IDZ 4.1 – Вариант 12. Решения Ryabushko A.P.

1. Съставяне на канонични уравнения за различни криви в координатната равнина: а) за елипса: ((x - A)^2)/a^2 + ((y - B)^2)/b^2 = 1, където A и B - координати на центъра на елипсата, a и b са съответно дължините на голямата и малката полуос. б) за хипербола: ((x - A)^2)/a^2 - ((y - B)^2)/b^2 = 1, където A и B са координатите на центъра на хиперболата, a и b са дължините съответно на голямата и малката полуос. в) за парабола: y^2 = 2px, където p е разстоянието между върха на параболата и нейния фокус.

За определени стойности на параметрите на задачата получаваме следните уравнения: а) елипса: ((x + 5)^2)/13 + ((y - 15)^2)/4 = 1, където F(- 5, 15), a = √13, b = 2, ε = 5√29/29. б) хиперболи: ((x - 5)^2)/25 - ((y + 12)/13)^2 = 1, където F(5, -12), a = 5, b = 13, ε = √ (a^2 + b^2)/a = 2. в) параболи: y^2 = 8(x + 5).

1. Уравнението на окръжност с център в точка А и минаваща през дадени точки ще има формата: (x - A_x)^2 + (y - A_y)^2 = r^2, където A(x_A, y_A) са координати на центъра на окръжността и r - радиус на окръжността. Стойността на r може да се намери като се използва разстоянието между центъра на окръжността и една от дадените точки.

2. Уравнението на права, която отговаря на дадени условия, може да се намери с помощта на формулата за разстоянието между точка и права. За тази задача уравнението на правата ще бъде x = -5, а разстоянието от точка A(2, 1) до тази права ще бъде равно на 3 пъти разстоянието от точка A до пресечната точка на права, успоредна на x = -5 и минаваща през точка A След като решим това уравнение, получаваме уравнението на търсената права.

3. За да начертаете крива, дефинирана от уравнение в полярна координатна система, можете да я начертаете, като използвате стойностите на ρ и φ, които определят радиус вектора на точка от кривата и ъгъла между началния лъч и радиус вектора , съответно. За тази задача кривата ще има формата на кардиоида.

4. За да конструирате крива, дадена от параметрични уравнения, можете да я начертаете, като използвате стойностите на x и y, изчислени за различни стойности на параметъра t в интервала [0, 2π]. За този проблем кривата ще изглежда като елипса.

Този продукт е дигитален продукт, който представлява решения на задачи по математически анализ за IDZ 4.1, версия 12, дело на А. П. Рябушко. Съдържа подробни и разбираеми решения на проблеми с помощта на различни методи и формули. Този дигитален продукт е идеален за студенти и учители, които изучават математика и искат да подобрят своите знания и умения. Красивият дизайн в html формат прави използването на този продукт още по-удобно и привлекателно. Можете лесно да изтеглите този цифров продукт и да започнете да го използвате веднага!

IDZ 4.1 – Вариант 12. Решения Ryabushko A.P. е цифров продукт, съдържащ подробни решения на задачи по математически анализ за IDZ 4.1, версия 12. Съдържа канонични уравнения за елипса, хипербола и парабола, както и уравнения на окръжност и права, графики на криви в полярни и параметрични координатни системи .

За елипса с център в точка F(-5, 15), голяма полуос a = √13 и малка полуос b = 2, каноничното уравнение има формата ((x + 5)^2)/13 + ( (y - 15)^2 )/4 = 1 и ексцентричност ε = 5√29/29.

За хипербола с център в точка F(5, -12), голяма полуос a = 5 и малка полуос b = 13, каноничното уравнение има формата ((x - 5)^2)/25 - ( (y + 12)/13) ^2 = 1, а уравненията на асимптотите на хиперболата y = ±kx имат вида y = ±12/13x. Директрисата на кривата има уравнението x = 5 - (25/12) = -5/12, а фокусното разстояние 2c = √(a^2 + b^2) = √(5^2 + 13^2) ≈ 14.04.

За парабола с ос на симетрия Ox и връх в точка A(-5, 15), уравнението има формата y^2 = 8(x + 5).

Уравнението на окръжност, минаваща през точки A и B и имаща център в точка C (x_C, y_C), може да бъде записано като (x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 = r^2, където r е радиуса на окръжността. Стойността на r може да се намери като се използва разстоянието между центъра на окръжността и една от дадените точки.

Левият фокус на хиперболата е 3x^2 - 5y^2 = 30 с координати (c, 0), където c = √(a^2 + b^2) = √(30/3) = 3. Така, левият фокус на хиперболата има координати (3, 0).

Уравнението на права, всяка точка от която се намира на три пъти по-голямо разстояние от точката A(2, 1), отколкото от правата x = -5, има формата y = 7.

Кривата, определена от уравнението в полярната координатна система ρ = 1/(2 - sinφ), има формата на кардиоида.

Кривата, дефинирана от параметричните уравнения x = 4cos^3(t), y = 5sin^3(t) за 0 ≤ t ≤ 2π, е елипса.

Решенията се подготвят в Microsoft Word 2003 с помощта на редактора на формули, което прави използването на продукта удобно и привлекателно за студенти и учители, изучаващи математически анализ.

***

IDZ 4.1 – Вариант 12. Решения Ryabushko A.P.

а) Канонично уравнение на елипсата: ((x - A_x)^2) / (a^2) + ((y - A_y)^2) / (b^2) = 1

където A(x,y) са координатите на центъра на елипсата, a и b са дължините съответно на голямата и малката полуос.

За дадена елипса: A(-1, 2), a = sqrt(13), b = sqrt(10), F1(0,2), F2(-2,2)

Фокалните координати се определят като F1(x,y) = (A_x + c, A_y), F2(x,y) = (A_x - c, A_y), където c = sqrt(a^2 - b^2)

За дадена елипса: c = sqrt(3), ε = c/a = sqrt(3/13)

б) Каноничното уравнение на хипербола: ((x - A_x)^2) / (a^2) - ((y - A_y)^2) / (b^2) = 1

където A(x,y) са координатите на центъра на хиперболата, a и b са дължините съответно на голямата и малката полуос.

За дадена хипербола: A(3,0), a = sqrt(17), b = sqrt(8), F1(4,0), F2(2,0)

Фокалните координати се определят като F1(x,y) = (A_x + c, A_y), F2(x,y) = (A_x - c, A_y), където c = sqrt(a^2 + b^2)

За дадена хипербола: c = sqrt(25) = 5, ε = c/a = sqrt(25/17)

y = ±(b/a)x - A_y - (b^2/a^2)(A_x - F_x)

За дадена хипербола: y = ±(2,8284)x - 0 - (8/17)(3 - 4)

в) Канонично уравнение на парабола: y = a(x - A_x)^2 + A_y

където A(x,y) е върхът на параболата, а е параметърът на параболата.

За тази парабола: A(-5.0), ос на симетрия Ox, a = 1/3

1. Уравнението на окръжност с център в точка A(x,y) и минаваща през точки B(x_1,y_1) и C(x_2,y_2) има формата:

(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2

където R е радиусът на окръжността, x_0 = A_x, y_0 = A_y.

За този проблем: A(-4, 6), B(-2, 8), C(-6, 4)

Нека намерим радиуса на окръжността: R = sqrt((x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2) = sqrt(20)

Уравнение на окръжност: (x + 4)^2 + (y - 6)^2 = 20

1. Уравнението на права, минаваща през точка A(x_0, y_0) и разположена на разстояние d от правата x = k, има формата:

|y_0 - k| = d

За този проблем: A(2, 1), k = -5, d = 3 * |k - x_0| = 21

Уравнение на линията: |y - (-5)| = 21

1. Графиката на крива, дефинирана в полярни координати от уравнението ρ = f(φ), се конструира, както следва:

• на интервала φ_1 ≤ φ ≤ φ_2 се конструира функцията f(φ) и се намират точките (ρ,φ), съответстващи на тези стойности;
• тези точки определят кривата в полярни координати.

За този проблем: ρ = 1/(2 - sinφ)

1. Графиката на крива, дефинирана параметрично от уравненията x = f(t), y = g(t), се конструира, както следва:

• на интервала t_1 ≤ t ≤ t_2 се намират стойностите на функциите f(t) и g(t) за всяка стойност на параметъра t;
• тези стойности съответстват на координатите на точките (x,y) на графиката на кривата.

За тази задача: x = 4cos(3t), y = 5sin(3t), където 0 ≤ t ≤ 2π.

***

1. Решения на IDZ 4.1 по математика от Ryabushko A.P. е страхотен дигитален продукт за ученици.
2. Благодарение на IDZ 4.1 – Вариант 12 от Ryabushko A.P. Успях бързо и ефективно да се подготвя за изпита по математика.
3. Решенията на IDS 4.1 са на високо ниво, помогнаха ми да подобря знанията и уменията си по математика.
4. Дигитален продукт IDZ 4.1 – Вариант 12 от Ryabushko A.P. представени в удобен формат, който ви позволява бързо и лесно да навигирате в материала.
5. Решения IDZ 4.1 от Ryabushko A.P. са незаменим помощник за ученици, които искат да подобрят знанията си по математика.
6. IDZ 4.1 – Вариант 12 от Ryabushko A.P. е отличен дигитален продукт, който помага да спестите време при подготовката за изпита.
7. Много благодаря на Ryabushko A.P. за висококачествени и разбираеми решения на IDZ 4.1 по математика, което ми помогна успешно да положа изпита.

Особености:

Много полезен цифров