IDZ 4.1 – Opção 12. Soluções Ryabushko A.P.

1. Elaboração de equações canônicas para várias curvas no plano coordenado: a) para uma elipse: ((x - A)^2)/a^2 + ((y - B)^2)/b^2 = 1, onde A e B são as coordenadas do centro da elipse, a e b são os comprimentos dos semieixos maior e menor, respectivamente. b) para uma hipérbole: ((x - A)^2)/a^2 - ((y - B)^2)/b^2 = 1, onde A e B são as coordenadas do centro da hipérbole, aeb são os comprimentos dos eixos maior e semimenor, respectivamente. c) para uma parábola: y^2 = 2px, onde p é a distância entre o vértice da parábola e seu foco.

Para determinados valores dos parâmetros do problema, obtemos as seguintes equações: a) elipse: ((x + 5)^2)/13 + ((y - 15)^2)/4 = 1, onde F(- 5, 15), a = √13, b = 2, ε = 5√29/29. b) hipérboles: ((x - 5)^2)/25 - ((y + 12)/13)^2 = 1, onde F(5, -12), a = 5, b = 13, ε = √ (a^2 + b^2)/a = 2. c) parábolas: y^2 = 8(x + 5).

1. A equação de um círculo com centro no ponto A e passando por determinados pontos terá a forma: (x - A_x)^2 + (y - A_y)^2 = r^2, onde A(x_A, y_A) são os coordenadas do centro do círculo e r - raio do círculo. O valor de r pode ser encontrado usando a distância entre o centro do círculo e um dos pontos dados.

2. A equação de uma reta que satisfaz determinadas condições pode ser encontrada usando a fórmula da distância entre um ponto e uma reta. Para este problema, a equação da reta será x = -5, e a distância do ponto A(2, 1) a esta reta será igual a 3 vezes a distância do ponto A ao ponto de intersecção de uma reta paralela a x = -5 e passando pelo ponto A Resolvida esta equação, obtemos a equação da reta desejada.

3. Para traçar uma curva definida por uma equação em um sistema de coordenadas polares, você pode plotá-la usando os valores de ρ e φ, que definem o vetor raio de um ponto na curva e o ângulo entre o raio inicial e o vetor raio , respectivamente. Para este problema, a curva terá a forma de um cardióide.

4. Para construir uma curva dada por equações paramétricas, você pode plotá-la usando os valores de x e y calculados para vários valores do parâmetro t no intervalo [0, 2π]. Para este problema, a curva parecerá uma elipse.

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IDZ 4.1 – Opção 12. Soluções Ryabushko A.P. é um produto digital que contém soluções detalhadas para problemas de análise matemática para IDZ 4.1, versão 12. Contém equações canônicas para elipse, hipérbole e parábola, bem como equações de círculo e reta, gráficos de curvas em sistemas de coordenadas polares e paramétricas .

Para uma elipse centrada no ponto F (-5, 15), semi-eixo maior a = √13 e semi-eixo menor b = 2, a equação canônica tem a forma ((x + 5) ^ 2)/13 + ( (y - 15)^2 )/4 = 1, e excentricidade ε = 5√29/29.

Para uma hipérbole com centro no ponto F(5, -12), semieixo maior a = 5 e semieixo menor b = 13, a equação canônica tem a forma ((x - 5)^2)/25 - ( (y + 12)/13) ^2 = 1, e as equações das assíntotas da hipérbole y = ±kx têm a forma y = ±12/13x. A diretriz da curva tem a equação x = 5 - (25/12) = -5/12, e a distância focal 2c = √(a^2 + b^2) = √(5^2 + 13^2) ≈ 14.04.

Para uma parábola com eixo de simetria Ox e vértice no ponto A(-5, 15), a equação tem a forma y^2 = 8(x + 5).

A equação de um círculo que passa pelos pontos A e B e tem centro no ponto C (x_C, y_C) pode ser escrita como (x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 = r^2, onde r é o raio do círculo. O valor de r pode ser encontrado usando a distância entre o centro do círculo e um dos pontos dados.

O foco esquerdo da hipérbole é 3x^2 - 5y^2 = 30 com coordenadas (c, 0), onde c = √(a^2 + b^2) = √(30/3) = 3. Assim, o o foco esquerdo da hipérbole tem coordenadas (3, 0).

A equação de uma reta, cada ponto localizado a uma distância três vezes maior do ponto A(2, 1) do que da reta x = -5, tem a forma y = 7.

A curva definida pela equação no sistema de coordenadas polares ρ = 1/(2 - sinφ) tem a forma de um cardióide.

A curva definida pelas equações paramétricas x = 4cos^3(t), y = 5sin^3(t) para 0 ≤ t ≤ 2π é uma elipse.

As soluções são elaboradas no Microsoft Word 2003 por meio do editor de fórmulas, o que torna a utilização do produto conveniente e atrativa para alunos e professores que estudam análise matemática.

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IDZ 4.1 – Opção 12. Soluções Ryabushko A.P.

a) Equação canônica da elipse: ((x - A_x) ^ 2) / (a ​​^ 2) + ((y - A_y) ^ 2) / (b ^ 2) = 1

onde A(x,y) são as coordenadas do centro da elipse, aeb são os comprimentos dos semieixos maior e menor, respectivamente.

Para uma determinada elipse: A(-1, 2), a = sqrt(13), b = sqrt(10), F1(0,2), F2(-2,2)

As coordenadas focais são definidas como F1(x,y) = (A_x + c, A_y), F2(x,y) = (A_x - c, A_y), onde c = sqrt(a^2 - b^2)

Para uma determinada elipse: c = sqrt(3), ε = c/a = sqrt(3/13)

b) A equação canônica de uma hipérbole: ((x - A_x) ^ 2) / (a ​​^ 2) - ((y - A_y) ^ 2) / (b ^ 2) = 1

onde A(x,y) são as coordenadas do centro da hipérbole, aeb são os comprimentos dos semieixos maior e menor, respectivamente.

Para uma determinada hipérbole: A(3,0), a = sqrt(17), b = sqrt(8), F1(4,0), F2(2,0)

As coordenadas focais são definidas como F1(x,y) = (A_x + c, A_y), F2(x,y) = (A_x - c, A_y), onde c = sqrt(a^2 + b^2)

Para uma determinada hipérbole: c = sqrt(25) = 5, ε = c/a = sqrt(25/17)

y = ±(b/a)x - A_y - (b^2/a^2)(A_x - F_x)

Para uma determinada hipérbole: y = ±(2,8284)x - 0 - (8/17)(3 - 4)

c) Equação canônica de uma parábola: y = uma(x - A_x)^2 + A_y

onde A(x,y) é o vértice da parábola, a é o parâmetro da parábola.

Para esta parábola: A (-5,0), eixo de simetria Boi, a = 1/3

1. A equação de um círculo com centro no ponto A(x,y) e passando pelos pontos B(x_1,y_1) e C(x_2,y_2) tem a forma:

(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2

onde R é o raio do círculo, x_0 = A_x, y_0 = A_y.

Para este problema: A(-4, 6), B(-2, 8), C(-6, 4)

Vamos encontrar o raio do círculo: R = sqrt((x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2) = sqrt(20)

Equação de um círculo: (x + 4)^2 + (y - 6)^2 = 20

1. A equação de uma reta que passa pelo ponto A(x_0, y_0) e localizada a uma distância d da reta x = k tem a forma:

|y_0 -k| =d

Para este problema: A(2, 1), k = -5, d = 3 * |k - x_0| = 21

Equação de linha: |y - (-5)| = 21

1. O gráfico de uma curva definida em coordenadas polares pela equação ρ = f(φ) é construído da seguinte forma:

• no intervalo φ_1 ≤ φ ≤ φ_2 constrói-se a função f(φ) e encontram-se os pontos (ρ,φ) correspondentes a estes valores;
• esses pontos definem a curva em coordenadas polares.

Para este problema: ρ = 1/(2 - sinφ)

1. O gráfico de uma curva definida parametricamente pelas equações x = f(t), y = g(t) é construído da seguinte forma:

• no intervalo t_1 ≤ t ≤ t_2 são encontrados os valores das funções f(t) e g(t) para cada valor do parâmetro t;
• esses valores correspondem às coordenadas dos pontos (x,y) no gráfico da curva.

Para este problema: x = 4cos(3t), y = 5sin(3t), onde 0 ≤ t ≤ 2π.

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