IDZ Ryabushko 3.1 6. lehetőség

1. sz. Négy pont jár: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8). Egyenleteket kell létrehozni:

a) Az A1, A2 és A3 pontokon átmenő sík egyenlete:

A három ponton áthaladó sík egyenletének meghatározásához a következő képletet használhatja:

(x-x1)(y2-y1)(z3-z1) + (x2-x1)(y-y1)(z3-z1) + (x2-x1)(y2-y1)(z-z1) = 0,

ahol x, y, z a sík tetszőleges pontjának koordinátái, x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3 pedig adott pontok koordinátái.

Helyettesítsük be a pontok koordinátáit, és kapjuk meg a sík egyenletét:

(2 - x) (-8) + (0 - 2) (13) + (0 - 7) (3 - 1) = 0

Egyszerűsítsünk:

-16 + 26 - 12 = 0

Így az A1A2A3 sík egyenlete a következőképpen alakul:

-8x + 13y - 12z + 6 = 0.

b) Az A1 és A2 pontokon átmenő egyenes egyenlete:

Két adott ponton áthaladó egyenes egyenletének meghatározásához a következő képleteket használhatja:

x = x1 + at y = y1 + bt z = z1 + ct,

ahol x1, y1, z1 és x2, y2, z2 adott pontok koordinátái, a, b, c irányító együtthatók, t egy paraméter.

Keressük az irányadó együtthatókat:

a = x2 - x1 = 2 - 0 = 2 b = y2 - y1 = -1 - 7 = -8 c = z2 - z1 = 5 - 1 = 4

Helyettesítsük be a koordináták és az iránytényezők értékeit, és kapjuk meg az egyenes egyenletét:

x = 2t y = -8t + 7 z = 4t + 1

c) Az A4 ponton átmenő és az A1A2A3 síkra merőleges egyenes egyenlete:

Egy adott síkra merőleges és egy adott ponton áthaladó egyenes egyenletének meghatározásához a következő lépéseket kell végrehajtania:

1. Határozzuk meg egy adott ponton átmenő és az adott síkra merőleges sík egyenletét!
2. Keresse meg a talált sík és egy adott ponton átmenő, adott síkkal párhuzamos egyenes metszéspontját!
3. Írjon egyenletet egy adott ponton és a talált metszésponton átmenő egyenesre!

Határozzuk meg az A1A2A3 síkra merőleges és az A4 ponton átmenő sík egyenletét. Ehhez használhatja a következő képletet:

-8x + 13y - 12z + d = 0,

ahol d az ismeretlen együttható, amelyet meg kell találni. Helyettesítsük be az A4 pont koordinátáit, és kapjuk meg a sík egyenletét:

-83 +13(-9) - 12*8 + d = 0

Oldjuk meg az egyenletet és keressük meg d-t:

d = 169

Így az A4 ponton átmenő és az A1A2A3 síkra merőleges sík egyenlete a következő:

-8x + 13y - 12z + 169 = 0.

Keressük meg a talált sík és az A1A2 egyenes metszéspontját. Ehhez behelyettesítjük az egyenes egyenletét a sík egyenletébe, és megoldjuk a kapott egyenletrendszert:

-8 (2t) + 13 (-8t + 7) - 12 (4t + 1) + 169 = 0

Az egyenletet megoldva megtaláljuk a t paraméter értékét:

t = -3/4

Most keressük meg a metszéspont koordinátáit:

x = 2 (-3/4) = -3/2 y = -8 (-3/4) + 7 = 13 z = 4 (-3/4) + 1 = -2

Így a metszéspontnak vannak koordinátái (-3/2; 13; -2). Marad az A4 és (-3/2; 13; -2) pontokon áthaladó egyenes egyenletének létrehozása. Ehhez a két ponton átmenő egyenes egyenletének képleteit használjuk:

x = 3-5/4t y = -9 + 40/3t z = 8-11/2t

ahol t egy paraméter.

d) Az A1A2 egyenessel párhuzamos és A3 ponton átmenő egyenes egyenlete:

Egy adott egyenessel párhuzamos és egy adott ponton áthaladó egyenes egyenletének meghatározásához a következő képleteket kell használni:

x = x1 + at y = y1 + bt z = z1 + ct,

ahol x1, y1, z1 az adott pont koordinátái, a, b, c a vezető együtthatók, amelyeknek meg kell egyeznie az adott egyenes irányító együtthatóival.

Keressük meg az adott A1A2 egyenes irányító együtthatóit:

a = 2 - 0 = 2 b = -1 - 7 = -8 c = 5 - 1 = 4

Így az A1A2 egyenessel párhuzamos és az A3 ponton áthaladó egyenes egyenlete a következőképpen alakul:

x = 1 + 2t y = 6 - 8t z = 3 + 4t

e) Az A4 ponton átmenő és az A1A2 egyenesre merőleges sík egyenlete:

Egy adott egyenesre merőleges és egy adott ponton áthaladó sík egyenletének meghatározásához a következő képletet kell használni:

a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0,

ahol x0, y0, z0 egy adott pont koordinátái, a, b, c iránytényezők, amelyeknek merőlegesnek kell lenniük egy adott egyenes irányvektorára.

Keressük meg az adott A1A2 egyenes irányvektorát:

u = (2, -8, 4)

Így a sík vezető együtthatóinak merőlegesnek kell lenniük

A Ryabushko IDZ 3.1 Option 6 egy digitális termék, amely matematikai feladatok gyűjteménye iskolásoknak. Ez a termék különböző témákban, például geometriával, algebrával és trigonometriával kapcsolatos problémákat tartalmaz, különböző nehézségi fokú, ami lehetővé teszi, hogy mind az önálló tanuláshoz, mind az olimpiára és vizsgára való felkészüléshez használja.

A termék gyönyörű html formátumban készült, amely megkönnyíti a használatát, és lehetővé teszi a szükséges információk gyors és egyszerű megtalálását. A termék részletes leírást is tartalmaz az egyes feladatokról, valamint példamegoldásokat az anyag teljesebb megértéséhez.

Az IDZ Ryabushko 3.1 Option 6 kitűnő választás mindazok számára, akik szeretnék fejleszteni matematikai tudásukat és javítani az iskolai vagy versenyeken elért eredményeiket. Kényelmes formátumának és tartalmának köszönhetően ez a termék nélkülözhetetlen asszisztenssé válik mindazok számára, akik sikeresen meg akarnak birkózni matematikai problémákkal.

Az IDZ Ryabushko 3.1 Option 6 egy matematikai feladat, amely számos olyan feladatot tartalmaz, amelyek adott pontokon átmenő vagy adott egyenesekkel és síkokkal párhuzamos/merőleges egyenesek és síkok egyenleteinek megkeresésére szolgálnak.

A feladat négy pontot ad: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8), és létre kell hozni az egyenletek:

a) az A1, A2 és A3 pontokon átmenő sík egyenlete; b) az A1 és A2 pontokon átmenő egyenes egyenlete; c) az A4 ponton átmenő és az A1A2A3 síkra merőleges egyenes egyenlete; d) az A1A2 egyenessel párhuzamos és az A3 ponton átmenő egyenes egyenlete; e) az A4 ponton átmenő és az A1A2 egyenesre merőleges sík egyenlete.

Az egyes feladatok megoldásához a feladatfeltételekben leírt megfelelő képleteket és módszereket alkalmazzuk.

Az IDZ Ryabushko 3.1 Option 6 egy matematikai feladatsor, amely magában foglalja a síkok és egyenesek egyenleteinek megoldását, valamint az irányító együtthatók és a merőleges síkok megtalálását.

A feladat négy pontot ad: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8). A következő feladatokat kell megoldani:

a) Határozzuk meg az A1, A2 és A3 pontokon átmenő sík egyenletét! Ehhez használhat egy képletet, amely összeköti a sík tetszőleges pontjának koordinátáit adott pontok koordinátáival.

b) Határozza meg az A1 és A2 pontokon átmenő egyenes egyenletét! Ehhez olyan képleteket kell használni, amelyek egy egyenes tetszőleges pontjának koordinátáit összekapcsolják adott pontok koordinátáival.

c) Határozzuk meg az A4 ponton átmenő és az A1A2A3 síkra merőleges egyenes egyenletét! Ehhez először meg kell találni egy adott síkra merőleges és egy adott ponton áthaladó sík egyenletét. Ezután meg kell találnia ennek a síknak a metszéspontját és egy adott ponton átmenő és egy adott síkkal párhuzamos egyenest. És végül létre kell hoznia egy egyenletet egy adott ponton és a talált metszésponton áthaladó egyenesre.

d) Határozzuk meg az A1A2 egyenessel párhuzamos és A3 ponton átmenő egyenes egyenletét! Ehhez olyan képleteket kell használni, amelyek egy egyenes tetszőleges pontjának koordinátáit kötik össze egy adott pont koordinátáival és egy adott egyenes irányító együtthatóival.

e) Határozzuk meg az A4 ponton átmenő és az A1A2 egyenesre merőleges sík egyenletét! Ehhez olyan képletet kell használni, amely a sík tetszőleges pontjának koordinátáit összeköti egy adott pont koordinátáival és vezető együtthatókkal, amelyeknek merőlegesnek kell lenniük egy adott egyenes vezetőjére.

***

Az IDZ Ryabushko 3.1 Option 6 egy geometriai feladat, amely több, különböző bonyolultságú részfeladatot tartalmaz.

1. sz. Az első feladatban négy pontot adunk meg a háromdimenziós térben, emellett meg kell alkotni a sík és az ezeken a pontokon áthaladó egyenesek egyenleteit, szögeket számolni, merőlegeseket és párhuzamosokat találni.

a) Az A1A2A3 sík egyenletének összeállításához használhatja az Ax + By + Cz + D = 0 sík általános egyenletének képletét, ahol az A, B és C együtthatókat a fekvő vektorok vektorszorzatával határozzuk meg. ebben a síkban. Így az A1A2A3 sík egyenlete a következőképpen alakul:

-5x + 7y - 11z + 44 = 0

b) Az A1A2 egyenes egyenletének összeállításához használhatja az egyenes paraméteres egyenletének képletét, amelynek alakja:

x = 2t y = 7-4t z = 1 + 4t

c) Az A4M egyenes egyenletének összeállításához használhatja az A4 és M pontokon átmenő egyenes paraméteres egyenletének képletét. Az M pont nincs megadva, ezért tetszőlegesen kell kiválasztani. Például veheti az M(0,0,0) pontot. Ekkor az A4M egyenes paraméteres egyenlete a következő lesz:

x = 3t y = -9 - 3t z = 8-2t

Az A1A2A3 síkra merőleges ennek a síknak a normálvektorával kereshető meg, amelyet a sík egyenletének együtthatói határoznak meg. Így az A1A2A3 sík normálvektorának koordinátái (-5, 7, -11), az A1A2A3 síkra merőleges A4N egyenesnek pedig a következő egyenlete lesz:

x = 3 + 5t y = -9 - 7t z = 8 + 11t

d) Az A3N egyenes párhuzamos az A1A2 egyenessel, ami azt jelenti, hogy irányvektora egybeesik az A1A2 egyenes irányvektorával. Az A1A2 egyenes irányvektorának koordinátái (2, -8, 4) vannak, így az A3N egyenes egyenlete a következő lesz:

x = 1 + 2t y = 6-8t z = 3 + 4t

e) Az A4 ponton átmenő és az A1A2 egyenesre merőleges sík egyenlete a sík általános egyenletének és a normálvektornak a képletével kereshető meg, amely az A1A2 egyenesre merőleges lesz, és ezért egybeesik az irányával. Az A1A4 egyenes vektora. Az A1A4 egyenes irányvektorának koordinátái vannak (3, -16, 7), így a sík normálvektorának koordinátái (3, -16, 7) lesznek, a sík egyenlete pedig:

3x - 16 év + 7z + 118 = 0

e) Az A1A4 egyenes és az A1A2A3 sík közötti szög szinuszának kiszámításához meg kell találni az A1A4 egyenes irányvektora és az A1A2A3 sík normálvektora közötti szög koszinuszát, majd fel kell venni a a számított koszinuszhoz hozzáadott szög szinusza. Az A1A4 egyenes irányvektorának koordinátái (3, -16, 7), az A1A2A3 sík normálvektorának pedig (-5, 7, -11) koordinátái vannak. Pontszorzatuk -211, a vektorok hossza pedig √290,5 és √195, ami a köztük lévő szög koszinuszát -0,924-nek adja. Következésképpen az A1A4 egyenes és az A1A2A3 sík közötti szög szinusza egyenlő lesz: √(1-0,924^2) ≈ 0,383.

g) Az Oxy koordinátasík és az A1A2A3 sík közötti szög koszinuszának kiszámításához meg kell találni a normálvektoraik közötti szöget. Az Oxy koordinátasík normálvektorának koordinátái vannak (0, 0, 1), az A1A2A3 sík normálvektorát pedig korábban megtaláltuk, és koordinátái vannak (-5, 7, -11). Pontszorzatuk -11, a vektorok hossza pedig 1 és √195, ami a köztük lévő szög koszinuszát -0,056-nak adja. Következésképpen az Oxy koordinátasík és az A1A2A3 sík közötti szög megközelítőleg egyenlő lesz: acos(-0,056) ≈ 90,6 fok.

2. sz. A második feladatban egyenletet kell létrehozni egy két megadott ponton átmenő és az Oy tengellyel párhuzamos síkra.

Ahhoz, hogy a sík párhuzamos legyen az Oy tengellyel, normálvektorát az Oy tengely mentén kell irányítani, azaz koordinátáinak (0, k, 0) kell lenniük, ahol k tetszőleges szám. A sík normálvektorának is merőlegesnek kell lennie az A(2, 5, -1) és B(-3, 1, 3) pontokat összekötő vektorra, azaz pontszorzatuk nullának kell lennie.

Így a sík egyenlete:

ky - 5k + 2*z - 4 = 0

ahol k tetszőleges szám.

3. sz. A harmadik feladatban meg kell találni annak a paraméternek az értékét, amelynél az egyenes párhuzamos egy adott egyenessel. Ehhez ki kell fejezni egy adott egyenes irányvektorának koordinátáit paramétereken keresztül, és meg kell találni a kívánt egyenes irányvektorának megfelelő koordinátáit. Akkor kell

***

1. Nagyon kényelmes és érthető feladatformátum.
2. A feladatok nagy száma lehetővé teszi a hosszú távú gyakorlást.
3. Minden probléma megoldását részletes magyarázat kíséri.
4. A feladatok jól felépítettek, szakaszokra bontottak, ami megkönnyíti a munkát.
5. Sok különböző típusú feladat segíti az anyagot a gyakorlatban.
6. A feladatok összetettsége fokozatosan növekszik, ami segít fejleszteni képességeit.
7. Az anyagok minősége nagyon magas és releváns.
8. A program lefedi az összes szükséges témát és szakaszt a sikeres vizsgához.
9. Ezt a digitális terméket minden olyan diáknak ajánlom, aki IPD-re készül.
10. Az IDZ Ryabushko 3.1 Option 6 digitális termék kiváló eszköz az önálló tanuláshoz és a tudásszint növeléséhez.

Sajátosságok:

Nagyon kényelmes és érthető formátum az anyagok bemutatásához.

Minden feladatot részletes megoldásokkal és magyarázatokkal látunk el.

Kiváló felkészülés az informatika vizsgára.

Mindenkinek ajánlom, aki sikeresen le akarja tenni az IDZ-t számítástechnikából.

Kiváló választás azoknak, akik az informatika területén szeretnék fejleszteni tudásukat.

A feladatok nagy száma lehetővé teszi az anyag gyakorlati konszolidálását.

Megéri az árát.