IDZ Ryabushko 3.1 Mulighed 6

Nr. 1. Der gives fire point: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8). Det er nødvendigt at lave ligninger:

a) Ligning for et plan, der går gennem punkterne A1, A2 og A3:

For at finde ligningen for et fly, der passerer gennem tre punkter, kan du bruge formlen:

(x - x1)(y2 - y1)(z3 - z1) + (x2 - x1)(y - y1)(z3 - z1) + (x2 - x1)(y2 - y1)(z - z1) = 0,

hvor x, y, z er koordinaterne for et vilkårligt punkt på planet, og x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3 er koordinaterne for givne punkter.

Lad os erstatte punkternes koordinater og få flyets ligning:

(2 - x)(-8) + (0 - 2)(13) + (0 - 7)(3 - 1) = 0

Lad os forenkle:

-16 + 26 - 12 = 0

Således har ligningen for planet A1A2A3 formen:

-8x + 13y - 12z + 6 = 0.

b) Ligning for en ret linje, der går gennem punkterne A1 og A2:

For at finde ligningen for en linje, der går gennem to givne punkter, kan du bruge formlerne:

x = x1 + ved y = y1 + bt z = z1 + ct,

hvor x1, y1, z1 og x2, y2, z2 er koordinaterne for givne punkter, a, b, c er vejledende koefficienter, t er en parameter.

Lad os finde de vejledende koefficienter:

a = x2 - x1 = 2 - 0 = 2 b = y2 - y1 = -1 - 7 = -8 c = z2 - z1 = 5 - 1 = 4

Lad os erstatte værdierne af koordinaterne og retningskoefficienterne og få ligningen for den rette linje:

x = 2t y = -8t + 7 z = 4t + 1

c) Ligning for en ret linje, der går gennem punkt A4 og vinkelret på planen A1A2A3:

For at finde ligningen for en linje vinkelret på en given plan og passerer gennem et givet punkt, skal du bruge følgende trin:

Find ligningen for et plan, der går gennem et givet punkt og vinkelret på det givne plan.
Find skæringspunktet for det fundne plan og en linje, der går gennem et givet punkt og parallelt med et givet plan.
Skriv en ligning for en linje, der går gennem et givet punkt og det fundne skæringspunkt.

Lad os finde ligningen for en plan vinkelret på planen A1A2A3 og går gennem punkt A4. For at gøre dette kan du bruge formlen:

-8x + 13y - 12z + d = 0,

hvor d er den ukendte koefficient, der skal findes. Lad os erstatte koordinaterne for punkt A4 og få flyets ligning:

-83 +13(-9) - 12*8 + d = 0

Lad os løse ligningen og finde d:

d = 169

Således har ligningen for planet, der passerer gennem punkt A4 og vinkelret på planen A1A2A3, formen:

-8x + 13y - 12z + 169 = 0.

Lad os finde skæringspunktet for det fundne plan og den rette linje A1A2. For at gøre dette erstatter vi ligningen for den rette linje i planens ligning og løser det resulterende ligningssystem:

-8(2t) + 13(-8t + 7) - 12(4t + 1) + 169 = 0

Ved at løse ligningen finder vi værdien af parameteren t:

t = -3/4

Lad os nu finde koordinaterne for skæringspunktet:

x = 2(-3/4) = -3/2 y = -8(-3/4) + 7 = 13 z = 4(-3/4) + 1 = -2

Skæringspunktet har således koordinater (-3/2; 13; -2). Det er tilbage at lave en ligning for en ret linje, der går gennem punkterne A4 og (-3/2; 13; -2). For at gøre dette bruger vi formlerne til ligningen for en linje, der går gennem to punkter:

x = 3 - 5/4t y = -9 + 40/3t z = 8 - 11/2t

hvor t er en parameter.

d) Ligning af en linje parallel med lige linje A1A2 og går gennem punkt A3:

For at finde ligningen for en linje parallel med en given linje og passerer gennem et givet punkt, skal du bruge formlerne:

x = x1 + ved y = y1 + bt z = z1 + ct,

hvor x1, y1, z1 er koordinaterne for det givne punkt, a, b, c er de vejledende koefficienter, som skal være lig med de vejledende koefficienter for den givne rette linje.

Lad os finde de vejledende koefficienter for den givne rette linje A1A2:

a = 2 - 0 = 2 b = -1 - 7 = -8 c = 5 - 1 = 4

Således har ligningen for en linje parallel med linje A1A2 og passerer gennem punkt A3 formen:

x = 1 + 2t y = 6 - 8t z = 3 + 4t

e) Ligning for et plan, der går gennem punkt A4 og vinkelret på den rette linje A1A2:

For at finde ligningen for en plan vinkelret på en given linje og passerer gennem et givet punkt, skal du bruge formlen:

a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0,

hvor x0, y0, z0 er koordinaterne for et givet punkt, a, b, c er retningskoefficienter, der skal være vinkelret på retningsvektoren for en given ret linje.

Lad os finde retningsvektoren for den givne rette linje A1A2:

u = (2, -8, 4)

Planets styrekoefficienter skal således være vinkelrette

IDZ Ryabushko 3.1 Option 6 er et digitalt produkt, som er en samling af matematiske problemer for skolebørn. Dette produkt indeholder problemer om forskellige emner, såsom geometri, algebra og trigonometri, med forskellige sværhedsgrader, hvilket giver dig mulighed for at bruge det både til selvstudium og til forberedelse til olympiader og eksamener.

Produktet er designet i et smukt html-format, som gør det nemt at bruge og giver dig mulighed for hurtigt og nemt at finde den information, du har brug for. Produktet indeholder desuden en detaljeret beskrivelse af hver opgave, samt eksempelløsninger for en mere fuldstændig forståelse af materialet.

IDZ Ryabushko 3.1 Mulighed 6 er et fremragende valg for alle, der ønsker at forbedre deres vidensniveau i matematik og forbedre deres resultater i skolen eller ved konkurrencer. Takket være dets bekvemme format og indhold bliver dette produkt en uundværlig assistent for alle, der ønsker at klare matematiske problemer med succes.

IDZ Ryabushko 3.1 Mulighed 6 er en matematikopgave, der omfatter flere opgaver om at finde ligninger af linjer og planer, der passerer gennem givne punkter eller parallelt/vinkelret på givne linjer og planer.

Opgaven giver fire point: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8), og det er nødvendigt at oprette ligningerne:

a) ligning for det plan, der går gennem punkterne A1, A2 og A3; b) ligningen for en ret linje, der går gennem punkterne A1 og A2; c) ligningen for en ret linje, der går gennem punkt A4 og vinkelret på planet A1A2A3; d) ligning af en linje parallel med lige linje A1A2 og som går gennem punkt A3; e) ligning af et plan, der går gennem punkt A4 og vinkelret på den rette linje A1A2.

For at løse hvert problem anvendes de passende formler og metoder beskrevet i opgavebetingelserne.

IDZ Ryabushko 3.1 Mulighed 6 er et sæt opgaver i matematik, der inkluderer løsning af ligninger af planer og linjer, samt at finde retningskoefficienter og vinkelrette planer.

Opgaven giver fire point: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8). Følgende opgaver skal løses:

a) Find ligningen for det plan, der går gennem punkterne A1, A2 og A3. For at gøre dette kan du bruge en formel, der forbinder koordinaterne for et vilkårligt punkt på planet med koordinaterne for givne punkter.

b) Find ligningen for linjen, der går gennem punkterne A1 og A2. For at gøre dette skal du bruge formler, der forbinder koordinaterne for et vilkårligt punkt på en linje med koordinaterne for givne punkter.

c) Find ligningen for linjen, der går gennem punkt A4 og vinkelret på planen A1A2A3. For at gøre dette skal du først finde ligningen for et plan vinkelret på et givet plan og passerer gennem et givet punkt. Så skal du finde skæringspunktet for dette plan og en linje, der går gennem et givet punkt og parallelt med et givet plan. Og endelig skal du lave en ligning for en linje, der går gennem et givet punkt og det fundne skæringspunkt.

d) Find ligningen for en linje parallel med linje A1A2 og går gennem punkt A3. For at gøre dette skal du bruge formler, der forbinder koordinaterne for et vilkårligt punkt på en linje med koordinaterne for et givet punkt og de vejledende koefficienter for en given linje.

e) Find ligningen for den plan, der går gennem punkt A4 og vinkelret på linie A1A2. For at gøre dette skal du bruge en formel, der forbinder koordinaterne for et vilkårligt punkt på planet med koordinaterne for et givet punkt og guidekoefficienter, som skal være vinkelret på guiden af en given ret linje.

***

IDZ Ryabushko 3.1 Mulighed 6 er en geometriopgave, der indeholder flere underopgaver af varierende kompleksitet.

Nr. 1. I den første opgave er der givet fire punkter i det tredimensionelle rum, og du skal også lave ligninger af planen og linjer, der går gennem disse punkter, beregne vinkler og finde vinkelrette og paralleller.

a) For at kompilere ligningen for planen A1A2A3 kan du bruge formlen for den generelle ligning for planen Ax + By + Cz + D = 0, hvor koefficienterne A, B og C bestemmes ved hjælp af vektorproduktet af vektorer, der ligger i dette fly. Således har ligningen for planet A1A2A3 formen:

-5x + 7y - 11z + 44 = 0

b) For at kompilere ligningen for den rette linje A1A2, kan du bruge formlen for den lige linjes parametriske ligning, som har formen:

x = 2t y = 7 - 4t z = 1 + 4t

c) For at kompilere ligningen for lige linje A4M kan du bruge formlen for den parametriske ligning for en ret linje, der går gennem punkt A4 og M. Punkt M er ikke specificeret, så det skal vælges vilkårligt. For eksempel kan du tage punkt M(0,0,0). Så vil den parametriske ligning for lige linje A4M have formen:

x = 3t y = -9 - 3t z = 8 - 2t

Den vinkelrette på planet A1A2A3 kan findes ved hjælp af normalvektoren af denne plan, som er bestemt af koefficienterne for planens ligning. Normalvektoren for planen A1A2A3 har således koordinater (-5, 7, -11), og den rette linje A4N, vinkelret på planen A1A2A3, vil have ligningen:

x = 3 + 5t y = -9 - 7t z = 8 + 11t

d) Lige A3N er parallel med lige A1A2, hvilket betyder, at dens retningsvektor vil falde sammen med retningsvektoren for lige A1A2. Retningsvektoren for den lige linje A1A2 har koordinater (2, -8, 4), så ligningen for den lige linje A3N vil have formen:

x = 1 + 2t y = 6 - 8t z = 3 + 4t

e) Ligningen for en plan, der går gennem punkt A4 og vinkelret på linje A1A2, kan findes ved hjælp af formlen for den generelle ligning for planet og normalvektoren, som vil være rettet vinkelret på linje A1A2 og derfor falde sammen med retningen vektor af linje A1A4. Retningsvektoren for den rette linje A1A4 har koordinater (3, -16, 7), så den normale vektor af planet vil have koordinater (3, -16, 7), og planens ligning vil være:

3x - 16y + 7z + 118 = 0

e) For at beregne sinus for vinklen mellem den rette linje A1A4 og planen A1A2A3, skal du finde cosinus af vinklen mellem retningsvektoren for den rette linje A1A4 og normalvektoren for planen A1A2A3, og derefter tage sinus af vinklen ud over den beregnede cosinus. Retningsvektoren for den rette linje A1A4 har koordinater (3, -16, 7), og normalvektoren for plan A1A2A3 har koordinater (-5, 7, -11). Deres prikprodukt er -211, og længderne af vektorerne er √290,5 og √195, hvilket giver cosinus for vinklen mellem dem lig med -0,924. Som følge heraf vil sinus af vinklen mellem den rette linje A1A4 og plan A1A2A3 være lig med √(1-0,924^2) ≈ 0,383.

g) For at beregne cosinus af vinklen mellem koordinatplanen Oxy og planen A1A2A3 skal du finde vinklen mellem deres normalvektorer. Normalvektoren for koordinatplanet Oxy har koordinater (0, 0, 1), og normalvektoren for planet A1A2A3 blev fundet tidligere og har koordinater (-5, 7, -11). Deres prikprodukt er -11, og længderne af vektorerne er 1 og √195, hvilket giver cosinus af vinklen mellem dem lig med -0,056. Som følge heraf vil vinklen mellem koordinatplanet Oxy og planet A1A2A3 være omtrent lig med acos(-0,056) ≈ 90,6 grader.

Nr. 2. I den anden opgave skal du lave en ligning for et plan, der passerer gennem to givne punkter og parallelt med Oy-aksen.

For at planet skal være parallelt med Oy-aksen, skal dens normalvektor være rettet langs Oy-aksen, det vil sige, at dens koordinater skal være (0, k, 0), hvor k er et vilkårligt tal. Planets normalvektor skal også være vinkelret på vektorforbindelsespunkterne A(2, 5, -1) og B(-3, 1, 3), det vil sige, at deres prikprodukt skal være nul.

Således er flyets ligning:

ky - 5k + 2*z - 4 = 0

hvor k er et vilkårligt tal.

Nr. 3. I den tredje opgave skal du finde værdien af parameteren, hvor linjen er parallel med en given linje. For at gøre dette er det nødvendigt at udtrykke koordinaterne for retningsvektoren for en given linje gennem parametre og finde de tilsvarende koordinater for retningsvektoren for den ønskede linje. Så har du brug for

***

Meget praktisk og forståeligt opgaveformat.
Et stort antal opgaver giver dig mulighed for at øve dig i lang tid.
Løsninger på alle problemer er ledsaget af detaljerede forklaringer.
Opgaverne er velstrukturerede og opdelt i afsnit, hvilket gør arbejdet lettere.
Mange forskellige typer opgaver er med til at forstærke materialet i praksis.
Kompleksiteten af opgaverne øges gradvist, hvilket er med til at forbedre dine kompetencer.
Kvaliteten af materialer er meget høj og relevant.
Programmet dækker alle de nødvendige emner og sektioner for at bestå eksamen.
Jeg anbefaler dette digitale produkt til alle studerende, der forbereder sig på at tage IPD.
Digitalt produkt IDZ Ryabushko 3.1 Option 6 er et fremragende værktøj til selvstudium og øget vidensniveau.