IDZ Ryabushko 3.1 Вариант 6

Номер 1. Дават се четири точки: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8). Необходимо е да се съставят уравнения:

а) Уравнение на равнина, минаваща през точки A1, A2 и A3:

За да намерите уравнението на равнина, минаваща през три точки, можете да използвате формулата:

(x - x1)(y2 - y1)(z3 - z1) + (x2 - x1)(y - y1)(z3 - z1) + (x2 - x1)(y2 - y1)(z - z1) = 0,

където x, y, z са координатите на произволна точка от равнината, а x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3 са координатите на дадени точки.

Нека заместим координатите на точките и да получим уравнението на равнината:

(2 - x)(-8) + (0 - 2)(13) + (0 - 7)(3 - 1) = 0

Нека опростим:

-16 + 26 - 12 = 0

Така уравнението на равнината A1A2A3 има формата:

-8x + 13y - 12z + 6 = 0.

б) Уравнение на права линия, минаваща през точки A1 и A2:

За да намерите уравнението на права, минаваща през две дадени точки, можете да използвате формулите:

x = x1 + at y = y1 + bt z = z1 + ct,

където x1, y1, z1 и x2, y2, z2 са координатите на дадени точки, a, b, c са водещи коефициенти, t е параметър.

Нека намерим водещите коефициенти:

a = x2 - x1 = 2 - 0 = 2 b = y2 - y1 = -1 - 7 = -8 c = z2 - z1 = 5 - 1 = 4

Нека заместим стойностите на координатите и коефициентите на посоката и да получим уравнението на правата линия:

x = 2t y = -8t + 7 z = 4t + 1

в) Уравнение на права линия, минаваща през точка A4 и перпендикулярна на равнината A1A2A3:

За да намерите уравнението на права, перпендикулярна на дадена равнина и минаваща през дадена точка, трябва да използвате следните стъпки:

Намерете уравнението на равнина, минаваща през дадена точка и перпендикулярна на дадената равнина.
Намерете пресечната точка на намерената равнина и права, минаваща през дадена точка и успоредна на дадена равнина.
Напишете уравнение за права, минаваща през дадена точка и намерената пресечна точка.

Нека намерим уравнението на равнина, перпендикулярна на равнината A1A2A3 и минаваща през точка A4. За да направите това, можете да използвате формулата:

-8x + 13y - 12z + d = 0,

където d е неизвестният коефициент, който трябва да се намери. Нека заместим координатите на точка A4 и да получим уравнението на равнината:

-83 +13(-9) - 12*8 + d = 0

Нека решим уравнението и намерим d:

d = 169

Така уравнението на равнината, минаваща през точка A4 и перпендикулярна на равнината A1A2A3, има формата:

-8x + 13y - 12z + 169 = 0.

Нека намерим пресечната точка на намерената равнина и права A1A2. За да направите това, заместваме уравнението на правата линия в уравнението на равнината и решаваме получената система от уравнения:

-8(2t) + 13(-8t + 7) - 12(4t + 1) + 169 = 0

Решавайки уравнението, намираме стойността на параметъра t:

t = -3/4

Сега нека намерим координатите на пресечната точка:

x = 2(-3/4) = -3/2 y = -8(-3/4) + 7 = 13 z = 4(-3/4) + 1 = -2

Така пресечната точка има координати (-3/2; 13; -2). Остава да се създаде уравнение за права линия, минаваща през точки A4 и (-3/2; 13; -2). За да направим това, използваме формулите за уравнението на права, минаваща през две точки:

x = 3 - 5/4t y = -9 + 40/3t z = 8 - 11/2t

където t е параметър.

г) Уравнение на права, успоредна на права A1A2 и минаваща през точка A3:

За да намерите уравнението на права, успоредна на дадена права и минаваща през дадена точка, трябва да използвате формулите:

x = x1 + at y = y1 + bt z = z1 + ct,

където x1, y1, z1 са координатите на дадената точка, a, b, c са водещите коефициенти, които трябва да бъдат равни на водещите коефициенти на дадената права линия.

Нека намерим водещите коефициенти на дадената права A1A2:

a = 2 - 0 = 2 b = -1 - 7 = -8 c = 5 - 1 = 4

Така уравнението на права, успоредна на права A1A2 и минаваща през точка A3, има формата:

x = 1 + 2t y = 6 - 8t z = 3 + 4t

д) Уравнение на равнина, минаваща през точка A4 и перпендикулярна на права A1A2:

За да намерите уравнението на равнина, перпендикулярна на дадена права и минаваща през дадена точка, трябва да използвате формулата:

a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0,

където x0, y0, z0 са координатите на дадена точка, a, b, c са коефициенти на посока, които трябва да са перпендикулярни на вектора на посоката на дадена права линия.

Нека намерим насочващия вектор на дадената права A1A2:

u = (2, -8, 4)

По този начин направляващите коефициенти на равнината трябва да са перпендикулярни

Ryabushкo IDZ 3.1 Вариант 6 е дигитален продукт, който представлява колекция от задачи по математика за ученици. Този продукт съдържа задачи по различни теми, като геометрия, алгебра и тригонометрия, с различни нива на трудност, което ви позволява да го използвате както за самоподготовка, така и за подготовка за олимпиади и изпити.

Продуктът е проектиран в красив html формат, което го прави лесен за използване и ви позволява бързо и лесно да намерите необходимата ви информация. Продуктът съдържа и подробно описание на всяка задача, както и примерни решения за по-пълно разбиране на материала.

IDZ Рябушко 3.1 Вариант 6 е отличен избор за всеки, който иска да подобри нивото си на знания по математика и да подобри резултатите си в училище или на състезания. Благодарение на удобния си формат и съдържание, този продукт ще се превърне в незаменим помощник за всеки, който иска да се справя успешно с математически задачи.

IDZ Ryabushko 3.1 Вариант 6 е математическа задача, която включва няколко задачи за намиране на уравнения на прави и равнини, минаващи през дадени точки или успоредни/перпендикулярни на дадени прави и равнини.

Задачата дава четири точки: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8), като е необходимо да се създаде уравненията:

а) уравнение на равнината, минаваща през точки A1, A2 и A3; б) уравнението на права линия, минаваща през точки A1 и A2; в) уравнението на права, минаваща през точка A4 и перпендикулярна на равнината A1A2A3; г) уравнение на права, успоредна на права A1A2 и минаваща през точка A3; д) уравнение на равнина, минаваща през точка A4 и перпендикулярна на права A1A2.

За решаване на всяка задача се използват съответните формули и методи, описани в условията на задачата.

ИДЗ Рябушко 3.1 Вариант 6 е набор от задачи по математика, които включват решаване на уравнения на равнини и прави, както и намиране на насочващи коефициенти и перпендикулярни равнини.

Задачата дава четири точки: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8). Необходимо е да се решат следните задачи:

а) Намерете уравнението на равнината, минаваща през точки A1, A2 и A3. За да направите това, можете да използвате формула, която свързва координатите на произволна точка от равнината с координатите на дадени точки.

б) Намерете уравнението на правата, минаваща през точки A1 и A2. За да направите това, трябва да използвате формули, които свързват координатите на произволна точка на права с координатите на дадени точки.

в) Намерете уравнението на правата, минаваща през точка A4 и перпендикулярна на равнината A1A2A3. За да направите това, първо трябва да намерите уравнението на равнина, перпендикулярна на дадена равнина и минаваща през дадена точка. След това трябва да намерите пресечната точка на тази равнина и права, минаваща през дадена точка и успоредна на дадена равнина. И накрая, трябва да създадете уравнение за права линия, минаваща през дадена точка и намерената пресечна точка.

г) Намерете уравнението на права, успоредна на права A1A2 и минаваща през точка A3. За да направите това, трябва да използвате формули, които свързват координатите на произволна точка от права с координатите на дадена точка и коефициентите на посоката на дадена права.

д) Намерете уравнението на равнината, минаваща през точка A4 и перпендикулярна на правата A1A2. За да направите това, трябва да използвате формула, която свързва координатите на произволна точка от равнината с координатите на дадена точка и водещи коефициенти, които трябва да са перпендикулярни на водача на дадена права линия.

***

IDZ Ryabushko 3.1 Вариант 6 е задача по геометрия, съдържаща няколко подзадачи с различна сложност.

Номер 1. В първата задача са дадени четири точки в триизмерното пространство, като вие също трябва да създадете уравнения на равнината и правите, минаващи през тези точки, да изчислите ъгли и да намерите перпендикуляри и паралели.

а) За да съставите уравнението на равнината A1A2A3, можете да използвате формулата за общото уравнение на равнината Ax + By + Cz + D = 0, където коефициентите A, B и C се определят с помощта на векторния продукт на векторите, разположени в тази равнина. Така уравнението на равнината A1A2A3 има формата:

-5x + 7y - 11z + 44 = 0

б) За да съставите уравнението на правата A1A2, можете да използвате формулата за параметричното уравнение на правата, която има формата:

x = 2t y = 7 - 4t z = 1 + 4t

в) За да съставите уравнението на права A4M, можете да използвате формулата за параметричното уравнение на права линия, която минава през точки A4 и M. Точка M не е посочена, така че трябва да бъде избрана произволно. Например можете да вземете точка M(0,0,0). Тогава параметричното уравнение на права линия A4M ще има формата:

x = 3t y = -9 - 3t z = 8 - 2t

Перпендикулярът към равнината A1A2A3 може да се намери с помощта на нормалния вектор на тази равнина, който се определя от коефициентите на уравнението на равнината. Така нормалният вектор на равнината A1A2A3 има координати (-5, 7, -11), а правата A4N, перпендикулярна на равнината A1A2A3, ще има уравнението:

x = 3 + 5t y = -9 - 7t z = 8 + 11t

г) Права A3N е успоредна на права A1A2, което означава, че нейният насочен вектор ще съвпадне с насочващия вектор на права A1A2. Векторът на посоката на права линия A1A2 има координати (2, -8, 4), така че уравнението на права линия A3N ще има формата:

x = 1 + 2t y = 6 - 8t z = 3 + 4t

д) Уравнението на равнина, минаваща през точка A4 и перпендикулярна на правата A1A2, може да се намери с помощта на формулата за общото уравнение на равнината и нормалния вектор, който ще бъде насочен перпендикулярно на правата A1A2 и следователно съвпада с посоката вектор на линия A1A4. Векторът на посоката на права линия A1A4 има координати (3, -16, 7), така че нормалният вектор на равнината ще има координати (3, -16, 7), а уравнението на равнината ще бъде:

3x - 16y + 7z + 118 = 0

е) За да изчислите синуса на ъгъла между правата линия A1A4 и равнината A1A2A3, трябва да намерите косинуса на ъгъла между насочващия вектор на правата линия A1A4 и нормалния вектор на равнината A1A2A3 и след това вземете синус на ъгъла, допълнителен към изчисления косинус. Насочващият вектор на права линия A1A4 има координати (3, -16, 7), а нормалният вектор на равнина A1A2A3 има координати (-5, 7, -11). Точковият им продукт е -211, а дължините на векторите са √290,5 и √195, което дава косинус на ъгъла между тях, равен на -0,924. Следователно синусът на ъгъла между права линия A1A4 и равнина A1A2A3 ще бъде равен на √(1-0,924^2) ≈ 0,383.

g) За да изчислите косинуса на ъгъла между координатната равнина Oxy и равнината A1A2A3, трябва да намерите ъгъла между нормалните им вектори. Нормалният вектор на координатната равнина Oxy има координати (0, 0, 1), а нормалният вектор на равнината A1A2A3 е намерен по-рано и има координати (-5, 7, -11). Точковият им продукт е -11, а дължините на векторите са 1 и √195, което дава косинус на ъгъла между тях, равен на -0,056. Следователно ъгълът между координатната равнина Oxy и равнината A1A2A3 ще бъде приблизително равен на acos(-0,056) ≈ 90,6 градуса.

Номер 2. Във втората задача трябва да съставите уравнение за равнина, минаваща през две дадени точки и успоредна на оста Oy.

За да бъде равнината успоредна на оста Oy, нейният нормален вектор трябва да е насочен по оста Oy, тоест координатите й трябва да бъдат (0, k, 0), където k е произволно число. Нормалният вектор на равнината също трябва да бъде перпендикулярен на вектора, свързващ точките A(2, 5, -1) и B(-3, 1, 3), т.е. тяхното точково произведение трябва да е нула.

Така уравнението на равнината е:

ky - 5k + 2*z - 4 = 0

където k е произволно число.

Номер 3. В третата задача трябва да намерите стойността на параметъра, при която правата е успоредна на дадена права. За да направите това, е необходимо да изразите координатите на вектора на посоката на дадена линия чрез параметри и да намерите съответните координати на вектора на посоката на желаната линия. Тогава имате нужда

***

Много удобен и разбираем формат на заданието.
Голям брой задачи ви позволяват да практикувате дълго време.
Решенията на всички проблеми са придружени с подробни обяснения.
Задачите са добре структурирани и разделени на части, което улеснява работата.
Много различни видове задачи помагат за затвърждаване на материала на практика.
Сложността на задачите постепенно се увеличава, което спомага за подобряване на вашите умения.
Качеството на материалите е много високо и подходящо.
Програмата обхваща всички необходими теми и раздели за успешно полагане на изпита.
Препоръчвам този дигитален продукт на всички студенти, които се готвят да вземат IPD.
Дигитален продукт IDZ Ryabushko 3.1 Вариант 6 е отличен инструмент за самообучение и повишаване нивото на знания.