IDZ Ryabushko 3.1 Optie 6

Downloaden Spiegel

Nr. 1. Er worden vier punten gegeven: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8). Het is noodzakelijk om vergelijkingen te maken:

a) Vergelijking van een vlak dat door de punten A1, A2 en A3 gaat:

Om de vergelijking te vinden van een vlak dat door drie punten gaat, kun je de formule gebruiken:

(x - x1)(y2 - y1)(z3 - z1) + (x2 - x1)(y - y1)(z3 - z1) + (x2 - x1)(y2 - y1)(z - z1) = 0,

waarbij x, y, z de coördinaten zijn van een willekeurig punt op het vlak, en x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3 de coördinaten zijn van gegeven punten.

Laten we de coördinaten van de punten vervangen en de vergelijking van het vlak verkrijgen:

(2 - x)(-8) + (0 - 2)(13) + (0 - 7)(3 - 1) = 0

Laten we het vereenvoudigen:

-16 + 26 - 12 = 0

De vergelijking van het vlak A1A2A3 heeft dus de vorm:

-8x + 13y - 12z + 6 = 0.

b) Vergelijking van een rechte lijn die door de punten A1 en A2 gaat:

Om de vergelijking te vinden van een lijn die door twee gegeven punten gaat, kun je de formules gebruiken:

x = x1 + at y = y1 + bt z = z1 + ct,

waarbij x1, y1, z1 en x2, y2, z2 de coördinaten zijn van gegeven punten, a, b, c leidende coëfficiënten zijn, en t een parameter is.

Laten we de leidende coëfficiënten vinden:

a = x2 - x1 = 2 - 0 = 2 b = y2 - y1 = -1 - 7 = -8 c = z2 - z1 = 5 - 1 = 4

Laten we de waarden van de coördinaten en richtingscoëfficiënten vervangen en de vergelijking van de rechte lijn verkrijgen:

x = 2t y = -8t + 7 z = 4t + 1

c) Vergelijking van een rechte lijn die door punt A4 gaat en loodrecht staat op het vlak A1A2A3:

Om de vergelijking te vinden van een lijn die loodrecht op een bepaald vlak staat en door een bepaald punt gaat, moet je de volgende stappen volgen:

Zoek de vergelijking van een vlak dat door een bepaald punt gaat en loodrecht op het gegeven vlak staat.
Zoek het snijpunt van het gevonden vlak en een lijn die door een bepaald punt gaat en evenwijdig is aan een bepaald vlak.
Schrijf een vergelijking voor een lijn die door een bepaald punt gaat en het gevonden snijpunt.

Laten we de vergelijking vinden van een vlak loodrecht op het vlak A1A2A3 en dat door punt A4 gaat. Om dit te doen, kunt u de formule gebruiken:

-8x + 13y - 12z + d = 0,

waarbij d de onbekende coëfficiënt is die moet worden gevonden. Laten we de coördinaten van punt A4 vervangen en de vergelijking van het vlak verkrijgen:

-83 +13(-9) - 12*8 + d = 0

Laten we de vergelijking oplossen en d vinden:

d = 169

De vergelijking van het vlak dat door punt A4 gaat en loodrecht op het vlak A1A2A3 staat, heeft dus de vorm:

-8x + 13y - 12z + 169 = 0.

Laten we het snijpunt van het gevonden vlak en de rechte lijn A1A2 vinden. Om dit te doen, vervangen we de vergelijking van de rechte lijn door de vergelijking van het vlak en lossen we het resulterende stelsel van vergelijkingen op:

-8(2t) + 13(-8t + 7) - 12(4t + 1) + 169 = 0

Als we de vergelijking oplossen, vinden we de waarde van de parameter t:

t = -3/4

Laten we nu de coördinaten van het snijpunt vinden:

x = 2(-3/4) = -3/2 y = -8(-3/4) + 7 = 13 z = 4(-3/4) + 1 = -2

Het snijpunt heeft dus coördinaten (-3/2; 13; -2). Er moet nog een vergelijking worden gemaakt voor een rechte lijn die door de punten A4 en (-3/2; 13; -2) gaat. Om dit te doen, gebruiken we de formules voor de vergelijking van een lijn die door twee punten gaat:

x = 3 - 5/4t y = -9 + 40/3t z = 8 - 11/2t

waarbij t een parameter is.

d) Vergelijking van een lijn evenwijdig aan rechte lijn A1A2 en die door punt A3 gaat:

Om de vergelijking te vinden van een lijn evenwijdig aan een gegeven lijn en die door een bepaald punt gaat, moet je de formules gebruiken:

x = x1 + at y = y1 + bt z = z1 + ct,

waarbij x1, y1, z1 de coördinaten zijn van het gegeven punt, a, b, c de geleidingscoëfficiënten zijn, die gelijk moeten zijn aan de geleidingscoëfficiënten van de gegeven rechte lijn.

Laten we de leidende coëfficiënten van de gegeven rechte lijn A1A2 vinden:

a = 2 - 0 = 2 b = -1 - 7 = -8 c = 5 - 1 = 4

De vergelijking van een lijn evenwijdig aan lijn A1A2 en door punt A3 gaat heeft dus de vorm:

x = 1 + 2t y = 6 - 8t z = 3 + 4t

e) Vergelijking van een vlak dat door punt A4 gaat en loodrecht staat op rechte lijn A1A2:

Om de vergelijking te vinden van een vlak dat loodrecht op een gegeven lijn staat en door een bepaald punt gaat, moet je de formule gebruiken:

a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0,

waarbij x0, y0, z0 de coördinaten zijn van een bepaald punt, en a, b, c richtingscoëfficiënten zijn die loodrecht moeten staan op de richtingsvector van een gegeven rechte lijn.

Laten we de richtingsvector van de gegeven rechte lijn A1A2 vinden:

u = (2, -8, 4)

De geleidingscoëfficiënten van het vlak moeten dus loodrecht zijn

Ryabushko IDZ 3.1 Optie 6 is een digitaal product, een verzameling wiskundeproblemen voor schoolkinderen. Dit product bevat opgaven over verschillende onderwerpen, zoals meetkunde, algebra en trigonometrie, met verschillende moeilijkheidsgraden, waardoor je het zowel voor zelfstudie als ter voorbereiding op olympiades en examens kunt gebruiken.

Het product is ontworpen in een prachtig html-formaat, waardoor het gemakkelijk te gebruiken is en u snel en eenvoudig de informatie kunt vinden die u nodig heeft. Het product bevat ook een gedetailleerde beschrijving van elke taak, evenals voorbeeldoplossingen voor een vollediger begrip van het materiaal.

IDZ Ryabushko 3.1 Optie 6 is een uitstekende keuze voor iedereen die zijn kennisniveau in wiskunde wil verbeteren en zijn resultaten op school of bij wedstrijden wil verbeteren. Dankzij het handige formaat en de inhoud wordt dit product een onmisbare assistent voor iedereen die succesvol wil omgaan met wiskundige problemen.

IDZ Ryabushko 3.1 Optie 6 is een wiskundige taak die verschillende taken omvat voor het vinden van vergelijkingen van lijnen en vlakken die door bepaalde punten gaan of evenwijdig/loodrecht staan op bepaalde lijnen en vlakken.

De taak levert vier punten op: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8), en het is noodzakelijk om de vergelijkingen:

a) vergelijking van het vlak dat door de punten Al, A2 en A3 gaat; b) de vergelijking van een rechte lijn die door de punten Al en A2 gaat; c) de vergelijking van een rechte lijn die door punt A4 gaat en loodrecht staat op het vlak A1A2A3; d) vergelijking van een lijn evenwijdig aan rechte lijn A1A2 en die door punt A3 gaat; e) vergelijking van een vlak dat door punt A4 gaat en loodrecht staat op rechte lijn A1A2.

Om elk probleem op te lossen, worden de juiste formules en methoden gebruikt die in de taakvoorwaarden worden beschreven.

IDZ Ryabushko 3.1 Optie 6 is een reeks taken in de wiskunde, waaronder het oplossen van vergelijkingen van vlakken en lijnen, en het vinden van richtcoëfficiënten en loodrechte vlakken.

De taak levert vier punten op: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8). De volgende taken moeten worden opgelost:

a) Bereken de vergelijking van het vlak dat door de punten A1, A2 en A3 gaat. Om dit te doen, kunt u een formule gebruiken die de coördinaten van een willekeurig punt op het vlak verbindt met de coördinaten van bepaalde punten.

b) Bereken de vergelijking van de lijn die door de punten A1 en A2 gaat. Om dit te doen, moet u formules gebruiken die de coördinaten van een willekeurig punt op een lijn verbinden met de coördinaten van bepaalde punten.

c) Bereken de vergelijking van de lijn die door punt A4 gaat en loodrecht op het vlak A1A2A3 staat. Om dit te doen, moet je eerst de vergelijking vinden van een vlak dat loodrecht op een bepaald vlak staat en door een bepaald punt gaat. Vervolgens moet je het snijpunt vinden van dit vlak en een lijn die door een bepaald punt gaat en evenwijdig is aan een bepaald vlak. En ten slotte moet je een vergelijking maken voor een rechte lijn die door een bepaald punt en het gevonden snijpunt gaat.

d) Bereken de vergelijking van een lijn evenwijdig aan lijn A1A2 en die door punt A3 gaat. Om dit te doen, moet u formules gebruiken die de coördinaten van een willekeurig punt op een lijn verbinden met de coördinaten van een bepaald punt en de geleidingscoëfficiënten van een bepaalde lijn.

e) Bereken de vergelijking van het vlak dat door punt A4 gaat en loodrecht op lijn A1A2 staat. Om dit te doen, moet u een formule gebruiken die de coördinaten van een willekeurig punt op het vlak verbindt met de coördinaten van een bepaald punt en hulpcoëfficiënten, die loodrecht moeten staan op de hulplijn van een bepaalde rechte lijn.

***

IDZ Ryabushko 3.1 Optie 6 is een geometrietaak die verschillende subtaken van verschillende complexiteit bevat.

Nr. 1. In de eerste taak worden vier punten gegeven in de driedimensionale ruimte, en je moet ook vergelijkingen maken van het vlak en de lijnen die door deze punten gaan, hoeken berekenen en loodlijnen en parallellen vinden.

a) Om de vergelijking van het vlak A1A2A3 samen te stellen, kunt u de formule gebruiken voor de algemene vergelijking van het vlak Ax + By + Cz + D = 0, waarbij de coëfficiënten A, B en C worden bepaald met behulp van het vectorproduct van liggende vectoren in dit vliegtuig. De vergelijking van het vlak A1A2A3 heeft dus de vorm:

-5x + 7y - 11z + 44 = 0

b) Om de vergelijking van de rechte lijn A1A2 samen te stellen, kunt u de formule gebruiken voor de parametervergelijking van de rechte lijn, die de vorm heeft:

x = 2t y = 7 - 4t z = 1 + 4t

c) Om de vergelijking van rechte lijn A4M samen te stellen, kunt u de formule gebruiken voor de parametrische vergelijking van een rechte lijn die door de punten A4 en M gaat. Punt M is niet gespecificeerd, dus het moet willekeurig worden gekozen. U kunt bijvoorbeeld punt M(0,0,0) nemen. Dan heeft de parametervergelijking van rechte lijn A4M de vorm:

x = 3t y = -9 - 3t z = 8 - 2t

De loodlijn op het vlak A1A2A3 kan worden gevonden met behulp van de normaalvector van dit vlak, die wordt bepaald door de coëfficiënten van de vergelijking van het vlak. De normaalvector van het vlak A1A2A3 heeft dus coördinaten (-5, 7, -11), en de rechte lijn A4N, loodrecht op het vlak A1A2A3, zal de vergelijking hebben:

x = 3 + 5t y = -9 - 7t z = 8 + 11t

d) Recht A3N is evenwijdig aan recht A1A2, wat betekent dat de richtingsvector ervan samenvalt met de richtingsvector van recht A1A2. De richtingsvector van rechte lijn A1A2 heeft coördinaten (2, -8, 4), dus de vergelijking van rechte lijn A3N zal de vorm hebben:

x = 1 + 2t y = 6 - 8t z = 3 + 4t

e) De vergelijking van een vlak dat door punt A4 gaat en loodrecht op lijn A1A2 staat, kan worden gevonden met behulp van de formule voor de algemene vergelijking van het vlak en de normaalvector, die loodrecht op lijn A1A2 zal zijn gericht en daarom samenvalt met de richting vector van lijn A1A4. De richtingsvector van rechte lijn A1A4 heeft coördinaten (3, -16, 7), dus de normaalvector van het vlak zal coördinaten (3, -16, 7) hebben, en de vergelijking van het vlak zal zijn:

3x - 16y + 7z + 118 = 0

e) Om de sinus van de hoek tussen de rechte lijn A1A4 en het vlak A1A2A3 te berekenen, moet je de cosinus van de hoek tussen de richtingsvector van de rechte lijn A1A4 en de normaalvector van het vlak A1A2A3 vinden, en dan de sinus van de hoek bovenop de berekende cosinus. De richtingsvector van rechte lijn A1A4 heeft coördinaten (3, -16, 7), en de normaalvector van vlak A1A2A3 heeft coördinaten (-5, 7, -11). Hun puntproduct is -211, en de lengtes van de vectoren zijn √290,5 en √195, wat de cosinus van de hoek ertussen gelijk maakt aan -0,924. Bijgevolg zal de sinus van de hoek tussen rechte lijn A1A4 en vlak A1A2A3 gelijk zijn aan √(1-0,924^2) ≈ 0,383.

g) Om de cosinus van de hoek tussen het coördinatenvlak Oxy en het vlak A1A2A3 te berekenen, moet je de hoek tussen hun normaalvectoren vinden. De normaalvector van het coördinatenvlak Oxy heeft coördinaten (0, 0, 1), en de normaalvector van het vlak A1A2A3 is eerder gevonden en heeft coördinaten (-5, 7, -11). Hun puntproduct is -11, en de vectorlengten zijn 1 en √195, wat de cosinus van de hoek ertussen gelijk maakt aan -0,056. Bijgevolg zal de hoek tussen het coördinaatvlak Oxy en het vlak A1A2A3 ongeveer gelijk zijn aan acos(-0,056) ≈ 90,6 graden.

Nr. 2. In de tweede taak moet je een vergelijking maken voor een vlak dat door twee gegeven punten gaat en evenwijdig is aan de Oy-as.

Om ervoor te zorgen dat het vlak evenwijdig is aan de Oy-as, moet de normaalvector ervan langs de Oy-as zijn gericht, dat wil zeggen dat de coördinaten (0, k, 0) moeten zijn, waarbij k een willekeurig getal is. De normaalvector van het vlak moet ook loodrecht staan op de vector die de punten A(2, 5, -1) en B(-3, 1, 3) verbindt, dat wil zeggen dat hun puntproduct nul moet zijn.

De vergelijking van het vlak is dus:

kj - 5k + 2*z - 4 = 0

waarbij k een willekeurig getal is.

Nummer 3. In de derde taak moet je de waarde vinden van de parameter waarbij de lijn evenwijdig is aan een bepaalde lijn. Om dit te doen, is het noodzakelijk om de coördinaten van de richtingsvector van een bepaalde lijn uit te drukken via parameters en de overeenkomstige coördinaten van de richtingsvector van de gewenste lijn te vinden. Dan heb je nodig

***

Zeer handig en begrijpelijk opdrachtformat.
Met een groot aantal taken kun je lang oefenen.
Oplossingen voor alle problemen gaan vergezeld van gedetailleerde uitleg.
De taken zijn goed gestructureerd en onderverdeeld in secties, wat het werk gemakkelijker maakt.
Veel verschillende soorten opdrachten helpen de leerstof in de praktijk te versterken.
De complexiteit van de taken neemt geleidelijk toe, wat helpt uw vaardigheden te verbeteren.
De kwaliteit van de materialen is zeer hoog en relevant.
Het programma omvat alle noodzakelijke onderwerpen en secties om met succes voor het examen te slagen.
Ik raad dit digitale product aan aan alle studenten die zich voorbereiden op het IPD.
Digitaal product IDZ Ryabushko 3.1 Optie 6 is een uitstekend hulpmiddel voor zelfstudie en het verhogen van het kennisniveau.