IDZ 4.1 – Opzione 12. Soluzioni Ryabushko A.P.

1. Elaborazione di equazioni canoniche per varie curve nel piano delle coordinate: a) per un'ellisse: ((x - A)^2)/a^2 + ((y - B)^2)/b^2 = 1, dove A e B - coordinate del centro dell'ellisse, a e b sono rispettivamente le lunghezze dei semiassi maggiore e minore. b) per un'iperbole: ((x - A)^2)/a^2 - ((y - B)^2)/b^2 = 1, dove A e B sono le coordinate del centro dell'iperbole, a e b sono rispettivamente le lunghezze dell'asse grande e del semiasse minore. c) per una parabola: y^2 = 2px, dove p è la distanza tra il vertice della parabola e il suo fuoco.

Per determinati valori dei parametri del problema, otteniamo le seguenti equazioni: a) ellisse: ((x + 5)^2)/13 + ((y - 15)^2)/4 = 1, dove F(- 5, 15), a = √13, b = 2, ε = 5√29/29. b) iperboli: ((x - 5)^2)/25 - ((y + 12)/13)^2 = 1, dove F(5, -12), a = 5, b = 13, ε = √ (a^2 + b^2)/a = 2. c) parabole: y^2 = 8(x + 5).

1. L'equazione di una circonferenza avente centro nel punto A e passante per determinati punti avrà la forma: (x - A_x)^2 + (y - A_y)^2 = r^2, dove A(x_A, y_A) sono le coordinate del centro del cerchio e r - raggio del cerchio. Il valore di r può essere trovato utilizzando la distanza tra il centro del cerchio e uno dei punti indicati.

2. L'equazione di una linea che soddisfa determinate condizioni può essere trovata utilizzando la formula per la distanza tra un punto e una linea. Per questo problema, l'equazione della linea sarà x = -5, e la distanza dal punto A(2, 1) a questa linea sarà uguale a 3 volte la distanza dal punto A al punto di intersezione di una linea parallela a x = -5 e passante per il punto A Risolta questa equazione, otteniamo l'equazione della retta desiderata.

3. Per tracciare una curva definita da un'equazione in un sistema di coordinate polari, è possibile tracciarla utilizzando i valori di ρ e φ, che definiscono il raggio vettore di un punto sulla curva e l'angolo tra il raggio iniziale e il raggio vettore , rispettivamente. Per questo problema la curva avrà la forma di un cardioide.

4. Per costruire una curva data da equazioni parametriche, è possibile tracciarla utilizzando i valori di xey calcolati per vari valori del parametro t nell'intervallo [0, 2π]. Per questo problema, la curva sembrerà un'ellisse.

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Per un'ellisse centrata nel punto F(-5, 15), semiasse maggiore a = √13 e semiasse minore b = 2, l'equazione canonica ha la forma ((x + 5)^2)/13 + ( (y - 15)^2 )/4 = 1 e eccentricità ε = 5√29/29.

Per un'iperbole con centro nel punto F(5, -12), semiasse maggiore a = 5 e semiasse minore b = 13, l'equazione canonica ha la forma ((x - 5)^2)/25 - ( (y + 12)/13) ^2 = 1, e le equazioni degli asintoti dell'iperbole y = ±kx hanno la forma y = ±12/13x. La direttrice della curva ha l'equazione x = 5 - (25/12) = -5/12 e la lunghezza focale 2c = √(a^2 + b^2) = √(5^2 + 13^2) ≈ 14.04.

Per una parabola con asse di simmetria Ox e vertice nel punto A(-5, 15), l'equazione ha la forma y^2 = 8(x + 5).

L'equazione di una circonferenza passante per i punti A e B e avente centro nel punto C (x_C, y_C) può essere scritta come (x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 = r^2, dove r è il raggio del cerchio. Il valore di r può essere trovato utilizzando la distanza tra il centro del cerchio e uno dei punti indicati.

Il fuoco sinistro dell'iperbole è 3x^2 - 5y^2 = 30 con coordinate (c, 0), dove c = √(a^2 + b^2) = √(30/3) = 3. Pertanto, il il fuoco sinistro dell'iperbole ha coordinate (3, 0).

L'equazione di una retta, ciascun punto della quale si trova ad una distanza dal punto A(2, 1) tre volte maggiore che dalla retta x = -5, ha la forma y = 7.

La curva definita dall'equazione nel sistema di coordinate polari ρ = ​​1/(2 - sinφ) ha la forma di un cardioide.

La curva definita dalle equazioni parametriche x = 4cos^3(t), y = 5sin^3(t) per 0 ≤ t ≤ 2π è un'ellisse.

Le soluzioni sono preparate in Microsoft Word 2003 utilizzando l'editor di formule, che rende l'utilizzo del prodotto comodo e attraente per studenti e insegnanti che studiano analisi matematica.

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IDZ 4.1 – Opzione 12. Soluzioni Ryabushko A.P.

a) Equazione canonica dell'ellisse: ((x - A_x)^2) / (a^2) + ((y - A_y)^2) / (b^2) = 1

dove A(x,y) sono le coordinate del centro dell'ellisse, aeb sono le lunghezze rispettivamente del semiasse maggiore e minore.

Per una data ellisse: A(-1, 2), a = sqrt(13), b = sqrt(10), F1(0,2), F2(-2,2)

Le coordinate focali sono definite come F1(x,y) = (A_x + c, A_y), F2(x,y) = (A_x - c, A_y), dove c = sqrt(a^2 - b^2)

Per una data ellisse: c = sqrt(3), ε = c/a = sqrt(3/13)

b) L'equazione canonica di un'iperbole: ((x - A_x)^2) / (a^2) - ((y - A_y)^2) / (b^2) = 1

dove A(x,y) sono le coordinate del centro dell'iperbole, a e b sono rispettivamente le lunghezze dei semiassi maggiore e minore.

Per una data iperbole: A(3,0), a = sqrt(17), b = sqrt(8), F1(4,0), F2(2,0)

Le coordinate focali sono definite come F1(x,y) = (A_x + c, A_y), F2(x,y) = (A_x - c, A_y), dove c = sqrt(a^2 + b^2)

Per una data iperbole: c = sqrt(25) = 5, ε = c/a = sqrt(25/17)

y = ±(b/a)x - A_y - (b^2/a^2)(A_x - F_x)

Per una data iperbole: y = ±(2.8284)x - 0 - (8/17)(3 - 4)

c) Equazione canonica di una parabola: y = a(x - A_x)^2 + A_y

dove A(x,y) è il vertice della parabola, a è il parametro della parabola.

Per questa parabola: A(-5.0), asse di simmetria Ox, a = 1/3

1. L'equazione di una circonferenza con centro nel punto A(x,y) e passante per i punti B(x_1,y_1) e C(x_2,y_2) ha la forma:

(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2

dove R è il raggio del cerchio, x_0 = A_x, y_0 = A_y.

Per questo problema: A(-4, 6), B(-2, 8), C(-6, 4)

Troviamo il raggio del cerchio: R = sqrt((x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2) = sqrt(20)

Equazione del cerchio: (x + 4)^2 + (y - 6)^2 = 20

1. L'equazione di una retta passante per il punto A(x_0, y_0) e posta a distanza d dalla retta x = k ha la forma:

|y_0 - k| = d

Per questo problema: A(2, 1), k = -5, d = 3 * |k - x_0| = 21

Equazione della linea: |y - (-5)| = 21

1. Il grafico di una curva definita in coordinate polari dall'equazione ρ = f(φ) è costruito come segue:

• sull'intervallo φ_1 ≤ φ ≤ φ_2 si costruisce la funzione f(φ) e si trovano i punti (ρ,φ) corrispondenti a tali valori;
• questi punti definiscono la curva in coordinate polari.

Per questo problema: ρ = 1/(2 - sinφ)

1. Il grafico di una curva definita parametricamente dalle equazioni x = f(t), y = g(t) è costruito come segue:

• sull'intervallo t_1 ≤ t ≤ t_2 si trovano i valori delle funzioni f(t) e g(t) per ciascun valore del parametro t;
• questi valori corrispondono alle coordinate dei punti (x,y) sul grafico della curva.

Per questo problema: x = 4cos(3t), y = 5sin(3t), dove 0 ≤ t ≤ 2π.

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