice libovolného bodu v rovině se souřadnicemi daného bodu a vodícími koeficienty, které musí být kolmé na vodítko dané přímky.

***

IDZ Ryabushko 3.1 Možnost 6 je geometrická úloha obsahující několik dílčích úloh různé složitosti.

Č.1. V první úloze jsou dány čtyři body v trojrozměrném prostoru a dále je potřeba vytvořit rovnice roviny a přímek procházejících těmito body, vypočítat úhly a najít kolmice a rovnoběžky.

a) Pro sestavení rovnice roviny A1A2A3 lze použít vzorec pro obecnou rovnici roviny Ax + By + Cz + D = 0, kde koeficienty A, B a C určíme pomocí vektorového součinu vektorů ležících v této rovině. Rovnice roviny A1A2A3 má tedy tvar:

-5x + 7y - 11z + 44 = 0

b) Pro sestavení rovnice přímky A1A2 můžete použít vzorec pro parametrickou rovnici přímky, který má tvar:

x = 2t y = 7 - 4t z = 1 + 4t

c) Pro sestavení rovnice přímky A4M lze použít vzorec pro parametrickou rovnici přímky, která prochází body A4 a M. Bod M není zadán, musí být tedy zvolen libovolně. Například můžete vzít bod M(0,0,0). Pak bude mít parametrická rovnice přímky A4M tvar:

x = 3t y = -9 - 3t z = 8 - 2t

Kolmice k rovině A1A2A3 lze nalézt pomocí normálového vektoru této roviny, který je určen koeficienty rovnice roviny. Normální vektor roviny A1A2A3 má tedy souřadnice (-5, 7, -11) a přímka A4N, kolmá k rovině A1A2A3, bude mít rovnici:

x = 3 + 5 t y = -9 - 7t z = 8 + 11 t

d) Přímka A3N je rovnoběžná s přímkou ​​A1A2, což znamená, že její směrový vektor se bude shodovat se směrovým vektorem přímky A1A2. Směrový vektor přímky A1A2 má souřadnice (2, -8, 4), takže rovnice přímky A3N bude mít tvar:

x = 1 + 2t y = 6 - 8 t z = 3 + 4t

e) Rovnici roviny procházející bodem A4 a kolmou k přímce A1A2 lze nalézt pomocí vzorce pro obecnou rovnici roviny a normálového vektoru, který bude směřovat kolmo k přímce A1A2 a bude se tedy shodovat se směrem vektor čáry A1A4. Směrový vektor přímky A1A4 má souřadnice (3, -16, 7), takže normálový vektor roviny bude mít souřadnice (3, -16, 7) a rovnice roviny bude:

3x - 16y + 7z + 118 = 0

e) Chcete-li vypočítat sinus úhlu mezi přímkou ​​A1A4 a rovinou A1A2A3, musíte najít kosinus úhlu mezi směrovým vektorem přímky A1A4 a normálovým vektorem roviny A1A2A3 a poté vzít sinus úhlu navíc k vypočtenému kosinusu. Směrový vektor přímky A1A4 má souřadnice (3, -16, 7) a normálový vektor roviny A1A2A3 má souřadnice (-5, 7, -11). Jejich bodový součin je -211 a délky vektorů jsou √290,5 a √195, což dává kosinus úhlu mezi nimi rovný -0,924. V důsledku toho bude sinus úhlu mezi přímkou ​​A1A4 a rovinou A1A2A3 roven √(1-0,924^2) ≈ 0,383.

g) Chcete-li vypočítat kosinus úhlu mezi rovinou souřadnic Oxy a rovinou A1A2A3, musíte najít úhel mezi jejich normálovými vektory. Normální vektor souřadnicové roviny Oxy má souřadnice (0, 0, 1) a normálový vektor roviny A1A2A3 byl nalezen dříve a má souřadnice (-5, 7, -11). Jejich bodový součin je -11 a délky vektorů jsou 1 a √195, což dává kosinus úhlu mezi nimi rovný -0,056. V důsledku toho bude úhel mezi rovinou souřadnic Oxy a rovinou A1A2A3 přibližně roven acos(-0,056) ≈ 90,6 stupňů.

Č. 2 Ve druhém úkolu je potřeba vytvořit rovnici pro rovinu procházející dvěma danými body a rovnoběžnou s osou Oy.

Aby byla rovina rovnoběžná s osou Oy, musí její normálový vektor směřovat podél osy Oy, to znamená, že její souřadnice musí být (0, k, 0), kde k je libovolné číslo. Normálový vektor roviny musí být také kolmý na vektor spojující body A(2, 5, -1) a B(-3, 1, 3), to znamená, že jejich bodový součin musí být nulový.

Rovnice roviny tedy je:

ky - 5k + 2*z - 4 = 0

kde k je libovolné číslo.

Č. 3. Ve třetí úloze je potřeba najít hodnotu parametru, při které je úsečka rovnoběžná s danou úsečkou. K tomu je nutné pomocí parametrů vyjádřit souřadnice směrového vektoru daného vedení a najít odpovídající souřadnice směrového vektoru požadovaného vedení. Pak potřebujete

***

1. Velmi pohodlný a srozumitelný formát zadání.
2. Velké množství úkolů umožňuje cvičit po dlouhou dobu.
3. Řešení všech problémů jsou doplněna podrobnými vysvětleními.
4. Úkoly jsou dobře strukturované a rozdělené do sekcí, což usnadňuje práci.
5. Mnoho různých typů úkolů pomáhá upevnit látku v praxi.
6. Složitost úkolů se postupně zvyšuje, což pomáhá zlepšovat vaše dovednosti.
7. Kvalita materiálů je velmi vysoká a relevantní.
8. Program pokrývá všechna potřebná témata a sekce k úspěšnému složení zkoušky.
9. Tento digitální produkt doporučuji všem studentům, kteří se chystají absolvovat IPD.
10. Digitální produkt IDZ Ryabushko 3.1 Option 6 je vynikajícím nástrojem pro samostudium a zvyšování úrovně znalostí.

Zvláštnosti:

Velmi pohodlný a srozumitelný formát pro prezentaci materiálu.

Všechny úkoly jsou opatřeny podrobným řešením a vysvětlením.

Výborná příprava na zkoušku z informatiky.

Doporučuji každému, kdo chce úspěšně složit IDZ z informatiky.

Výborná volba pro ty, kteří si chtějí zvýšit úroveň svých znalostí v oblasti informatiky.

Velké množství úkolů umožňuje upevnit látku v praxi.

Dobrá hodnota peněz.