IDZ 4.1 – オプション 12. ソリューション Ryabushko A.P.

1. 座標平面内のさまざまな曲線の正準方程式を作成します。 a) 楕円の場合: ((x - A)^2)/a^2 + ((y - B)^2)/b^2 = 1、ここで A B - 楕円の中心の座標、a と b はそれぞれ長半軸と短半軸の長さです。 b) 双曲線の場合: ((x - A)^2)/a^2 - ((y - B)^2)/b^2 = 1、ここで A と B は双曲線の中心の座標です。 a と b はそれぞれ長軸と準短軸の長さです。 c) 放物線の場合: y^2 = 2px、ここで p は放物線の頂点とその焦点の間の距離です。

問題パラメータの特定の値については、次の方程式が得られます。 a) 楕円: ((x + 5)^2)/13 + ((y - 15)^2)/4 = 1、ここで F(- 5、15)、a = √13、b = 2、ε = 5√29/29。 b) 双曲線: ((x - 5)^2)/25 - ((y + 12)/13)^2 = 1、ここで F(5, -12)、a = 5、b = 13、ε = √ (a^2 + b^2)/a = 2。c) 放物線: y^2 = 8(x + 5)。

1. 点 A を中心とし、指定された点を通過する円の方程式は、(x - A_x)^2 + (y - A_y)^2 = r^2 の形式になります。ここで、A(x_A, y_A) は円の中心の座標、および r - 円の半径。 r の値は、円の中心と指定された点の 1 つの間の距離を使用して見つけることができます。

2. 与えられた条件を満たす直線の方程式は、点と直線の間の距離の公式を使用して求めることができます。この問題では、直線の方程式は x = -5 となり、点 A(2, 1) からこの直線までの距離は、点 A(2, 1) からそれに平行な直線の交点までの距離の 3 倍に等しくなります。 x = -5 で点 A を通過 この方程式を解くと、目的の直線の方程式が得られます。

3. 極座標系の方程式で定義された曲線をプロットするには、曲線上の点の半径ベクトルと、初期光線と半径ベクトルの間の角度を定義する ρ と φ の値を使用して曲線をプロットできます。 、 それぞれ。この問題では、曲線はカーディオイドの形になります。

4. パラメトリック方程式で与えられる曲線を構築するには、区間 [0, 2π] のパラメーター t のさまざまな値に対して計算された x と y の値を使用してプロットできます。この問題では、曲線は楕円のように見えます。

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IDZ 4.1 – オプション 12. ソリューション Ryabushko A.P. IDZ 4.1、バージョン 12 の数学的解析の問題に対する詳細な解決策が含まれるデジタル製品です。楕円、双曲線、放物線の正準方程式、円と直線の方程式、極座標系とパラメトリック座標系の曲線のグラフが含まれています。 。

点 F(-5, 15)、長半径 a = √13、短半径 b = 2 を中心とする楕円の場合、正準方程式は ((x + 5)^2)/13 + ( (y - 15)^2 )/4 = 1、離心率 ε = 5√29/29。

点 F(5, -12) を中心とし、長半径 a = 5、短半径 b = 13 の双曲線の場合、正準方程式は ((x - 5)^2)/25 - ( (y + 12)/13) ^2 = 1、双曲線 y = ±kx の漸近線の方程式は y = ±12/13x の形式になります。曲線の準線は式 x = 5 - (25/12) = -5/12、焦点距離 2c = √(a^2 + b^2) = √(5^2 + 13^2) を持ちます。 ≈ 14.04。

対称軸 Ox と点 A(-5, 15) に頂点を持つ放物線の場合、方程式は y^2 = 8(x + 5) の形式になります。

点 A と B を通過し、点 C (x_C, y_C) を中心とする円の方程式は、(x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 = r^2 と書くことができます。ここで、r は円の半径。 r の値は、円の中心と指定された点の 1 つの間の距離を使用して見つけることができます。

双曲線の左の焦点は 3x^2 - 5y^2 = 30 で、座標は (c, 0) です。ここで、c = √(a^2 + b^2) = √(30/3) = 3 となります。双曲線の左焦点の座標は (3, 0) です。

各点が直線 x = -5 からの距離よりも点 A(2, 1) から 3 倍大きい距離に位置する直線の方程式は、y = 7 の形式になります。

極座標系の方程式 ρ = 1/(2 - sinφ) で定義される曲線は、カーディオイドの形をしています。

0 ≤ t ≤ 2π のパラメトリック方程式 x = 4cos^3(t)、y = 5sin^3(t) で定義される曲線は楕円です。

ソリューションは数式エディタを使用して Microsoft Word 2003 で作成されるため、数学的分析を勉強する学生や教師にとってこの製品の使用は便利で魅力的です。

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IDZ 4.1 – オプション 12. ソリューション Ryabushko A.P.

a) 楕円の正準方程式: ((x - A_x)^2) / (a^2) + ((y - A_y)^2) / (b^2) = 1

ここで、A(x,y) は楕円の中心の座標、a と b はそれぞれ長半軸と短半軸の長さです。

特定の楕円の場合: A(-1, 2)、a = sqrt(13)、b = sqrt(10)、F1(0,2)、F2(-2,2)

焦点座標は、F1(x,y) = (A_x + c, A_y)、F2(x,y) = (A_x - c, A_y) として定義されます。ここで、c = sqrt(a^2 - b^2)

特定の楕円の場合: c = sqrt(3)、ε = c/a = sqrt(3/13)

b) 双曲線の正準方程式: ((x - A_x)^2) / (a^2) - ((y - A_y)^2) / (b^2) = 1

ここで、A(x,y) は双曲線の中心の座標、a と b はそれぞれ長半軸と短半軸の長さです。

指定された双曲線の場合: A(3,0)、a = sqrt(17)、b = sqrt(8)、F1(4,0)、F2(2,0)

焦点座標は、F1(x,y) = (A_x + c, A_y)、F2(x,y) = (A_x - c, A_y) として定義されます。ここで、c = sqrt(a^2 + b^2)

特定の双曲線の場合: c = sqrt(25) = 5、ε = c/a = sqrt(25/17)

y = ±(b/a)x - A_y - (b^2/a^2)(A_x - F_x)

特定の双曲線の場合: y = ±(2.8284)x - 0 - (8/17)(3 - 4)

c) 放物線の正準方程式: y = a(x - A_x)^2 + A_y

ここで、A(x,y) は放物線の頂点、a は放物線のパラメータです。

この放物線の場合: A(-5.0)、対称軸 Ox、a = 1/3

1. 点 A(x,y) を中心とし、点 B(x_1,y_1) と点 C(x_2,y_2) を通過する円の方程式は次の形式になります。

(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2

ここで、R は円の半径、x_0 = A_x、y_0 = A_y です。

この問題の場合: A(-4, 6)、B(-2, 8)、C(-6, 4)

円の半径を求めてみましょう: R = sqrt((x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2) = sqrt(20)

円の方程式: (x + 4)^2 + (y - 6)^2 = 20

1. 点 A(x_0, y_0) を通り、直線 x = k から距離 d の位置にある直線の方程式は、次の形式になります。

|y_0 - k| = d

この問題の場合: A(2, 1)、k = -5、d = 3 * |k - x_0| = 21

直線方程式: |y - (-5)| = 21

1. 方程式 ρ = f(φ) によって極座標で定義される曲線のグラフは、次のように構成されます。

• 区間φ_1 ≤ φ ≤ φ_2 で関数 f(φ) が構築され、これらの値に対応する点 (ρ, φ) が見つかります。
• これらの点は極座標で曲線を定義します。

この問題の場合: ρ = 1/(2 - sinφ)

1. 方程式 x = f(t)、y = g(t) によってパラメトリックに定義された曲線のグラフは、次のように構築されます。

• 区間 t_1 ≤ t ≤ t_2 では、関数 f(t) と g(t) の値がパラメーター t の各値に対して見つかります。
• これらの値は、曲線グラフ上の点 (x,y) の座標に対応します。

この問題の場合: x = 4cos(3t)、y = 5sin(3t)、ここで 0 ≤ t ≤ 2π。

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