IDZ 4.1 – Opción 12. Soluciones Ryabushko A.P.

1. Elaboración de ecuaciones canónicas para varias curvas en el plano coordenado: a) para una elipse: ((x - A)^2)/a^2 + ((y - B)^2)/b^2 = 1, donde A y B - coordenadas del centro de la elipse, a y b son las longitudes de los semiejes mayor y menor, respectivamente. b) para una hipérbola: ((x - A)^2)/a^2 - ((y - B)^2)/b^2 = 1, donde A y B son las coordenadas del centro de la hipérbola, a y b son las longitudes de los ejes mayor y semi-menor, respectivamente. c) para una parábola: y^2 = 2px, donde p es la distancia entre el vértice de la parábola y su foco.

Para ciertos valores de los parámetros del problema, obtenemos las siguientes ecuaciones: a) elipse: ((x + 5)^2)/13 + ((y - 15)^2)/4 = 1, donde F(- 5, 15), a = √13, b = 2, ε = 5√29/29. b) hipérbolas: ((x - 5)^2)/25 - ((y + 12)/13)^2 = 1, donde F(5, -12), a = 5, b = 13, ε = √ (a^2 + b^2)/a = 2. c) parábolas: y^2 = 8(x + 5).

1. La ecuación de un círculo con centro en el punto A y que pasa por puntos dados tendrá la forma: (x - A_x)^2 + (y - A_y)^2 = r^2, donde A(x_A, y_A) son los coordenadas del centro del círculo, y r - radio del círculo. El valor de r se puede encontrar usando la distancia entre el centro del círculo y uno de los puntos dados.

2. La ecuación de una recta que satisface determinadas condiciones se puede encontrar utilizando la fórmula para la distancia entre un punto y una recta. Para este problema, la ecuación de la recta será x = -5, y la distancia desde el punto A(2, 1) a esta recta será igual a 3 veces la distancia desde el punto A al punto de intersección de una recta paralela a x = -5 y pasando por el punto A Resuelta esta ecuación obtenemos la ecuación de la recta deseada.

3. Para trazar una curva definida por una ecuación en un sistema de coordenadas polares, puede trazarla usando los valores de ρ y φ, que definen el vector de radio de un punto en la curva y el ángulo entre el rayo inicial y el vector de radio. , respectivamente. Para este problema, la curva tendrá forma cardioide.

4. Para construir una curva dada por ecuaciones paramétricas, puede trazarla utilizando los valores de xey calculados para varios valores del parámetro t en el intervalo [0, 2π]. Para este problema, la curva lucirá como una elipse.

Este producto es un producto digital que representa soluciones a problemas de análisis matemático para IDZ 4.1, versión 12, fabricado por A.P. Ryabushko. Contiene soluciones detalladas y comprensibles a problemas utilizando varios métodos y fórmulas. Este producto digital es ideal para estudiantes y profesores que estudian cálculo y desean mejorar sus conocimientos y habilidades. El hermoso diseño en formato html hace que el uso de este producto sea aún más conveniente y atractivo. ¡Puedes descargar fácilmente este producto digital y comenzar a usarlo de inmediato!

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Para una elipse centrada en el punto F(-5, 15), semieje mayor a = √13 y semieje menor b = 2, la ecuación canónica tiene la forma ((x + 5)^2)/13 + ( (y - 15)^2 )/4 = 1, y excentricidad ε = 5√29/29.

Para una hipérbola con centro en el punto F(5, -12), semieje mayor a = 5 y semieje menor b = 13, la ecuación canónica tiene la forma ((x - 5)^2)/25 - ( (y + 12)/13) ^2 = 1, y las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola y = ±kx tienen la forma y = ±12/13x. La directriz de la curva tiene la ecuación x = 5 - (25/12) = -5/12, y la distancia focal 2c = √(a^2 + b^2) = √(5^2 + 13^2) ≈ 14.04.

Para una parábola con un eje de simetría Ox y un vértice en el punto A(-5, 15), la ecuación tiene la forma y^2 = 8(x + 5).

La ecuación de un círculo que pasa por los puntos A y B y tiene centro en el punto C (x_C, y_C) se puede escribir como (x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 = r^2, donde r es el radio del círculo. El valor de r se puede encontrar usando la distancia entre el centro del círculo y uno de los puntos dados.

El foco izquierdo de la hipérbola es 3x^2 - 5y^2 = 30 con coordenadas (c, 0), donde c = √(a^2 + b^2) = √(30/3) = 3. Por lo tanto, el El foco izquierdo de la hipérbola tiene coordenadas (3, 0).

La ecuación de una recta, cada punto de la cual está situado a una distancia tres veces mayor del punto A(2, 1) que de la recta x = -5, tiene la forma y = 7.

La curva definida por la ecuación en el sistema de coordenadas polares ρ = 1/(2 - sinφ) tiene la forma de un cardioide.

La curva definida por las ecuaciones paramétricas x = 4cos^3(t), y = 5sin^3(t) para 0 ≤ t ≤ 2π es una elipse.

Las soluciones están diseñadas en Microsoft Word 2003 utilizando el editor de fórmulas, lo que hace que el uso del producto sea conveniente y atractivo para estudiantes y profesores que estudian análisis matemático.

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IDZ 4.1 – Opción 12. Soluciones Ryabushko A.P.

a) Ecuación canónica de la elipse: ((x - A_x)^2) / (a^2) + ((y - A_y)^2) / (b^2) = 1

donde A(x,y) son las coordenadas del centro de la elipse, a y b son las longitudes de los semiejes mayor y menor, respectivamente.

Para una elipse dada: A(-1, 2), a = sqrt(13), b = sqrt(10), F1(0,2), F2(-2,2)

Las coordenadas focales se definen como F1(x,y) = (A_x + c, A_y), F2(x,y) = (A_x - c, A_y), donde c = sqrt(a^2 - b^2)

Para una elipse dada: c = sqrt(3), ε = c/a = sqrt(3/13)

b) La ecuación canónica de una hipérbola: ((x - A_x)^2) / (a^2) - ((y - A_y)^2) / (b^2) = 1

donde A(x,y) son las coordenadas del centro de la hipérbola, a y b son las longitudes de los semiejes mayor y menor, respectivamente.

Para una hipérbola dada: A(3,0), a = sqrt(17), b = sqrt(8), F1(4,0), F2(2,0)

Las coordenadas focales se definen como F1(x,y) = (A_x + c, A_y), F2(x,y) = (A_x - c, A_y), donde c = sqrt(a^2 + b^2)

Para una hipérbola dada: c = sqrt(25) = 5, ε = c/a = sqrt(25/17)

y = ±(b/a)x - A_y - (b^2/a^2)(A_x - F_x)

Para una hipérbola dada: y = ±(2.8284)x - 0 - (8/17)(3 - 4)

c) La ecuación canónica de una parábola: y = a(x - A_x)^2 + A_y

donde A(x,y) es el vértice de la parábola, a es el parámetro de la parábola.

Para esta parábola: A(-5.0), eje de simetría Ox, a = 1/3

1. La ecuación de una circunferencia con centro en el punto A(x,y) y que pasa por los puntos B(x_1,y_1) y C(x_2,y_2) tiene la forma:

(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2

donde R es el radio del círculo, x_0 = A_x, y_0 = A_y.

Para este problema: A(-4, 6), B(-2, 8), C(-6, 4)

Encontremos el radio del círculo: R = sqrt((x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2) = sqrt(20)

Ecuación de un círculo: (x + 4)^2 + (y - 6)^2 = 20

1. La ecuación de una recta que pasa por el punto A(x_0, y_0) y se ubica a una distancia d de la recta x = k tiene la forma:

|y_0-k| = re

Para este problema: A(2, 1), k = -5, d = 3 * |k - x_0| = 21

Ecuación lineal: |y - (-5)| = 21

1. La gráfica de una curva definida en coordenadas polares por la ecuación ρ = f(φ) se construye de la siguiente manera:

• en el intervalo φ_1 ≤ φ ≤ φ_2 se construye la función f(φ) y se encuentran los puntos (ρ,φ) correspondientes a estos valores;
• estos puntos definen la curva en coordenadas polares.

Para este problema: ρ = 1/(2 - sinφ)

1. La gráfica de una curva definida paramétricamente por las ecuaciones x = f(t), y = g(t) se construye de la siguiente manera:

• en el intervalo t_1 ≤ t ≤ t_2 se encuentran los valores de las funciones f(t) y g(t) para cada valor del parámetro t;
• estos valores corresponden a las coordenadas de los puntos (x,y) en el gráfico de la curva.

Para este problema: x = 4cos(3t), y = 5sin(3t), donde 0 ≤ t ≤ 2π.

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