IDZ Ryabushko 3.1 Opcja 6

Nr 1. Podano cztery punkty: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8). Konieczne jest utworzenie równań:

a) Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A1, A2 i A3:

Aby znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty, możesz skorzystać ze wzoru:

(x - x1)(y2 - y1)(z3 - z1) + (x2 - x1)(y - y1)(z3 - z1) + (x2 - x1)(y2 - y1)(z - z1) = 0,

gdzie x, y, z są współrzędnymi dowolnego punktu na płaszczyźnie, a x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3 są współrzędnymi danych punktów.

Zastąpmy współrzędne punktów i otrzymajmy równanie płaszczyzny:

(2 - x)(-8) + (0 - 2)(13) + (0 - 7)(3 - 1) = 0

Uprośćmy:

-16 + 26 - 12 = 0

Zatem równanie płaszczyzny A1A2A3 ma postać:

-8x + 13y - 12z + 6 = 0.

b) Równanie prostej przechodzącej przez punkty A1 i A2:

Aby znaleźć równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty, możesz skorzystać ze wzorów:

x = x1 + przy y = y1 + bt z = z1 + ct,

gdzie x1, y1, z1 i x2, y2, z2 to współrzędne danych punktów, a, b, c to współczynniki przewodnie, t to parametr.

Znajdźmy współczynniki przewodnie:

a = x2 - x1 = 2 - 0 = 2 b = y2 - y1 = -1 - 7 = -8 c = z2 - z1 = 5 - 1 = 4

Zastąpmy wartości współrzędnych i współczynników kierunku i otrzymajmy równanie linii prostej:

x = 2t y = -8t + 7 z = 4t + 1

c) Równanie prostej przechodzącej przez punkt A4 i prostopadłej do płaszczyzny A1A2A3:

Aby znaleźć równanie prostej prostopadłej do danej płaszczyzny i przechodzącej przez dany punkt, należy wykonać następujące czynności:

Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt i prostopadłej do danej płaszczyzny.
Znajdź punkt przecięcia znalezionej płaszczyzny i prostej przechodzącej przez dany punkt i równoległej do danej płaszczyzny.
Napisz równanie prostej przechodzącej przez dany punkt i znaleziony punkt przecięcia.

Znajdźmy równanie płaszczyzny prostopadłej do płaszczyzny A1A2A3 i przechodzącej przez punkt A4. Aby to zrobić, możesz skorzystać ze wzoru:

-8x + 13y - 12z + d = 0,

gdzie d jest nieznanym współczynnikiem, który należy znaleźć. Podstawmy współrzędne punktu A4 i otrzymajmy równanie płaszczyzny:

-83 +13(-9) - 12*8 + d = 0

Rozwiążmy równanie i znajdźmy d:

d = 169

Zatem równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A4 i prostopadłej do płaszczyzny A1A2A3 ma postać:

-8x + 13y - 12z + 169 = 0.

Znajdźmy punkt przecięcia znalezionej płaszczyzny i prostej A1A2. W tym celu podstawiamy równanie prostej do równania płaszczyzny i rozwiązujemy powstały układ równań:

-8(2t) + 13(-8t + 7) - 12(4t + 1) + 169 = 0

Rozwiązując równanie, znajdujemy wartość parametru t:

t = -3/4

Znajdźmy teraz współrzędne punktu przecięcia:

x = 2(-3/4) = -3/2 y = -8(-3/4) + 7 = 13 z = 4(-3/4) + 1 = -2

Zatem punkt przecięcia ma współrzędne (-3/2; 13; -2). Pozostaje utworzyć równanie na prostą przechodzącą przez punkty A4 i (-3/2; 13; -2). W tym celu korzystamy ze wzorów na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty:

x = 3 - 5/4t y = -9 + 40/3t z = 8 - 11/2t

gdzie t jest parametrem.

d) Równanie prostej równoległej do prostej A1A2 i przechodzącej przez punkt A3:

Aby znaleźć równanie prostej równoległej do danej prostej i przechodzącej przez dany punkt, należy skorzystać ze wzorów:

x = x1 + przy y = y1 + bt z = z1 + ct,

gdzie x1, y1, z1 to współrzędne danego punktu, a, b, c to współczynniki prowadzące, które muszą być równe współczynnikom prowadzącym danej prostej.

Znajdźmy współczynniki przewodnie danej prostej A1A2:

a = 2 - 0 = 2 b = -1 - 7 = -8 c = 5 - 1 = 4

Zatem równanie prostej równoległej do prostej A1A2 i przechodzącej przez punkt A3 ma postać:

x = 1 + 2t y = 6 - 8t z = 3 + 4t

e) Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A4 i prostopadłej do prostej A1A2:

Aby znaleźć równanie płaszczyzny prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez dany punkt, należy skorzystać ze wzoru:

a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0,

gdzie x0, y0, z0 to współrzędne danego punktu, a, b, c to współczynniki kierunku, które muszą być prostopadłe do wektora kierunku danej prostej.

Znajdźmy wektor kierunkowy danej prostej A1A2:

u = (2, -8, 4)

Zatem współczynniki prowadzące płaszczyzny muszą być prostopadłe

IDZ Ryabushko 3.1 Opcja 6 to produkt cyfrowy będący zbiorem problemów matematycznych dla uczniów. Produkt zawiera zadania z różnorodnej tematyki, np. geometrii, algebry i trygonometrii, o różnym stopniu trudności, co pozwala wykorzystać go zarówno do samodzielnej nauki, jak i do przygotowania się do olimpiad i egzaminów.

Produkt zaprojektowano w pięknym formacie HTML, co sprawia, że jest łatwy w użyciu i pozwala szybko i łatwo znaleźć potrzebne informacje. Produkt zawiera również szczegółowy opis każdego zadania, a także przykładowe rozwiązania umożliwiające pełniejsze zrozumienie materiału.

IDZ Ryabushko 3.1 Opcja 6 to doskonały wybór dla każdego, kto chce podnieść poziom swojej wiedzy z matematyki i poprawić swoje wyniki w szkole lub na konkursach. Dzięki wygodnej formie i zawartości produkt ten stanie się niezastąpionym pomocnikiem każdego, kto chce skutecznie radzić sobie z problemami matematycznymi.

IDZ Ryabushko 3.1 Opcja 6 to zadanie matematyczne składające się z kilku zadań polegających na znajdowaniu równań prostych i płaszczyzn przechodzących przez dane punkty lub równoległych/prostopadłych do danych prostych i płaszczyzn.

Zadanie daje cztery punkty: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8) i należy utworzyć równania:

a) równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A1, A2 i A3; b) równanie prostej przechodzącej przez punkty A1 i A2; c) równanie prostej przechodzącej przez punkt A4 i prostopadłej do płaszczyzny A1A2A3; d) równanie prostej równoległej do prostej A1A2 i przechodzącej przez punkt A3; e) równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A4 i prostopadłej do prostej A1A2.

Do rozwiązania każdego problemu stosuje się odpowiednie formuły i metody opisane w warunkach zadania.

IDZ Ryabushko 3.1 Opcja 6 to zestaw zadań z matematyki obejmujących rozwiązywanie równań płaszczyzn i prostych, a także znajdowanie współczynników kierujących i płaszczyzn prostopadłych.

Zadanie daje cztery punkty: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8). Należy rozwiązać następujące zadania:

a) Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A1, A2 i A3. Można w tym celu posłużyć się wzorem łączącym współrzędne dowolnego punktu na płaszczyźnie ze współrzędnymi danych punktów.

b) Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkty A1 i A2. W tym celu należy skorzystać ze wzorów łączących współrzędne dowolnego punktu na prostej ze współrzędnymi danych punktów.

c) Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt A4 i prostopadłej do płaszczyzny A1A2A3. Aby to zrobić, należy najpierw znaleźć równanie płaszczyzny prostopadłej do danej płaszczyzny i przechodzącej przez dany punkt. Następnie należy znaleźć punkt przecięcia tej płaszczyzny z prostą przechodzącą przez dany punkt i równoległą do danej płaszczyzny. Na koniec należy utworzyć równanie prostej przechodzącej przez dany punkt i znaleziony punkt przecięcia.

d) Znajdź równanie prostej równoległej do prostej A1A2 i przechodzącej przez punkt A3. Aby to zrobić, należy skorzystać ze wzorów łączących współrzędne dowolnego punktu na linii ze współrzędnymi danego punktu i współczynnikami wiodącymi danej linii.

e) Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A4 i prostopadłej do prostej A1A2. W tym celu należy posłużyć się wzorem łączącym współrzędne dowolnego punktu na płaszczyźnie ze współrzędnymi danego punktu oraz współczynnikami prowadzącymi, które muszą być prostopadłe do prowadnicy danej prostej.

***

IDZ Ryabushko 3.1 Opcja 6 to zadanie z geometrii składające się z kilku podzadań o różnym stopniu złożoności.

Nr 1. W pierwszym zadaniu podane są cztery punkty w przestrzeni trójwymiarowej, należy także ułożyć równania płaszczyzny i prostych przechodzących przez te punkty, obliczyć kąty oraz znaleźć prostopadłe i równoległe.

a) Aby zestawić równanie płaszczyzny A1A2A3, można skorzystać ze wzoru na ogólne równanie płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0, gdzie współczynniki A, B i C wyznacza się za pomocą iloczynu wektorów leżących w tym samolocie. Zatem równanie płaszczyzny A1A2A3 ma postać:

-5x + 7y - 11z + 44 = 0

b) Aby zestawić równanie prostej A1A2, można skorzystać ze wzoru na równanie parametryczne prostej, który ma postać:

x = 2t y = 7 - 4t z = 1 + 4t

c) Aby zestawić równanie prostej A4M, można skorzystać ze wzoru na równanie parametryczne prostej przechodzącej przez punkty A4 i M. Punkt M nie jest określony, dlatego należy go wybrać dowolnie. Na przykład możesz przyjąć punkt M(0,0,0). Wtedy równanie parametryczne prostej A4M będzie miało postać:

x = 3t y = -9 - 3t z = 8 - 2t

Prostopadłą do płaszczyzny A1A2A3 można wyznaczyć wykorzystując wektor normalny tej płaszczyzny, który wyznaczają współczynniki równania płaszczyzny. Zatem wektor normalny płaszczyzny A1A2A3 ma współrzędne (-5, 7, -11), a prosta A4N, prostopadła do płaszczyzny A1A2A3, będzie miała równanie:

x = 3 + 5t y = -9 - 7t z = 8 + 11t

d) Prosta A3N jest równoległa do prostej A1A2, co oznacza, że jej wektor kierunkowy będzie pokrywał się z wektorem kierunkowym prostej A1A2. Wektor kierunkowy prostej A1A2 ma współrzędne (2, -8, 4), zatem równanie prostej A3N będzie miało postać:

x = 1 + 2t y = 6 - 8t z = 3 + 4t

e) Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A4 i prostopadłej do prostej A1A2 można znaleźć korzystając ze wzoru na ogólne równanie płaszczyzny i wektora normalnego, który będzie skierowany prostopadle do prostej A1A2, a zatem będzie pokrywał się z kierunkiem wektor linii A1A4. Wektor kierunkowy prostej A1A4 ma współrzędne (3, -16, 7), zatem wektor normalny płaszczyzny będzie miał współrzędne (3, -16, 7), a równanie płaszczyzny będzie wyglądało następująco:

3x - 16 lat + 7z + 118 = 0

e) Aby obliczyć sinus kąta między prostą A1A4 a płaszczyzną A1A2A3, należy znaleźć cosinus kąta między wektorem kierunku prostej A1A4 a wektorem normalnym płaszczyzny A1A2A3, a następnie przyjąć sinus kąta dodatkowego do obliczonego cosinusa. Wektor kierunkowy prostej A1A4 ma współrzędne (3, -16, 7), a wektor normalny płaszczyzny A1A2A3 ma współrzędne (-5, 7, -11). Ich iloczyn skalarny wynosi -211, a długości wektorów wynoszą √290,5 i √195, co daje cosinus kąta między nimi równy -0,924. W konsekwencji sinus kąta pomiędzy prostą A1A4 a płaszczyzną A1A2A3 będzie równy √(1-0,924^2) ≈ 0,383.

g) Aby obliczyć cosinus kąta pomiędzy płaszczyzną współrzędnych Oxy i płaszczyzną A1A2A3, należy znaleźć kąt pomiędzy ich wektorami normalnymi. Wektor normalny płaszczyzny współrzędnych Oxy ma współrzędne (0, 0, 1), a wektor normalny płaszczyzny A1A2A3 został znaleziony wcześniej i ma współrzędne (-5, 7, -11). Ich iloczyn skalarny wynosi -11, a długości wektorów wynoszą 1 i √195, co daje cosinus kąta między nimi równy -0,056. W rezultacie kąt pomiędzy płaszczyzną współrzędnych Oxy a płaszczyzną A1A2A3 będzie w przybliżeniu równy acos(-0,056) ≈ 90,6 stopnia.

Nr 2. W drugim zadaniu należy utworzyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez dwa dane punkty i równoległej do osi Oy.

Aby płaszczyzna była równoległa do osi Oy, jej wektor normalny musi być skierowany wzdłuż osi Oy, czyli jej współrzędne muszą wynosić (0, k, 0), gdzie k jest dowolną liczbą. Wektor normalny płaszczyzny musi być również prostopadły do wektora łączącego punkty A(2, 5, -1) i B(-3, 1, 3), czyli ich iloczyn skalarny musi wynosić zero.

Zatem równanie płaszczyzny wygląda następująco:

ky - 5k + 2*z - 4 = 0

gdzie k jest dowolną liczbą.

Nr 3. W trzecim zadaniu należy znaleźć wartość parametru, przy którym prosta jest równoległa do danej prostej. Aby to zrobić, należy wyrazić współrzędne wektora kierunku danej linii za pomocą parametrów i znaleźć odpowiednie współrzędne wektora kierunku żądanej linii. Wtedy potrzebujesz

***

Bardzo wygodny i zrozumiały format zadania.
Duża ilość zadań pozwala ćwiczyć przez długi czas.
Rozwiązaniom wszystkich problemów towarzyszą szczegółowe wyjaśnienia.
Zadania są dobrze zorganizowane i podzielone na sekcje, co ułatwia pracę.
Wiele różnych typów zadań pomaga utrwalić materiał w praktyce.
Stopniowo wzrasta złożoność zadań, co pomaga doskonalić swoje umiejętności.
Jakość materiałów jest bardzo wysoka i odpowiednia.
Program obejmuje wszystkie niezbędne tematy i sekcje, aby pomyślnie zdać egzamin.
Polecam ten produkt cyfrowy wszystkim studentom przygotowującym się do zdania IPD.
Produkt cyfrowy IDZ Ryabushko 3.1 Opcja 6 to doskonałe narzędzie do samodzielnej nauki i podnoszenia poziomu wiedzy.