IDZ 4.1 – Option 12. Solutions Ryabushko A.P.

1. Établir des équations canoniques pour différentes courbes dans le plan de coordonnées : a) pour une ellipse : ((x - A)^2)/a^2 + ((y - B)^2)/b^2 = 1, où A et B - coordonnées du centre de l'ellipse, a et b sont respectivement les longueurs des demi-axes majeur et mineur. b) pour une hyperbole : ((x - A)^2)/a^2 - ((y - B)^2)/b^2 = 1, où A et B sont les coordonnées du centre de l'hyperbole, a et b sont respectivement les longueurs des grands et semi-petits axes. c) pour une parabole : y^2 = 2px, où p est la distance entre le sommet de la parabole et son foyer.

Pour certaines valeurs des paramètres du problème, on obtient les équations suivantes : a) ellipse : ((x + 5)^2)/13 + ((y - 15)^2)/4 = 1, où F(- 5, 15), a = √13, b = 2, ε = 5√29/29. b) hyperboles : ((x - 5)^2)/25 - ((y + 12)/13)^2 = 1, où F(5, -12), a = 5, b = 13, ε = √ (a^2 + b^2)/a = 2. c) paraboles : y^2 = 8(x + 5).

1. L'équation d'un cercle ayant un centre au point A et passant par des points donnés aura la forme : (x - A_x)^2 + (y - A_y)^2 = r^2, où A(x_A, y_A) sont les coordonnées du centre du cercle et r - rayon du cercle. La valeur de r peut être trouvée en utilisant la distance entre le centre du cercle et l’un des points donnés.

2. L'équation d'une ligne qui satisfait des conditions données peut être trouvée à l'aide de la formule de la distance entre un point et une ligne. Pour ce problème, l'équation de la droite sera x = -5, et la distance du point A(2, 1) à cette droite sera égale à 3 fois la distance du point A au point d'intersection d'une droite parallèle à x = -5 et passant par le point A Après avoir résolu cette équation, on obtient l'équation de la droite souhaitée.

3. Pour tracer une courbe définie par une équation dans un système de coordonnées polaires, vous pouvez la tracer en utilisant les valeurs de ρ et φ, qui définissent le rayon vecteur d'un point de la courbe et l'angle entre le rayon initial et le rayon vecteur , respectivement. Pour ce problème, la courbe aura la forme d’une cardioïde.

4. Pour construire une courbe donnée par des équations paramétriques, vous pouvez la tracer en utilisant les valeurs de x et y calculées pour différentes valeurs du paramètre t dans l'intervalle [0, 2π]. Pour ce problème, la courbe ressemblera à une ellipse.

Ce produit est un produit numérique qui représente des solutions aux problèmes d'analyse mathématique pour IDZ 4.1, version 12, réalisé par A.P. Ryabushko. Il contient des solutions détaillées et compréhensibles aux problèmes utilisant diverses méthodes et formules. Ce produit numérique est idéal pour les étudiants et les enseignants qui étudient le calcul et souhaitent améliorer leurs connaissances et leurs compétences. Un beau design au format HTML rend l'utilisation de ce produit encore plus pratique et attrayante. Vous pouvez facilement télécharger ce produit numérique et commencer à l’utiliser immédiatement !

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Pour une ellipse centrée au point F(-5, 15), demi-grand axe a = √13 et demi-petit axe b = 2, l'équation canonique a la forme ((x + 5)^2)/13 + ( (y - 15)^2 )/4 = 1, et excentricité ε = 5√29/29.

Pour une hyperbole de centre au point F(5, -12), de demi-grand axe a = 5 et de demi-petit axe b = 13, l'équation canonique a la forme ((x - 5)^2)/25 - ( (y + 12)/13) ^2 = 1, et les équations des asymptotes de l'hyperbole y = ±kx ont la forme y = ±12/13x. La directrice de la courbe a l'équation x = 5 - (25/12) = -5/12, et la distance focale 2c = √(a^2 + b^2) = √(5^2 + 13^2) ≈ 14.04.

Pour une parabole avec un axe de symétrie Ox et un sommet au point A(-5, 15), l'équation a la forme y^2 = 8(x + 5).

L'équation d'un cercle passant par les points A et B et ayant un centre au point C (x_C, y_C) peut s'écrire sous la forme (x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 = r^2, où r est le rayon du cercle . La valeur de r peut être trouvée en utilisant la distance entre le centre du cercle et l’un des points donnés.

Le foyer gauche de l'hyperbole est 3x^2 - 5y^2 = 30 avec les coordonnées (c, 0), où c = √(a^2 + b^2) = √(30/3) = 3. Ainsi, le Le foyer gauche de l'hyperbole a les coordonnées (3, 0).

L'équation d'une droite dont chaque point est situé à une distance trois fois plus grande du point A(2, 1) que de la droite x = -5, a la forme y = 7.

La courbe définie par l'équation dans le système de coordonnées polaires ρ = 1/(2 - sinφ) a la forme d'une cardioïde.

La courbe définie par les équations paramétriques x = 4cos^3(t), y = 5sin^3(t) pour 0 ≤ t ≤ 2π est une ellipse.

Les solutions sont préparées dans Microsoft Word 2003 à l'aide de l'éditeur de formules, ce qui rend l'utilisation du produit pratique et attrayante pour les étudiants et les enseignants qui étudient l'analyse mathématique.

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IDZ 4.1 – Option 12. Solutions Ryabushko A.P.

a) Équation canonique de l'ellipse : ((x - A_x)^2) / (a^2) + ((y - A_y)^2) / (b^2) = 1

où A(x,y) sont les coordonnées du centre de l'ellipse, a et b sont respectivement les longueurs des demi-axes majeur et mineur.

Pour une ellipse donnée : A(-1, 2), a = sqrt(13), b = sqrt(10), F1(0,2), F2(-2,2)

Les coordonnées focales sont définies comme F1(x,y) = (A_x + c, A_y), F2(x,y) = (A_x - c, A_y), où c = sqrt(a^2 - b^2)

Pour une ellipse donnée : c = sqrt(3), ε = c/a = sqrt(3/13)

b) L'équation canonique d'une hyperbole : ((x - A_x)^2) / (a^2) - ((y - A_y)^2) / (b^2) = 1

où A(x,y) sont les coordonnées du centre de l'hyperbole, a et b sont respectivement les longueurs des demi-axes majeur et mineur.

Pour une hyperbole donnée : A(3,0), a = sqrt(17), b = sqrt(8), F1(4,0), F2(2,0)

Les coordonnées focales sont définies comme F1(x,y) = (A_x + c, A_y), F2(x,y) = (A_x - c, A_y), où c = sqrt(a^2 + b^2)

Pour une hyperbole donnée : c = sqrt(25) = 5, ε = c/a = sqrt(25/17)

y = ±(b/a)x - A_y - (b^2/a^2)(A_x - F_x)

Pour une hyperbole donnée : y = ±(2,8284)x - 0 - (8/17)(3 - 4)

c) Équation canonique d'une parabole : y = a(x - A_x)^2 + A_y

où A(x,y) est le sommet de la parabole, a est le paramètre de la parabole.

Pour cette parabole : A(-5.0), axe de symétrie Ox, a = 1/3

1. L'équation d'un cercle de centre au point A(x,y) et passant par les points B(x_1,y_1) et C(x_2,y_2) a la forme :

(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2

où R est le rayon du cercle, x_0 = A_x, y_0 = A_y.

Pour ce problème : A(-4, 6), B(-2, 8), C(-6, 4)

Trouvons le rayon du cercle : R = sqrt((x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2) = sqrt(20)

Équation d'un cercle : (x + 4)^2 + (y - 6)^2 = 20

1. L'équation d'une droite passant par le point A(x_0, y_0) et située à une distance d de la droite x = k a la forme :

|y_0 - k| = ré

Pour ce problème : A(2, 1), k = -5, d = 3 * |k - x_0| = 21

Équation linéaire : |y - (-5)| = 21

1. Le graphique d'une courbe définie en coordonnées polaires par l'équation ρ = f(φ) est construit comme suit :

• sur l'intervalle φ_1 ≤ φ ≤ φ_2 la fonction f(φ) est construite et les points (ρ,φ) correspondant à ces valeurs sont trouvés ;
• ces points définissent la courbe en coordonnées polaires.

Pour ce problème : ρ = 1/(2 - sinφ)

1. Le graphique d'une courbe définie paramétriquement par les équations x = f(t), y = g(t) est construit comme suit :

• sur l'intervalle t_1 ≤ t ≤ t_2 on retrouve les valeurs des fonctions f(t) et g(t) pour chaque valeur du paramètre t ;
• ces valeurs correspondent aux coordonnées des points (x,y) sur le graphique courbe.

Pour ce problème : x = 4cos(3t), y = 5sin(3t), où 0 ≤ t ≤ 2π.

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