IDZ Ryabushko 3.1 Tùy chọn 6

Số 1. Bốn điểm được cho: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8). Cần thiết lập các phương trình:

a) Phương trình mặt phẳng đi qua các điểm A1, A2 và A3:

Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm, ta có thể sử dụng công thức:

(x - x1)(y2 - y1)(z3 - z1) + (x2 - x1)(y - y1)(z3 - z1) + (x2 - x1)(y2 - y1)(z - z1) = 0,

trong đó x, y, z là tọa độ của một điểm tùy ý trên mặt phẳng và x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3 là tọa độ của các điểm đã cho.

Thay tọa độ các điểm và được phương trình của mặt phẳng:

(2 - x)(-8) + (0 - 2)(13) + (0 - 7)(3 - 1) = 0

Hãy đơn giản hóa:

-16 + 26 - 12 = 0

Như vậy phương trình mặt phẳng A1A2A3 có dạng:

-8x + 13y - 12z + 6 = 0.

b) Phương trình đường thẳng đi qua các điểm A1 và A2:

Để tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước, bạn có thể sử dụng các công thức:

x = x1 + tại y = y1 + bt z = z1 + ct,

trong đó x1, y1, z1 và x2, y2, z2 là tọa độ các điểm cho trước, a, b, c là các hệ số dẫn hướng, t là tham số.

Hãy tìm các hệ số dẫn hướng:

a = x2 - x1 = 2 - 0 = 2 b = y2 - y1 = -1 - 7 = -8 c = z2 - z1 = 5 - 1 = 4

Thay các giá trị tọa độ và hệ số hướng và thu được phương trình của đường thẳng:

x = 2t y = -8t + 7 z = 4t + 1

c) Phương trình đường thẳng đi qua điểm A4 và vuông góc với mặt phẳng A1A2A3:

Để tìm phương trình đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước và đi qua một điểm cho trước, bạn phải thực hiện các bước sau:

Tìm phương trình mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với mặt phẳng đó.
Tìm giao điểm của mặt phẳng tìm được và đường thẳng đi qua một điểm cho trước và song song với một mặt phẳng cho trước.
Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước và giao điểm tìm được.

Hãy tìm phương trình mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng A1A2A3 và đi qua điểm A4. Để làm điều này bạn có thể sử dụng công thức:

-8x + 13y - 12z + d = 0,

trong đó d là hệ số chưa biết cần tìm. Thay tọa độ điểm A4 và được phương trình của mặt phẳng:

-83 +13(-9) - 12*8 + d = 0

Giải phương trình và tìm d:

d = 169

Như vậy phương trình mặt phẳng đi qua điểm A4 và vuông góc với mặt phẳng A1A2A3 có dạng:

-8x + 13y - 12z + 169 = 0.

Hãy tìm giao điểm của mặt phẳng tìm được và đường thẳng A1A2. Để làm điều này, chúng ta thay phương trình đường thẳng vào phương trình mặt phẳng và giải hệ phương trình thu được:

-8(2t) + 13(-8t + 7) - 12(4t + 1) + 169 = 0

Giải phương trình ta tìm được giá trị của tham số t:

t = -3/4

Bây giờ chúng ta hãy tìm tọa độ giao điểm:

x = 2(-3/4) = -3/2 y = -8(-3/4) + 7 = 13 z = 4(-3/4) + 1 = -2

Như vậy giao điểm có tọa độ (-3/2; 13; -2). Việc còn lại là lập phương trình đường thẳng đi qua các điểm A4 và (-3/2; 13; -2). Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức tính phương trình đường thẳng đi qua hai điểm:

x = 3 - 5/4t y = -9 + 40/3t z = 8 - 11/2t

trong đó t là một tham số.

d) Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng A1A2 đi qua điểm A3:

Để tìm phương trình của một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước và đi qua một điểm cho trước, bạn phải sử dụng các công thức:

x = x1 + tại y = y1 + bt z = z1 + ct,

trong đó x1, y1, z1 là tọa độ các điểm cho trước, a, b, c là các hệ số dẫn hướng, các hệ số dẫn hướng của đoạn thẳng đã cho.

Hãy tìm các hệ số dẫn hướng của đường thẳng A1A2 đã cho:

a = 2 - 0 = 2 b = -1 - 7 = -8 c = 5 - 1 = 4

Như vậy phương trình đường thẳng song song với đường thẳng A1A2 đi qua điểm A3 có dạng:

x = 1 + 2t y = 6 - 8t z = 3 + 4t

e) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A4 và vuông góc với đường thẳng A1A2:

Để tìm phương trình mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước và đi qua một điểm cho trước, bạn phải sử dụng công thức:

a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0,

trong đó x0, y0, z0 là tọa độ của một điểm cho trước, a, b, c là các hệ số hướng phải vuông góc với vectơ chỉ phương của một đường thẳng cho trước.

Hãy tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng A1A2 đã cho:

u = (2, -8, 4)

Như vậy các hệ số dẫn hướng của mặt phẳng phải vuông góc

IDZ Ryabushko 3.1 Tùy chọn 6 là một sản phẩm kỹ thuật số, là tập hợp các bài toán dành cho học sinh. Sản phẩm này chứa các bài toán về nhiều chủ đề khác nhau, chẳng hạn như hình học, đại số và lượng giác, với nhiều mức độ khó khác nhau, cho phép bạn sử dụng nó để tự học cũng như chuẩn bị cho các kỳ thi và kỳ thi Olympic.

Sản phẩm được thiết kế theo định dạng html đẹp mắt, dễ sử dụng và giúp bạn tìm thấy thông tin mình cần một cách nhanh chóng và dễ dàng. Sản phẩm cũng chứa mô tả chi tiết về từng nhiệm vụ cũng như các giải pháp ví dụ để hiểu đầy đủ hơn về tài liệu.

IDZ Ryabushko 3.1 Option 6 là sự lựa chọn tuyệt vời cho những ai muốn nâng cao trình độ kiến thức về toán học và cải thiện kết quả ở trường hoặc trong các cuộc thi. Nhờ hình thức và nội dung tiện lợi, sản phẩm này sẽ trở thành trợ thủ đắc lực không thể thiếu cho bất kỳ ai muốn giải quyết thành công các bài toán.

IDZ Ryabushko 3.1 Tùy chọn 6 là một bài toán bao gồm một số nhiệm vụ tìm phương trình đường thẳng và mặt phẳng đi qua các điểm cho trước hoặc song song/vuông góc với đường thẳng và mặt phẳng cho trước.

Nhiệm vụ đưa ra 4 điểm: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8), và cần tạo các phương trình:

a) phương trình mặt phẳng đi qua các điểm A1, A2 và A3; b) phương trình đường thẳng đi qua các điểm A1 và A2; c) phương trình đường thẳng đi qua điểm A4 và vuông góc với mặt phẳng A1A2A3; d) phương trình đường thẳng song song với đường thẳng A1A2 và đi qua điểm A3; e) phương trình mặt phẳng đi qua điểm A4 và vuông góc với đường thẳng A1A2.

Để giải quyết từng vấn đề, các công thức và phương pháp thích hợp được mô tả trong các điều kiện của nhiệm vụ sẽ được sử dụng.

IDZ Ryabushko 3.1 Tùy chọn 6 là một tập hợp các nhiệm vụ trong toán học, bao gồm giải các phương trình mặt phẳng và đường thẳng, cũng như tìm các hệ số định hướng và các mặt phẳng vuông góc.

Nhiệm vụ đưa ra bốn điểm: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8). Các nhiệm vụ sau cần được giải quyết:

a) Tìm phương trình mặt phẳng đi qua các điểm A1, A2 và A3. Để làm điều này, bạn có thể sử dụng công thức nối tọa độ của một điểm tùy ý trên mặt phẳng với tọa độ của các điểm đã cho.

b) Tìm phương trình đường thẳng đi qua các điểm A1 và A2. Để làm được điều này, bạn cần sử dụng các công thức nối tọa độ của một điểm tùy ý trên đường thẳng với tọa độ của các điểm đã cho.

c) Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm A4 và vuông góc với mặt phẳng A1A2A3. Để làm điều này, trước tiên bạn cần tìm phương trình của một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước và đi qua một điểm cho trước. Sau đó, bạn cần tìm giao điểm của mặt phẳng này và một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và song song với một mặt phẳng cho trước. Và cuối cùng, bạn cần lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước và giao điểm tìm được.

d) Tìm phương trình đường thẳng song song với đường thẳng A1A2 và đi qua điểm A3. Để làm điều này, bạn cần sử dụng các công thức kết nối tọa độ của một điểm tùy ý trên một đường thẳng với tọa độ của một điểm cho trước và các hệ số hướng của một đường thẳng cho trước.

e) Tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm A4 và vuông góc với đường thẳng A1A2. Để làm được điều này, bạn cần sử dụng công thức nối tọa độ của một điểm tùy ý trên mặt phẳng với tọa độ của một điểm cho trước và các hệ số hướng dẫn phải vuông góc với hướng của một đường thẳng cho trước.

***

IDZ Ryabushko 3.1 Tùy chọn 6 là một nhiệm vụ hình học chứa một số nhiệm vụ phụ có độ phức tạp khác nhau.

Số 1. Trong nhiệm vụ đầu tiên, bốn điểm được cho trong không gian ba chiều, đồng thời bạn cũng cần lập phương trình của mặt phẳng và đường thẳng đi qua các điểm này, tính các góc và tìm các đường vuông góc và song song.

a) Để biên dịch phương trình mặt phẳng A1A2A3, có thể sử dụng công thức tính phương trình tổng quát của mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó các hệ số A, B và C được xác định bằng tích vectơ của các vectơ nằm trong mặt phẳng này. Như vậy phương trình mặt phẳng A1A2A3 có dạng:

-5x + 7y - 11z + 44 = 0

b) Để biên dịch phương trình đường thẳng A1A2, có thể sử dụng công thức tính phương trình tham số của đường thẳng có dạng:

x = 2t y = 7 - 4t z = 1 + 4t

c) Để soạn phương trình đường thẳng A4M, có thể sử dụng công thức viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua các điểm A4 và M. Điểm M không xác định nên phải chọn tùy ý. Ví dụ: bạn có thể lấy điểm M(0,0,0). Khi đó phương trình tham số của đường thẳng A4M sẽ có dạng:

x = 3t y = -9 - 3t z = 8 - 2t

Đường vuông góc với mặt phẳng A1A2A3 có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này, được xác định bởi các hệ số của phương trình mặt phẳng. Như vậy, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng A1A2A3 có tọa độ (-5, 7, -11) và đường thẳng A4N vuông góc với mặt phẳng A1A2A3 sẽ có phương trình:

x = 3 + 5t y = -9 - 7t z = 8 + 11t

d) Đường thẳng A3N song song với đường thẳng A1A2, nghĩa là vectơ chỉ phương của nó trùng với vectơ chỉ phương của đường thẳng A1A2. Vectơ chỉ phương của đường thẳng A1A2 có tọa độ (2, -8, 4) nên phương trình đường thẳng A3N sẽ có dạng:

x = 1 + 2t y = 6 - 8t z = 3 + 4t

e) Có thể tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm A4 và vuông góc với đường thẳng A1A2 bằng công thức tính phương trình tổng quát của mặt phẳng và vectơ pháp tuyến sẽ hướng vuông góc với đường thẳng A1A2 và do đó trùng với hướng vectơ đường thẳng A1A4. Vectơ chỉ phương của đường thẳng A1A4 có tọa độ (3, -16, 7) nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng sẽ có tọa độ (3, -16, 7) và phương trình của mặt phẳng sẽ là:

3x - 16y + 7z + 118 = 0

f) Để tính sin góc giữa đường thẳng A1A4 và mặt phẳng A1A2A3, ta cần tìm cosin của góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng A1A4 và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng A1A2A3 rồi lấy sin của góc cộng với cosin đã tính. Vectơ chỉ phương của đường thẳng A1A4 có tọa độ (3, -16, 7), vectơ pháp tuyến của mặt phẳng A1A2A3 có tọa độ (-5, 7, -11). Tích số chấm của chúng là -211 và độ dài của các vectơ là √290,5 và √195, mang lại cosin của góc giữa chúng bằng -0,924. Do đó, sin của góc giữa đường thẳng A1A4 và mặt phẳng A1A2A3 sẽ bằng √(1-0.924^2) ≈ 0.383.

g) Để tính cosin của góc giữa mặt phẳng tọa độ Oxy và mặt phẳng A1A2A3, cần tìm góc giữa các vectơ pháp tuyến của chúng. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng tọa độ Oxy có tọa độ (0, 0, 1), vectơ pháp tuyến của mặt phẳng A1A2A3 đã tìm thấy trước đó và có tọa độ (-5, 7, -11). Tích số chấm của chúng là -11 và độ dài vectơ là 1 và √195, cho cosin của góc giữa chúng bằng -0,056. Do đó, góc giữa mặt phẳng tọa độ Oxy và mặt phẳng A1A2A3 sẽ xấp xỉ bằng acos(-0,056) ≈ 90,6 độ.

Số 2. Ở nhiệm vụ thứ hai, bạn cần lập phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm cho trước và song song với trục Oy.

Để mặt phẳng song song với trục Oy thì vectơ pháp tuyến của nó phải hướng dọc theo trục Oy, nghĩa là tọa độ của nó phải là (0, k, 0), trong đó k là một số tùy ý. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cũng phải vuông góc với vectơ nối các điểm A(2, 5, -1) và B(-3, 1, 3), tức là tích vô hướng của chúng phải bằng 0.

Do đó phương trình của mặt phẳng là:

knăm - 5k + 2*z - 4 = 0

trong đó k là một số tùy ý.

Số 3. Trong nhiệm vụ thứ ba, bạn cần tìm giá trị của tham số tại đó đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước. Để làm được điều này, cần biểu diễn tọa độ vectơ chỉ phương của một đường thẳng cho trước thông qua các tham số và tìm tọa độ tương ứng của vectơ chỉ phương của đường thẳng mong muốn. Sau đó bạn cần

***

Dạng bài tập rất tiện lợi và dễ hiểu.
Một số lượng lớn nhiệm vụ cho phép bạn thực hành trong thời gian dài.
Giải pháp cho mọi vấn đề đều có kèm theo lời giải thích chi tiết.
Các nhiệm vụ được cấu trúc tốt và chia thành các phần, giúp công việc trở nên dễ dàng hơn.
Nhiều loại bài tập khác nhau giúp củng cố tài liệu trong thực tế.
Độ phức tạp của nhiệm vụ tăng dần, giúp nâng cao kỹ năng của bạn.
Chất lượng của vật liệu rất cao và phù hợp.
Chương trình bao gồm tất cả các chủ đề và phần cần thiết để vượt qua kỳ thi thành công.
Tôi giới thiệu sản phẩm kỹ thuật số này cho tất cả học sinh đang chuẩn bị thi IPD.
Sản phẩm kỹ thuật số IDZ Ryabushko 3.1 Tùy chọn 6 là một công cụ tuyệt vời để tự học và nâng cao trình độ kiến thức.