IDZ Ryabushko 3.1 Vaihtoehto 6

Nro 1. Annetaan neljä pistettä: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8). On tarpeen luoda yhtälöitä:

a) Pisteiden A1, A2 ja A3 kautta kulkevan tason yhtälö:

Voit löytää kolmen pisteen läpi kulkevan tason yhtälön käyttämällä kaavaa:

(x - x1)(y2 - y1)(z3 - z1) + (x2 - x1)(y - y1)(z3 - z1) + (x2 - x1)(y2 - y1)(z - z1) = 0,

missä x, y, z ovat tason mielivaltaisen pisteen koordinaatit ja x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3 ovat annettujen pisteiden koordinaatit.

Korvataan pisteiden koordinaatit ja saadaan tason yhtälö:

(2 - x) (-8) + (0 - 2) (13) + (0 - 7) (3 - 1) = 0

Yksinkertaistetaan:

-16 + 26 - 12 = 0

Siten tason A1A2A3 yhtälöllä on muoto:

-8x + 13y - 12z + 6 = 0.

b) Pisteiden A1 ja A2 kautta kulkevan suoran yhtälö:

Kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälön löytämiseksi voit käyttää kaavoja:

x = x1 + kohdassa y = y1 + bt z = z1 + ct,

missä x1, y1, z1 ja x2, y2, z2 ovat annettujen pisteiden koordinaatit, a, b, c ohjaavia kertoimia, t on parametri.

Etsitään ohjaavat kertoimet:

a = x2 - x1 = 2 - 0 = 2 b = y2 - y1 = -1 - 7 = -8 c = z2 - z1 = 5 - 1 = 4

Korvataan koordinaattien ja suuntakertoimien arvot ja saadaan suoran yhtälö:

x = 2t y = -8t + 7 z = 4t + 1

c) Pisteen A4 kautta kulkevan suoran yhtälö, joka on kohtisuorassa tasoon A1A2A3 nähden:

Löytääksesi yhtälön viivalle, joka on kohtisuorassa tiettyyn tasoon nähden ja kulkee tietyn pisteen läpi, sinun on käytettävä seuraavia vaiheita:

Etsi yhtälö tasolle, joka kulkee tietyn pisteen kautta ja on kohtisuorassa annettuun tasoon nähden.
Etsi löydetyn tason ja tietyn pisteen kautta kulkevan ja tietyn tason suuntaisen suoran leikkauspiste.
Kirjoita yhtälö tietyn pisteen ja löydetyn leikkauspisteen kautta kulkevalle suoralle.

Etsitään tasoon A1A2A3 nähden kohtisuorassa ja pisteen A4 kautta kulkevan tason yhtälö. Voit tehdä tämän käyttämällä kaavaa:

-8x + 13y - 12z + d = 0,

missä d on tuntematon kerroin, joka on löydettävä. Korvataan pisteen A4 koordinaatit ja saadaan tason yhtälö:

-83 +13(-9) - 12*8 + d = 0

Ratkaistaan yhtälö ja etsitään d:

d = 169

Siten pisteen A4 kautta kulkevan ja tasoon A1A2A3 nähden kohtisuorassa olevan tason yhtälöllä on muoto:

-8x + 13y - 12z + 169 = 0.

Etsitään löydetyn tason ja suoran A1A2 leikkauspiste. Tätä varten korvaamme suoran yhtälön tason yhtälöön ja ratkaisemme tuloksena olevan yhtälöjärjestelmän:

-8(2t) + 13(-8t + 7) - 12(4t + 1) + 169 = 0

Ratkaisemalla yhtälön, löydämme parametrin t arvon:

t = -3/4

Etsitään nyt leikkauspisteen koordinaatit:

x = 2 (-3/4) = -3/2 y = -8 (-3/4) + 7 = 13 z = 4 (-3/4) + 1 = -2

Siten leikkauspisteellä on koordinaatit (-3/2; 13; -2). Vielä on tehtävä yhtälö pisteiden A4 ja (-3/2; 13; -2) kautta kulkevalle suoralle. Tätä varten käytämme kaavoja kahden pisteen läpi kulkevan suoran yhtälöön:

x = 3 - 5/4t y = -9 + 40/3t z = 8 - 11/2t

missä t on parametri.

d) Suoran A1A2 suuntaisen ja pisteen A3 kautta kulkevan suoran yhtälö:

Tietyn suoran kanssa yhdensuuntaisen ja tietyn pisteen läpi kulkevan suoran yhtälön löytämiseksi sinun on käytettävä kaavoja:

x = x1 + kohdassa y = y1 + bt z = z1 + ct,

missä x1, y1, z1 ovat annetun pisteen koordinaatit, a, b, c ohjaavat kertoimet, joiden tulee olla yhtä suuria kuin annetun suoran ohjauskertoimet.

Etsitään annetun suoran A1A2 ohjaavat kertoimet:

a = 2 - 0 = 2 b = -1 - 7 = -8 c = 5 - 1 = 4

Siten suoran A1A2 kanssa yhdensuuntaisen ja pisteen A3 kautta kulkevan suoran yhtälöllä on muoto:

x = 1 + 2t y = 6 - 8t z = 3 + 4t

e) Pisteen A4 kautta kulkevan tason yhtälö, joka on kohtisuorassa suoraa A1A2 vastaan:

Jos haluat löytää tason yhtälön, joka on kohtisuorassa tiettyä suoraa vastaan ja kulkee tietyn pisteen kautta, sinun on käytettävä kaavaa:

a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0,

missä x0, y0, z0 ovat tietyn pisteen koordinaatit, a, b, c ovat suuntakertoimia, joiden on oltava kohtisuorassa tietyn suoran suuntavektoriin nähden.

Etsitään annetun suoran A1A2 suuntavektori:

u = (2, -8, 4)

Siten tason ohjauskertoimien tulee olla kohtisuorassa

Ryabushko IDZ 3.1 Option 6 on digitaalinen tuote, joka on kokoelma matemaattisia tehtäviä koululaisille. Tämä tuote sisältää ongelmia erilaisista aiheista, kuten geometriasta, algebrasta ja trigonometriasta, eri vaikeusasteilla, joten voit käyttää sitä sekä itseopiskeluun että olympialaisiin ja kokeisiin valmistautumiseen.

Tuote on suunniteltu kauniiseen html-muotoon, mikä tekee siitä helppokäyttöisen ja jonka avulla löydät nopeasti ja helposti tarvitsemasi tiedot. Tuote sisältää myös yksityiskohtaisen kuvauksen jokaisesta tehtävästä sekä esimerkkiratkaisuja materiaalin täydellisempään ymmärtämiseen.

IDZ Ryabushko 3.1 Option 6 on erinomainen valinta jokaiselle, joka haluaa parantaa matematiikan tietotasoaan ja parantaa tuloksiaan koulussa tai kilpailuissa. Kätevän muotonsa ja sisältönsä ansiosta tästä tuotteesta tulee välttämätön apulainen kaikille, jotka haluavat selviytyä menestyksekkäästi matemaattisten ongelmien kanssa.

IDZ Ryabushko 3.1 Option 6 on matemaattinen tehtävä, joka sisältää useita tehtäviä tiettyjen pisteiden läpi kulkevien tai tiettyjen suorien ja tasojen suuntaisten/suoraan kulkevien suorien ja tasojen yhtälöiden löytämiseksi.

Tehtävä antaa neljä pistettä: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8), ja on luotava yhtälöt:

a) pisteiden A1, A2 ja A3 kautta kulkevan tason yhtälö; b) pisteiden A1 ja A2 kautta kulkevan suoran yhtälö; c) pisteen A4 kautta kulkevan suoran yhtälö, joka on kohtisuorassa tasoon A1A2A3 nähden; d) yhtälö pisteen A3 kautta kulkevasta suorasta, joka on yhdensuuntainen suoran A1A2 kanssa; e) yhtälö tasosta, joka kulkee pisteen A4 kautta ja on kohtisuorassa suoraa A1A2 vastaan.

Kunkin tehtävän ratkaisemiseen käytetään tehtävän ehdoissa kuvattuja sopivia kaavoja ja menetelmiä.

IDZ Ryabushko 3.1 Option 6 on joukko matematiikan tehtäviä, jotka sisältävät tasojen ja suorien yhtälöiden ratkaisemisen sekä suuntaavien kertoimien ja kohtisuorien tasojen löytämisen.

Tehtävä antaa neljä pistettä: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8). Seuraavat tehtävät on ratkaistava:

a) Etsi pisteiden A1, A2 ja A3 kautta kulkevan tason yhtälö. Tätä varten voit käyttää kaavaa, joka yhdistää tason mielivaltaisen pisteen koordinaatit annettujen pisteiden koordinaatteihin.

b) Etsi pisteiden A1 ja A2 kautta kulkevan suoran yhtälö. Tätä varten sinun on käytettävä kaavoja, jotka yhdistävät mielivaltaisen pisteen koordinaatit suoralla annettujen pisteiden koordinaatteihin.

c) Etsi pisteen A4 kautta kulkevan ja tasoon A1A2A3 nähden kohtisuorassa olevan suoran yhtälö. Tätä varten sinun on ensin löydettävä yhtälö tasolle, joka on kohtisuorassa tiettyyn tasoon nähden ja kulkee tietyn pisteen läpi. Sitten sinun on löydettävä tämän tason ja tietyn pisteen kautta kulkevan ja tietyn tason suuntaisen suoran leikkauspiste. Ja lopuksi sinun on luotava yhtälö tietyn pisteen ja löydetyn leikkauspisteen kautta kulkevalle suoralle.

d) Etsi yhtälö suoralle A1A2 yhdensuuntaiselle ja pisteen A3 kautta kulkevalle suoralle. Tätä varten sinun on käytettävä kaavoja, jotka yhdistävät mielivaltaisen suoran pisteen koordinaatit tietyn pisteen koordinaatteihin ja tietyn suoran ohjaaviin kertoimiin.

e) Etsi pisteen A4 kautta kulkevan ja suoraa A1A2 vastaan kohtisuorassa olevan tason yhtälö. Tätä varten sinun on käytettävä kaavaa, joka yhdistää tason mielivaltaisen pisteen koordinaatit tietyn pisteen koordinaatteihin ja ohjauskertoimiin, joiden on oltava kohtisuorassa tietyn suoran ohjaimen kanssa.

***

IDZ Ryabushko 3.1 Option 6 on geometriatehtävä, joka sisältää useita eri monimutkaisia alitehtäviä.

Nro 1. Ensimmäisessä tehtävässä annetaan neljä pistettä kolmiulotteisessa avaruudessa, ja sinun on myös muodostettava yhtälöt tasosta ja näiden pisteiden läpi kulkevista suorista, laskettava kulmat ja löydettävä kohtisuorat ja yhdensuuntaiset.

a) Tason A1A2A3 yhtälön laatimiseen voidaan käyttää tason Ax + By + Cz + D = 0 yleisen yhtälön kaavaa, jossa kertoimet A, B ja C määritetään makaavien vektorien vektoritulolla. tässä tasossa. Siten tason A1A2A3 yhtälöllä on muoto:

-5x + 7y - 11z + 44 = 0

b) Muodostaaksesi suoran A1A2 yhtälön voit käyttää suoran parametrisen yhtälön kaavaa, jonka muoto on:

x = 2t y = 7 - 4t z = 1 + 4t

c) Suoran A4M yhtälön laatimiseen voidaan käyttää pisteiden A4 ja M kautta kulkevan suoran parametrisen yhtälön kaavaa. Pistettä M ei ole määritelty, joten se on valittava mielivaltaisesti. Voit esimerkiksi ottaa pisteen M(0,0,0). Sitten suoran A4M parametrisella yhtälöllä on muoto:

x = 3t y = -9 - 3t z = 8 - 2t

Tasoon A1A2A3 nähden kohtisuora voidaan löytää käyttämällä tämän tason normaalivektoria, joka määräytyy tason yhtälön kertoimilla. Siten tason A1A2A3 normaalivektorilla on koordinaatit (-5, 7, -11), ja suoralla A4N, joka on kohtisuorassa tasoon A1A2A3 nähden, on yhtälö:

x = 3 + 5t y = -9 - 7t z = 8 + 11t

d) Suora A3N on yhdensuuntainen suoran A1A2 kanssa, mikä tarkoittaa, että sen suuntavektori osuu yhteen suoran A1A2 suuntavektorin kanssa. Suoran A1A2 suuntavektorilla on koordinaatit (2, -8, 4), joten suoran A3N yhtälöllä on muoto:

x = 1 + 2t y = 6 - 8t z = 3 + 4t

e) Pisteen A4 kautta kulkevan ja suoraa A1A2 vastaan kohtisuorassa olevan tason yhtälö voidaan löytää käyttämällä tason ja normaalivektorin yleisen yhtälön kaavaa, joka suuntautuu kohtisuoraan linjaa A1A2 vastaan ja on siten yhdensuuntainen suunnan kanssa. linjan A1A4 vektori. Suoran A1A4 suuntavektorilla on koordinaatit (3, -16, 7), joten tason normaalivektorilla on koordinaatit (3, -16, 7), ja tason yhtälö on:

3x - 16v + 7z + 118 = 0

e) Laskeaksesi suoran A1A4 ja tason A1A2A3 välisen kulman sinin, sinun on löydettävä suoran A1A4 suuntavektorin ja tason A1A2A3 normaalivektorin välisen kulman kosini ja otettava sitten kulman sini lasketun kosinin lisäksi. Suoran A1A4 suuntavektorilla on koordinaatit (3, -16, 7) ja tason A1A2A3 normaalivektorilla on koordinaatit (-5, 7, -11). Niiden pistetulo on -211, ja vektorien pituudet ovat √290,5 ja √195, mikä antaa niiden välisen kulman kosiniksi -0,924. Näin ollen suoran A1A4 ja tason A1A2A3 välisen kulman sini on yhtä suuri kuin √(1-0,924^2) ≈ 0,383.

g) Kosinin laskemiseksi koordinaattitason Oxy ja tason A1A2A3 välisestä kulmasta sinun on löydettävä niiden normaalivektorien välinen kulma. Koordinaattitason Oxy normaalivektorilla on koordinaatit (0, 0, 1) ja tason A1A2A3 normaalivektori löydettiin aikaisemmin ja sillä on koordinaatit (-5, 7, -11). Niiden pistetulo on -11 ja vektorien pituudet ovat 1 ja √195, mikä antaa niiden välisen kulman kosiniksi -0,056. Näin ollen koordinaattitason Oxy ja tason A1A2A3 välinen kulma on suunnilleen yhtä suuri kuin acos(-0,056) ≈ 90,6 astetta.

Nro 2. Toisessa tehtävässä tulee luoda yhtälö tasolle, joka kulkee kahden annetun pisteen kautta ja on yhdensuuntainen Oy-akselin kanssa.

Jotta taso olisi yhdensuuntainen Oy-akselin kanssa, sen normaalivektori on suunnattava Oy-akselia pitkin, eli sen koordinaattien tulee olla (0, k, 0), missä k on mielivaltainen luku. Tason normaalivektorin tulee myös olla kohtisuorassa pisteitä A(2, 5, -1) ja B(-3, 1, 3) yhdistävään vektoriin nähden, eli niiden pistetulon on oltava nolla.

Siten tason yhtälö on:

ky - 5k + 2*z - 4 = 0

missä k on mielivaltainen luku.

Nro 3. Kolmannessa tehtävässä sinun on löydettävä sen parametrin arvo, jolla viiva on yhdensuuntainen tietyn suoran kanssa. Tätä varten on tarpeen ilmaista tietyn suoran suuntavektorin koordinaatit parametrien kautta ja löytää halutun suoran suuntavektorin vastaavat koordinaatit. Sitten tarvitset

***

Erittäin kätevä ja ymmärrettävä tehtävämuoto.
Suuri määrä tehtäviä mahdollistaa harjoittelun pitkään.
Kaikkien ongelmien ratkaisuihin liittyy yksityiskohtaiset selitykset.
Tehtävät on hyvin jäsennelty ja jaettu osiin, mikä helpottaa työtä.
Monet erityyppiset tehtävät auttavat vahvistamaan materiaalia käytännössä.
Tehtävien monimutkaisuus lisääntyy vähitellen, mikä auttaa parantamaan taitojasi.
Materiaalien laatu on erittäin korkea ja olennainen.
Ohjelma kattaa kaikki kokeen läpäisemiseen tarvittavat aiheet ja osiot.
Suosittelen tätä digitaalista tuotetta kaikille opiskelijoille, jotka valmistautuvat suorittamaan IPD:n.
Digitaalinen tuote IDZ Ryabushko 3.1 Option 6 on erinomainen työkalu itseopiskeluun ja tietotason nostamiseen.