IDZ 4.1 – Επιλογή 12. Λύσεις Ryabushko A.P.

1. Σχεδίαση κανονικών εξισώσεων για διάφορες καμπύλες στο επίπεδο συντεταγμένων: α) για έλλειψη: ((x - A)^2)/a^2 + ((y - B)^2)/b^2 = 1, όπου Α και B - οι συντεταγμένες του κέντρου της έλλειψης, a και b είναι τα μήκη του κύριου και του δευτερεύοντος ημιάξονα, αντίστοιχα. β) για μια υπερβολή: ((x - A)^2)/a^2 - ((y - B)^2)/b^2 = 1, όπου Α και Β είναι οι συντεταγμένες του κέντρου της υπερβολής, α και β είναι τα μήκη του μεγάλου και του ημιμικρού άξονα, αντίστοιχα. γ) για μια παραβολή: y^2 = 2px, όπου p είναι η απόσταση μεταξύ της κορυφής της παραβολής και της εστίασής της.

Για ορισμένες τιμές των παραμέτρων του προβλήματος, λαμβάνουμε τις ακόλουθες εξισώσεις: α) έλλειψη: ((x + 5)^2)/13 + ((y - 15)^2)/4 = 1, όπου F(- 5, 15), a = √13, b = 2, ε = 5√29/29. β) υπερβολές: ((x - 5)^2)/25 - ((y + 12)/13)^2 = 1, όπου F(5, -12), a = 5, b = 13, ε = √ (a^2 + b^2)/a = 2. γ) παραβολές: y^2 = 8(x + 5).

1. Η εξίσωση ενός κύκλου με κέντρο στο σημείο Α και που διέρχεται από δεδομένα σημεία θα έχει τη μορφή: (x - A_x)^2 + (y - A_y)^2 = r^2, όπου A(x_A, y_A) είναι τα συντεταγμένες του κέντρου του κύκλου και r - ακτίνα του κύκλου. Η τιμή του r μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας την απόσταση μεταξύ του κέντρου του κύκλου και ενός από τα δεδομένα σημεία.

2. Η εξίσωση μιας ευθείας που ικανοποιεί δεδομένες συνθήκες μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο για την απόσταση μεταξύ ενός σημείου και μιας ευθείας. Για αυτό το πρόβλημα, η εξίσωση της ευθείας θα είναι x = -5 και η απόσταση από το σημείο A(2, 1) σε αυτήν την ευθεία θα είναι ίση με 3 φορές την απόσταση από το σημείο Α έως το σημείο τομής μιας ευθείας παράλληλης x = -5 και περνώντας από το σημείο Α Έχοντας λύσει αυτή την εξίσωση, παίρνουμε την εξίσωση της επιθυμητής ευθείας.

3. Για να κατασκευάσετε μια καμπύλη που ορίζεται από μια εξίσωση σε ένα πολικό σύστημα συντεταγμένων, μπορείτε να την σχεδιάσετε χρησιμοποιώντας τις τιμές των ρ και φ, που ορίζουν το διάνυσμα ακτίνας ενός σημείου στην καμπύλη και τη γωνία μεταξύ της αρχικής ακτίνας και του διανύσματος ακτίνας , αντίστοιχα. Για αυτό το πρόβλημα, η καμπύλη θα έχει τη μορφή καρδιοειδούς.

4. Για να κατασκευάσετε μια καμπύλη που δίνεται από παραμετρικές εξισώσεις, μπορείτε να την σχεδιάσετε χρησιμοποιώντας τις τιμές των x και y που υπολογίζονται για διάφορες τιμές της παραμέτρου t στο διάστημα [0, 2π]. Για αυτό το πρόβλημα, η καμπύλη θα μοιάζει με έλλειψη.

Αυτό το προϊόν είναι ένα ψηφιακό προϊόν, το οποίο αντιπροσωπεύει λύσεις σε προβλήματα μαθηματικής ανάλυσης για το IDZ 4.1, έκδοση 12, κατασκευασμένο από τον A.P. Ryabushko. Περιέχει λεπτομερείς και κατανοητές λύσεις σε προβλήματα χρησιμοποιώντας διάφορες μεθόδους και τύπους. Αυτό το ψηφιακό προϊόν είναι ιδανικό για μαθητές και καθηγητές που μελετούν λογισμό και θέλουν να βελτιώσουν τις γνώσεις και τις δεξιότητές τους. Ο όμορφος σχεδιασμός σε μορφή html κάνει τη χρήση αυτού του προϊόντος ακόμα πιο βολική και ελκυστική. Μπορείτε εύκολα να κατεβάσετε αυτό το ψηφιακό προϊόν και να αρχίσετε να το χρησιμοποιείτε αμέσως!

IDZ 4.1 – Επιλογή 12. Λύσεις Ryabushko A.P. είναι ένα ψηφιακό προϊόν που περιέχει λεπτομερείς λύσεις σε προβλήματα μαθηματικής ανάλυσης για IDZ 4.1, έκδοση 12. Περιέχει κανονικές εξισώσεις για την έλλειψη, την υπερβολή και την παραβολή, καθώς και εξισώσεις κύκλου και γραμμής, γραφήματα καμπυλών σε πολικά και παραμετρικά συστήματα συντεταγμένων .

Για μια έλλειψη με κέντρο στο σημείο F(-5, 15), ημικύριος άξονας a = √13 και ημιμικρός άξονας b = 2, η κανονική εξίσωση έχει τη μορφή ((x + 5)^2)/13 + ( (y - 15)^2 )/4 = 1, και εκκεντρότητα ε = 5√29/29.

Για μια υπερβολή με κέντρο στο σημείο F(5, -12), ημι-κύριο άξονα a = 5 και ημι-μικρό άξονα b = 13, η κανονική εξίσωση έχει τη μορφή ((x - 5)^2)/25 - ( (y + 12)/13) ^2 = 1, και οι εξισώσεις των ασυμπτωτών της υπερβολής y = ±kx έχουν τη μορφή y = ±12/13x. Η κατευθυντήρια γραμμή της καμπύλης έχει την εξίσωση x = 5 - (25/12) = -5/12, και την εστιακή απόσταση 2c = √(a^2 + b^2) = √(5^2 + 13^2) ≈ 14.04.

Για παραβολή με άξονα συμμετρίας Ox και κορυφή στο σημείο A(-5, 15), η εξίσωση έχει τη μορφή y^2 = 8(x + 5).

Η εξίσωση ενός κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α και Β και έχει κέντρο στο σημείο C (x_C, y_C) μπορεί να γραφεί ως (x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 = r^2, όπου r είναι την ακτίνα του κύκλου. Η τιμή του r μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας την απόσταση μεταξύ του κέντρου του κύκλου και ενός από τα δεδομένα σημεία.

Η αριστερή εστία της υπερβολής είναι 3x^2 - 5y^2 = 30 με συντεταγμένες (c, 0), όπου c = √(a^2 + b^2) = √(30/3) = 3. Έτσι, το Η αριστερή εστία της υπερβολής έχει συντεταγμένες (3, 0).

Η εξίσωση μιας ευθείας, κάθε σημείο της οποίας βρίσκεται σε απόσταση τρεις φορές μεγαλύτερη από το σημείο Α(2, 1) από την ευθεία x = -5, έχει τη μορφή y = 7.

Η καμπύλη που ορίζεται από την εξίσωση στο πολικό σύστημα συντεταγμένων ρ = 1/(2 - sinφ) έχει τη μορφή καρδιοειδούς.

Η καμπύλη που ορίζεται από τις παραμετρικές εξισώσεις x = 4cos^3(t), y = 5sin^3(t) για 0 ​​≤ t ≤ 2π είναι έλλειψη.

Οι λύσεις έχουν σχεδιαστεί στο Microsoft Word 2003 χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα επεξεργασίας τύπων, που καθιστά τη χρήση του προϊόντος βολική και ελκυστική για μαθητές και καθηγητές που μελετούν μαθηματική ανάλυση.

***

IDZ 4.1 – Επιλογή 12. Λύσεις Ryabushko A.P.

α) Κανονική εξίσωση της έλλειψης: ((x - A_x)^2) / (a^2) + ((y - A_y)^2) / (b^2) = 1

όπου A(x,y) είναι οι συντεταγμένες του κέντρου της έλλειψης, a και b είναι τα μήκη του κύριου και του δευτερεύοντος ημιάξονα, αντίστοιχα.

Για μια δεδομένη έλλειψη: A(-1, 2), a = sqrt(13), b = sqrt(10), F1(0,2), F2(-2,2)

Οι εστιακές συντεταγμένες ορίζονται ως F1(x,y) = (A_x + c, A_y), F2(x,y) = (A_x - c, A_y), όπου c = sqrt(a^2 - b^2)

Για μια δεδομένη έλλειψη: c = sqrt(3), ε = c/a = sqrt(3/13)

β) Η κανονική εξίσωση μιας υπερβολής: ((x - A_x)^2) / (a^2) - ((y - A_y)^2) / (b^2) = 1

όπου A(x,y) είναι οι συντεταγμένες του κέντρου της υπερβολής, a και b είναι τα μήκη του κύριου και του δευτερεύοντος ημιάξονα, αντίστοιχα.

Για μια δεδομένη υπερβολή: A(3,0), a = sqrt(17), b = sqrt(8), F1(4,0), F2(2,0)

Οι εστιακές συντεταγμένες ορίζονται ως F1(x,y) = (A_x + c, A_y), F2(x,y) = (A_x - c, A_y), όπου c = sqrt(a^2 + b^2)

Για μια δεδομένη υπερβολή: c = sqrt(25) = 5, ε = c/a = sqrt(25/17)

y = ±(b/a)x - A_y - (b^2/a^2)(A_x - F_x)

Για μια δεδομένη υπερβολή: y = ±(2,8284)x - 0 - (8/17)(3 - 4)

γ) Κανονική εξίσωση παραβολής: y = a(x - A_x)^2 + A_y

όπου A(x,y) είναι η κορυφή της παραβολής, a είναι η παράμετρος της παραβολής.

Για αυτήν την παραβολή: A(-5.0), άξονας συμμετρίας Ox, a = 1/3

1. Η εξίσωση ενός κύκλου με κέντρο στο σημείο A(x,y) και που διέρχεται από τα σημεία B(x_1,y_1) και C(x_2,y_2) έχει τη μορφή:

(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2

όπου R είναι η ακτίνα του κύκλου, x_0 = A_x, y_0 = A_y.

Για αυτό το πρόβλημα: A(-4, 6), B(-2, 8), C(-6, 4)

Ας βρούμε την ακτίνα του κύκλου: R = sqrt((x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2) = sqrt(20)

Εξίσωση κύκλου: (x + 4)^2 + (y - 6)^2 = 20

1. Η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο A(x_0, y_0) και βρίσκεται σε απόσταση d από την ευθεία x = k έχει τη μορφή:

|y_0 - k| = d

Για αυτό το πρόβλημα: A(2, 1), k = -5, d = 3 * |k - x_0| = 21

Εξίσωση γραμμής: |y - (-5)| = 21

1. Η γραφική παράσταση μιας καμπύλης που ορίζεται σε πολικές συντεταγμένες από την εξίσωση ρ = f(φ) κατασκευάζεται ως εξής:

• στο διάστημα φ_1 ≤ φ ≤ φ_2 κατασκευάζεται η συνάρτηση f(φ) και βρίσκονται τα σημεία (ρ,φ) που αντιστοιχούν σε αυτές τις τιμές.
• Αυτά τα σημεία ορίζουν την καμπύλη σε πολικές συντεταγμένες.

Για αυτό το πρόβλημα: ρ = 1/(2 - sinφ)

1. Η γραφική παράσταση μιας καμπύλης που ορίζεται παραμετρικά από τις εξισώσεις x = f(t), y = g(t) κατασκευάζεται ως εξής:

• στο διάστημα t_1 ≤ t ≤ t_2 οι τιμές των συναρτήσεων f(t) και g(t) βρίσκονται για κάθε τιμή της παραμέτρου t.
• αυτές οι τιμές αντιστοιχούν στις συντεταγμένες των σημείων (x,y) στο γράφημα της καμπύλης.

Για αυτό το πρόβλημα: x = 4cos(3t), y = 5sin(3t), όπου 0 ≤ t ≤ 2π.

***

1. Λύσεις του IDZ 4.1 στα μαθηματικά από το Ryabushko A.P. είναι ένα εξαιρετικό ψηφιακό προϊόν για μαθητές.
2. Χάρη στο IDZ 4.1 – Option 12 από την Ryabushko A.P. Μπόρεσα να προετοιμαστώ γρήγορα και αποτελεσματικά για τις εξετάσεις μαθηματικών.
3. Οι λύσεις IDS 4.1 είναι σε υψηλό επίπεδο, με βοήθησαν να βελτιώσω τις γνώσεις και τις δεξιότητές μου στα μαθηματικά.
4. Ψηφιακό προϊόν IDZ 4.1 – Επιλογή 12 από την Ryabushko A.P. παρουσιάζεται σε μια βολική μορφή που σας επιτρέπει να πλοηγηθείτε γρήγορα και εύκολα στο υλικό.
5. Λύσεις IDZ 4.1 από την Ryabushko A.P. είναι ένας απαραίτητος βοηθός για μαθητές που θέλουν να βελτιώσουν τις γνώσεις τους στα μαθηματικά.
6. IDZ 4.1 – Επιλογή 12 από την Ryabushko A.P. είναι ένα εξαιρετικό ψηφιακό προϊόν που εξοικονομεί χρόνο κατά την προετοιμασία για τις εξετάσεις.
7. Ευχαριστώ πολύ τον Ryabushko A.P. για υψηλής ποιότητας και κατανοητές λύσεις στο IDZ 4.1 στα μαθηματικά, που με βοήθησαν να περάσω με επιτυχία τις εξετάσεις.

Ιδιαιτερότητες:

Πολύ χρήσιμο ψηφιακό