IDZ 4.1 – 选项 12。解决方案 Ryabushko A.P.

1. 绘制坐标平面中各种曲线的规范方程： a) 对于椭圆： ((x - A)^2)/a^2 + ((y - B)^2)/b^2 = 1，其中 A B——椭圆中心坐标，a和b分别是长半轴和短半轴的长度。 b) 对于双曲线：((x - A)^2)/a^2 - ((y - B)^2)/b^2 = 1，其中 A 和 B 是双曲线中心的坐标， a 和 b 分别是长轴和短半轴的长度。 c) 对于抛物线：y^2 = 2px，其中 p 是抛物线顶点与其焦点之间的距离。

对于问题参数的某些值，我们得到以下方程： a) 椭圆：((x + 5)^2)/13 + ((y - 15)^2)/4 = 1，其中 F(- 5, 15), a = √13, b = 2, ε = 5√29/29。 b) 双曲线：((x - 5)^2)/25 - ((y + 12)/13)^2 = 1，其中 F(5, -12), a = 5, b = 13, ε = √ (a^2 + b^2)/a = 2。 c) 抛物线：y^2 = 8(x + 5)。

1. 以 A 点为圆心并经过给定点的圆方程的形式为： (x - A_x)^2 + (y - A_y)^2 = r^2，其中 A(x_A, y_A) 是圆心坐标，r - 圆半径。 r 的值可以使用圆心与给定点之一之间的距离找到。

2. 利用点与线之间的距离公式可以求出满足给定条件的直线方程。对于这个问题，直线方程为 x = -5，点 A(2, 1) 到这条直线的距离等于 3 倍于点 A 到平行于直线的交点的距离x = -5 并穿过 A 点 解出该方程后，我们得到了所需直线的方程。

3. 要在极坐标系中绘制由方程定义的曲线，可以使用 ρ 和 φ 的值进行绘制，这两个值定义了曲线上点的半径向量以及初始射线与半径向量之间的角度， 分别。对于这个问题，曲线将具有心形的形式。

4. 要构造由参数方程给出的曲线，您可以使用针对区间 [0, 2π] 内参数 t 的各种值计算的 x 和 y 值来绘制它。对于这个问题，曲线看起来像一个椭圆。

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IDZ 4.1 – 选项 12。解决方案 Ryabushko A.P.是一款数字产品，包含 IDZ 4.1 版本 12 数学分析问题的详细解决方案。它包含椭圆、双曲线和抛物线的规范方程，以及圆和直线方程、极坐标和参数坐标系中的曲线图。

对于以点 F(-5, 15) 为中心的椭圆，长半轴 a = √13 且短半轴 b = 2，规范方程的形式为 ((x + 5)^2)/13 + ( (y - 15)^2 )/4 = 1，偏心率 ε = 5√29/29。

对于中心位于点 F(5, -12)、长半轴 a = 5 和短半轴 b = 13 的双曲线，规范方程的形式为 ((x - 5)^2)/25 - ( (y + 12)/13) ^2 = 1，双曲线 y = ±kx 的渐近线方程的形式为 y = ±12/13x。曲线准线的方程为 x = 5 - (25/12) = -5/12，焦距 2c = √(a^2 + b^2) = √(5^2 + 13^2)约 14.04。

对于对称轴为 Ox 且顶点位于点 A(-5, 15) 的抛物线，方程的形式为 y^2 = 8(x + 5)。

通过 A 点和 B 点、以 C 点为圆心的圆的方程 (x_C, y_C) 可写为 (x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 = r^2，其中 r 为圆的半径。 r 的值可以使用圆心与给定点之一之间的距离找到。

双曲线的左焦点为 3x^2 - 5y^2 = 30，坐标为 (c, 0)，其中 c = √(a^2 + b^2) = √(30/3) = 3。因此，双曲线的左焦点坐标为 (3, 0)。

直线方程的形式为 y = 7，其中每个点距点 A(2, 1) 的距离是距直线 x = -5 的距离的三倍。

极坐标系中方程 ρ = 1/(2 - sinφ) 定义的曲线具有心形形状。

对于 0 ≤ t ≤ 2π，由参数方程 x = 4cos^3(t), y = 5sin^3(t) 定义的曲线是椭圆。

这些解决方案是使用公式编辑器在 Microsoft Word 2003 中编写的，这使得该产品的使用变得方便，并且对学习数学分析的学生和教师有吸引力。

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IDZ 4.1 – 选项 12。解决方案 Ryabushko A.P.

a) 椭圆的正则方程： ((x - A_x)^2) / (a^2) + ((y - A_y)^2) / (b^2) = 1

其中A(x,y)是椭圆中心的坐标，a和b分别是长半轴和短半轴的长度。

对于给定的椭圆：A(-1, 2)、a = sqrt(13)、b = sqrt(10)、F1(0,2)、F2(-2,2)

焦点坐标定义为 F1(x,y) = (A_x + c, A_y), F2(x,y) = (A_x - c, A_y)，其中 c = sqrt(a^2 - b^2)

对于给定的椭圆： c = sqrt(3), ε = c/a = sqrt(3/13)

b) 双曲线的正则方程： ((x - A_x)^2) / (a^2) - ((y - A_y)^2) / (b^2) = 1

其中A(x,y)是双曲线中心的坐标，a和b分别是长半轴和短半轴的长度。

对于给定的双曲线：A(3,0)、a = sqrt(17)、b = sqrt(8)、F1(4,0)、F2(2,0)

焦点坐标定义为 F1(x,y) = (A_x + c, A_y), F2(x,y) = (A_x - c, A_y)，其中 c = sqrt(a^2 + b^2)

对于给定的双曲线：c = sqrt(25) = 5, ε = c/a = sqrt(25/17)

y = ±(b/a)x - A_y - (b^2/a^2)(A_x - F_x)

对于给定的双曲线： y = ±(2.8284)x - 0 - (8/17)(3 - 4)

c) 抛物线的正则方程： y = a(x - A_x)^2 + A_y

其中A(x,y)是抛物线的顶点，a是抛物线的参数。

对于该抛物线：A(-5.0)，对称轴 Ox，a = 1/3

1. 以 A(x,y) 为圆心并经过 B(x_1,y_1) 和 C(x_2,y_2) 点的圆方程为：

(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2

其中R是圆的半径，x_0 = A_x，y_0 = A_y。

对于此问题：A(-4, 6)、B(-2, 8)、C(-6, 4)

让我们求出圆的半径： R = sqrt((x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2) = sqrt(20)

圆的方程：(x + 4)^2 + (y - 6)^2 = 20

1. 穿过点 A(x_0, y_0) 且距直线 x = k 距离 d 的直线方程具有以下形式：

|y_0 - k| = d

对于这个问题：A(2, 1), k = -5, d = 3 * |k - x_0| = 21

直线方程： |y - (-5)| = 21

1. 由方程 ρ = f(φ) 在极坐标中定义的曲线图构造如下：

• 在区间 φ_1 ≤ φ ≤ φ_2 上构造函数 f(φ) 并找到与这些值对应的点 (ρ,φ)；
• 这些点定义极坐标中的曲线。

对于这个问题： ρ = 1/(2 - sinφ)

1. 由方程 x = f(t), y = g(t) 参数定义的曲线图构造如下：

• 在区间 t_1 ≤ t ≤ t_2 上，针对参数 t 的每个值找到函数 f(t) 和 g(t) 的值；
• 这些值对应于曲线图上的点(x,y)的坐标。

对于此问题：x = 4cos(3t)，y = 5sin(3t)，其中 0 ≤ t ≤ 2π。

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