IDZ Ryabushko 3.1 Alternativ 6

Nr 1. Fyra poäng ges: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8). Det är nödvändigt att skapa ekvationer:

a) Ekvation för ett plan som passerar genom punkterna A1, A2 och A3:

För att hitta ekvationen för ett plan som passerar genom tre punkter kan du använda formeln:

(x - x1)(y2 - yl)(z3 - z1) + (x2 - x1)(y - y1)(z3 - z1) + (x2 - x1)(y2 - y1)(z - z1) = 0,

där x, y, z är koordinaterna för en godtycklig punkt på planet, och x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3 är koordinaterna för givna punkter.

Låt oss ersätta punkternas koordinater och få ekvationen för planet:

(2 - x)(-8) + (0 - 2)(13) + (0 - 7)(3 - 1) = 0

Låt oss förenkla:

-16 + 26 - 12 = 0

Således har ekvationen för planet A1A2A3 formen:

-8x + 13y - 12z + 6 = 0.

b) Ekvation för en rät linje som går genom punkterna A1 och A2:

För att hitta ekvationen för en linje som går genom två givna punkter kan du använda formlerna:

x = x1 + vid y = y1 + bt z = z1 + ct,

där x1, y1, z1 och x2, y2, z2 är koordinaterna för givna punkter, a, b, c är vägledande koefficienter, t är en parameter.

Låt oss hitta de vägledande koefficienterna:

a = x2 - x1 = 2 - 0 = 2 b = y2 - y1 = -1 - 7 = -8 c = z2 - z1 = 5 - 1 = 4

Låt oss ersätta värdena för koordinaterna och riktningskoefficienterna och få ekvationen för den räta linjen:

x = 2t y = -8t + 7 z = 4t + 1

c) Ekvation för en rät linje som går genom punkt A4 och vinkelrät mot planet A1A2A3:

För att hitta ekvationen för en linje som är vinkelrät mot ett givet plan och som går genom en given punkt, måste du använda följande steg:

Hitta ekvationen för ett plan som går genom en given punkt och vinkelrätt mot det givna planet.
Hitta skärningspunkten för det hittade planet och en linje som går genom en given punkt och parallellt med ett givet plan.
Skriv en ekvation för en linje som går genom en given punkt och den hittade skärningspunkten.

Låt oss hitta ekvationen för ett plan vinkelrätt mot planet A1A2A3 och som går genom punkt A4. För att göra detta kan du använda formeln:

-8x + 13y - 12z + d = 0,

där d är den okända koefficienten som måste hittas. Låt oss ersätta koordinaterna för punkt A4 och få ekvationen för planet:

-83 +13(-9) - 12*8 + d = 0

Låt oss lösa ekvationen och hitta d:

d = 169

Således har ekvationen för planet som passerar genom punkt A4 och vinkelrätt mot planet A1A2A3 formen:

-8x + 13y - 12z + 169 = 0.

Låt oss hitta skärningspunkten för det hittade planet och den räta linjen A1A2. För att göra detta ersätter vi ekvationen för den räta linjen med ekvationen för planet och löser det resulterande ekvationssystemet:

-8(2t) + 13(-8t + 7) - 12(4t + 1) + 169 = 0

När vi löser ekvationen hittar vi värdet på parametern t:

t = -3/4

Låt oss nu hitta koordinaterna för skärningspunkten:

x = 2(-3/4) = -3/2 y = -8(-3/4) + 7 = 13 z = 4(-3/4) + 1 = -2

Således har skärningspunkten koordinater (-3/2; 13; -2). Det återstår att skapa en ekvation för en rät linje som går genom punkterna A4 och (-3/2; 13; -2). För att göra detta kommer vi att använda formlerna för ekvationen av en linje som går genom två punkter:

x = 3 - 5/4t y = -9 + 40/3t z = 8 - 11/2t

där t är en parameter.

d) Ekvation för en linje parallell med rät linje A1A2 och som går genom punkt A3:

För att hitta ekvationen för en linje parallell med en given linje och som går genom en given punkt, måste du använda formlerna:

x = x1 + vid y = y1 + bt z = z1 + ct,

där x1, y1, z1 är koordinaterna för den givna punkten, a, b, c är de vägledande koefficienterna, som måste vara lika med de vägledande koefficienterna för den givna räta linjen.

Låt oss hitta de vägledande koefficienterna för den givna räta linjen A1A2:

a = 2 - 0 = 2 b = -1 - 7 = -8 c = 5 - 1 = 4

Således har ekvationen för en linje parallell med linjen A1A2 och som går genom punkt A3 formen:

x = 1 + 2t y = 6 - 8t z = 3 + 4t

e) Ekvation för ett plan som går genom punkt A4 och vinkelrätt mot den räta linjen A1A2:

För att hitta ekvationen för ett plan vinkelrätt mot en given linje och som går genom en given punkt, måste du använda formeln:

a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0,

där x0, y0, z0 är koordinaterna för en given punkt, a, b, c är riktningskoefficienter som måste vara vinkelräta mot riktningsvektorn för en given rät linje.

Låt oss hitta riktningsvektorn för den givna räta linjen A1A2:

u = (2, -8, 4)

Sålunda måste de styrande koefficienterna för planet vara vinkelräta

Ryabushko IDZ 3.1 Alternativ 6 är en digital produkt, som är en samling matematikproblem för skolbarn. Den här produkten innehåller problem om olika ämnen, såsom geometri, algebra och trigonometri, med olika svårighetsgrader, vilket gör att du kan använda den både för självstudier och för att förbereda dig för olympiader och tentor.

Produkten är designad i ett vackert html-format, vilket gör den enkel att använda och gör att du snabbt och enkelt kan hitta den information du behöver. Produkten innehåller också en detaljerad beskrivning av varje uppgift, samt exempellösningar för en mer fullständig förståelse av materialet.

IDZ Ryabushko 3.1 Alternativ 6 är ett utmärkt val för alla som vill förbättra sin kunskapsnivå i matematik och förbättra sina resultat i skolan eller på tävlingar. Tack vare sitt bekväma format och innehåll kommer denna produkt att bli en oumbärlig assistent för alla som vill lyckas hantera matematiska problem.

IDZ Ryabushko 3.1 Alternativ 6 är en matematisk uppgift som innehåller flera uppgifter om att hitta ekvationer av linjer och plan som passerar genom givna punkter eller parallella/vinkelräta mot givna linjer och plan.

Uppgiften ger fyra poäng: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8), och det är nödvändigt att skapa ekvationerna:

a) ekvation för planet som passerar genom punkterna A1, A2 och A3; b) ekvationen för en rät linje som går genom punkterna A1 och A2; c) ekvationen för en rät linje som går genom punkt A4 och vinkelrät mot planet A1A2A3; d) ekvation av en linje parallell med rät linje A1A2 och som går genom punkt A3; e) ekvation för ett plan som går genom punkt A4 och vinkelrätt mot den räta linjen A1A2.

För att lösa varje problem används lämpliga formler och metoder som beskrivs i uppgiftsvillkoren.

IDZ Ryabushko 3.1 Alternativ 6 är en uppsättning uppgifter i matematik som inkluderar att lösa ekvationer av plan och linjer, samt att hitta riktningskoefficienter och vinkelräta plan.

Uppgiften ger fyra poäng: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8). Följande uppgifter behöver lösas:

a) Hitta ekvationen för planet som passerar genom punkterna A1, A2 och A3. För att göra detta kan du använda en formel som förbinder koordinaterna för en godtycklig punkt på planet med koordinaterna för givna punkter.

b) Hitta ekvationen för linjen som går genom punkterna A1 och A2. För att göra detta måste du använda formler som kopplar samman koordinaterna för en godtycklig punkt på en linje med koordinaterna för givna punkter.

c) Hitta ekvationen för linjen som går genom punkt A4 och vinkelrätt mot planet A1A2A3. För att göra detta måste du först hitta ekvationen för ett plan som är vinkelrätt mot ett givet plan och som går genom en given punkt. Sedan måste du hitta skärningspunkten för detta plan och en linje som går genom en given punkt och parallellt med ett givet plan. Och slutligen måste du skapa en ekvation för en linje som går genom en given punkt och den hittade skärningspunkten.

d) Hitta ekvationen för en linje parallell med linjen A1A2 och som går genom punkt A3. För att göra detta måste du använda formler som kopplar samman koordinaterna för en godtycklig punkt på en linje med koordinaterna för en given punkt och de vägledande koefficienterna för en given linje.

e) Hitta ekvationen för planet som går genom punkt A4 och vinkelrätt mot linjen A1A2. För att göra detta måste du använda en formel som förbinder koordinaterna för en godtycklig punkt på planet med koordinaterna för en given punkt och guidekoefficienter, som måste vara vinkelräta mot guiden för en given rät linje.

***

IDZ Ryabushko 3.1 Alternativ 6 är en geometriuppgift som innehåller flera deluppgifter av varierande komplexitet.

Nr 1. I den första uppgiften ges fyra punkter i det tredimensionella rummet, och du behöver också skapa ekvationer av planet och linjer som går genom dessa punkter, beräkna vinklar och hitta vinkelräta och paralleller.

a) För att sammanställa ekvationen för planet A1A2A3 kan du använda formeln för den allmänna ekvationen för planet Ax + By + Cz + D = 0, där koefficienterna A, B och C bestäms med hjälp av vektorprodukten av vektorer som ligger i detta plan. Således har ekvationen för planet A1A2A3 formen:

-5x + 7y - 11z + 44 = 0

b) För att sammanställa ekvationen för den räta linjen A1A2 kan du använda formeln för den räta linjens parametriska ekvation, som har formen:

x = 2t y = 7 - 4t z = 1 + 4t

c) För att sammanställa ekvationen för den räta linjen A4M kan du använda formeln för den parametriska ekvationen för en rät linje som går genom punkterna A4 och M. Punkt M är inte specificerad, så den måste väljas godtyckligt. Till exempel kan du ta punkt M(0,0,0). Då kommer den parametriska ekvationen för den räta linjen A4M att ha formen:

x = 3t y = -9 - 3t z = 8 - 2t

Den vinkelräta mot planet A1A2A3 kan hittas med hjälp av normalvektorn för detta plan, som bestäms av koefficienterna för planets ekvation. Således har normalvektorn för planet A1A2A3 koordinater (-5, 7, -11), och den räta linjen A4N, vinkelrät mot planet A1A2A3, kommer att ha ekvationen:

x = 3 + 5t y = -9 - 7t z = 8 + 11t

d) Rak A3N är parallell med rak A1A2, vilket betyder att dess riktningsvektor kommer att sammanfalla med riktningsvektorn för rak A1A2. Riktningsvektorn för den räta linjen A1A2 har koordinater (2, -8, 4), så ekvationen för den räta linjen A3N kommer att ha formen:

x = 1 + 2t y = 6 - 8t z = 3 + 4t

e) Ekvationen för ett plan som går genom punkt A4 och vinkelrätt mot linjen A1A2 kan hittas med formeln för den allmänna ekvationen för planet och normalvektorn, som kommer att riktas vinkelrätt mot linjen A1A2 och därför sammanfaller med riktningen vektor av linje A1A4. Riktningsvektorn för den räta linjen A1A4 har koordinater (3, -16, 7), så den normala vektorn för planet kommer att ha koordinater (3, -16, 7), och ekvationen för planet kommer att vara:

3x - 16y + 7z + 118 = 0

e) För att beräkna sinus för vinkeln mellan den räta linjen A1A4 och planet A1A2A3, måste du hitta cosinus för vinkeln mellan riktningsvektorn för den räta linjen A1A4 och normalvektorn för planet A1A2A3, och sedan ta sinus för vinkeln utöver den beräknade cosinus. Riktningsvektorn för den räta linjen A1A4 har koordinater (3, -16, 7), och normalvektorn för planet A1A2A3 har koordinater (-5, 7, -11). Deras prickprodukt är -211, och längderna på vektorerna är √290,5 och √195, vilket ger cosinus för vinkeln mellan dem lika med -0,924. Följaktligen kommer sinus för vinkeln mellan den räta linjen A1A4 och planet A1A2A3 att vara lika med √(1-0,924^2) ≈ 0,383.

g) För att beräkna cosinus för vinkeln mellan koordinatplanet Oxy och planet A1A2A3 måste du hitta vinkeln mellan deras normalvektorer. Normalvektorn för koordinatplanet Oxy har koordinater (0, 0, 1), och normalvektorn för planet A1A2A3 hittades tidigare och har koordinater (-5, 7, -11). Deras prickprodukt är -11, och längderna på vektorerna är 1 och √195, vilket ger cosinus för vinkeln mellan dem lika med -0,056. Följaktligen kommer vinkeln mellan koordinatplanet Oxy och planet A1A2A3 att vara ungefär lika med acos(-0,056) ≈ 90,6 grader.

Nr 2. I den andra uppgiften måste du skapa en ekvation för ett plan som går genom två givna punkter och parallellt med Oy-axeln.

För att planet ska vara parallellt med Oy-axeln måste dess normalvektor vara riktad längs Oy-axeln, det vill säga dess koordinater måste vara (0, k, 0), där k är ett godtyckligt tal. Planets normalvektor måste också vara vinkelrät mot vektoranslutningspunkterna A(2, 5, -1) och B(-3, 1, 3), det vill säga deras punktprodukt måste vara noll.

Planets ekvation är alltså:

ky - 5k + 2*z - 4 = 0

där k är ett godtyckligt tal.

Nr 3. I den tredje uppgiften måste du hitta värdet på parametern där linjen är parallell med en given linje. För att göra detta är det nödvändigt att uttrycka koordinaterna för riktningsvektorn för en given linje genom parametrar och hitta motsvarande koordinater för riktningsvektorn för den önskade linjen. Då behöver du

***

Mycket bekvämt och begripligt uppdragsformat.
Ett stort antal uppgifter gör att du kan öva länge.
Lösningar på alla problem åtföljs av detaljerade förklaringar.
Arbetsuppgifterna är välstrukturerade och uppdelade i avsnitt vilket underlättar arbetet.
Många olika typer av uppdrag hjälper till att förstärka materialet i praktiken.
Komplexiteten i uppgifterna ökar gradvis, vilket hjälper till att förbättra dina färdigheter.
Materialkvaliteten är mycket hög och relevant.
Programmet täcker alla nödvändiga ämnen och avsnitt för att klara provet.
Jag rekommenderar denna digitala produkt till alla studenter som förbereder sig för att ta IPD.
Digital produkt IDZ Ryabushko 3.1 Alternativ 6 är ett utmärkt verktyg för självstudier och för att öka kunskapsnivån.