IDZ 4.1 – Option 12. Lösungen Ryabushko A.P.

1. Aufstellen kanonischer Gleichungen für verschiedene Kurven in der Koordinatenebene: a) für eine Ellipse: ((x - A)^2)/a^2 + ((y - B)^2)/b^2 = 1, wobei A und B – Koordinaten des Mittelpunkts der Ellipse, a und b sind die Längen der großen bzw. kleinen Halbachse. b) für eine Hyperbel: ((x - A)^2)/a^2 - ((y - B)^2)/b^2 = 1, wobei A und B die Koordinaten des Mittelpunkts der Hyperbel sind, a und b sind die Längen der großen bzw. kleinen Halbachse. c) für eine Parabel: y^2 = 2px, wobei p der Abstand zwischen dem Scheitelpunkt der Parabel und ihrem Brennpunkt ist.

Für bestimmte Werte der Problemparameter erhalten wir die folgenden Gleichungen: a) Ellipse: ((x + 5)^2)/13 + ((y - 15)^2)/4 = 1, wobei F(- 5, 15), a = √13, b = 2, ε = 5√29/29. b) Hyperbeln: ((x - 5)^2)/25 - ((y + 12)/13)^2 = 1, wobei F(5, -12), a = 5, b = 13, ε = √ (a^2 + b^2)/a = 2. c) Parabeln: y^2 = 8(x + 5).

1. Die Gleichung eines Kreises mit einem Mittelpunkt im Punkt A, der durch bestimmte Punkte verläuft, hat die Form: (x - A_x)^2 + (y - A_y)^2 = r^2, wobei A(x_A, y_A) die sind Koordinaten des Kreismittelpunkts und r - Radius des Kreises. Der Wert von r kann anhand des Abstands zwischen dem Mittelpunkt des Kreises und einem der angegebenen Punkte ermittelt werden.

2. Die Gleichung einer Geraden, die gegebene Bedingungen erfüllt, kann mithilfe der Formel für den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden ermittelt werden. Für dieses Problem lautet die Geradengleichung x = -5, und der Abstand vom Punkt A(2, 1) zu dieser Geraden ist gleich dem Dreifachen des Abstands vom Punkt A zum Schnittpunkt einer Parallelen zu x = -5 und durch Punkt A gehend. Nachdem wir diese Gleichung gelöst haben, erhalten wir die Gleichung der gewünschten Geraden.

3. Um eine durch eine Gleichung definierte Kurve in einem Polarkoordinatensystem darzustellen, können Sie sie mit den Werten ρ und φ zeichnen, die den Radiusvektor eines Punktes auf der Kurve und den Winkel zwischen dem Anfangsstrahl und dem Radiusvektor definieren , jeweils. Für dieses Problem hat die Kurve die Form einer Niere.

4. Um eine durch parametrische Gleichungen gegebene Kurve zu konstruieren, können Sie sie unter Verwendung der Werte von x und y zeichnen, die für verschiedene Werte des Parameters t im Intervall [0, 2π] berechnet wurden. Bei diesem Problem sieht die Kurve wie eine Ellipse aus.

Bei diesem Produkt handelt es sich um ein digitales Produkt, das Lösungen für Probleme in der mathematischen Analyse für IDZ 4.1, Version 12, hergestellt von A.P. Ryabushko, darstellt. Es enthält detaillierte und verständliche Problemlösungen mit verschiedenen Methoden und Formeln. Dieses digitale Produkt ist ideal für Schüler und Lehrer, die sich mit Analysis befassen und ihre Kenntnisse und Fähigkeiten verbessern möchten. Das schöne Design im HTML-Format macht die Verwendung dieses Produkts noch komfortabler und attraktiver. Sie können dieses digitale Produkt ganz einfach herunterladen und sofort verwenden!

IDZ 4.1 – Option 12. Lösungen Ryabushko A.P. ist ein digitales Produkt mit detaillierten Lösungen für Probleme der mathematischen Analyse für IDZ 4.1, Version 12. Es enthält kanonische Gleichungen für Ellipse, Hyperbel und Parabel sowie Kreis- und Geradengleichungen, Kurvendiagramme in polaren und parametrischen Koordinatensystemen .

Für eine Ellipse mit Mittelpunkt im Punkt F(-5, 15), großer Halbachse a = √13 und kleiner Halbachse b = 2 hat die kanonische Gleichung die Form ((x + 5)^2)/13 + ( (y - 15)^2 )/4 = 1 und Exzentrizität ε = 5√29/29.

Für eine Hyperbel mit Mittelpunkt im Punkt F(5, -12), großer Halbachse a = 5 und kleiner Halbachse b = 13 hat die kanonische Gleichung die Form ((x - 5)^2)/25 - ( (y + 12)/13) ^2 = 1, und die Gleichungen der Asymptoten der Hyperbel y = ±kx haben die Form y = ±12/13x. Die Gerade der Kurve hat die Gleichung x = 5 - (25/12) = -5/12 und die Brennweite 2c = √(a^2 + b^2) = √(5^2 + 13^2) ≈ 14.04.

Für eine Parabel mit einer Symmetrieachse Ox und einem Scheitelpunkt im Punkt A(-5, 15) hat die Gleichung die Form y^2 = 8(x + 5).

Die Gleichung eines Kreises, der durch die Punkte A und B verläuft und einen Mittelpunkt im Punkt C (x_C, y_C) hat, kann als (x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 = r^2 geschrieben werden, wobei r ist der Radius des Kreises. Der Wert von r kann anhand des Abstands zwischen dem Mittelpunkt des Kreises und einem der angegebenen Punkte ermittelt werden.

Der linke Fokus der Hyperbel ist 3x^2 - 5y^2 = 30 mit den Koordinaten (c, 0), wobei c = √(a^2 + b^2) = √(30/3) = 3. Somit ist der Der linke Fokus der Hyperbel hat die Koordinaten (3, 0).

Die Gleichung einer Geraden, deren jeder Punkt vom Punkt A(2, 1) dreimal so weit entfernt ist wie von der Geraden x = -5, hat die Form y = 7.

Die durch die Gleichung im Polarkoordinatensystem ρ = 1/(2 - sinφ) definierte Kurve hat die Form einer Niere.

Die durch die parametrischen Gleichungen x = 4cos^3(t), y = 5sin^3(t) für 0 ≤ t ≤ 2π definierte Kurve ist eine Ellipse.

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IDZ 4.1 – Option 12. Lösungen Ryabushko A.P.

a) Kanonische Gleichung der Ellipse: ((x - A_x)^2) / (a^2) + ((y - A_y)^2) / (b^2) = 1

Dabei sind A(x,y) die Koordinaten des Mittelpunkts der Ellipse, a und b die Längen der großen bzw. kleinen Halbachse.

Für eine gegebene Ellipse: A(-1, 2), a = sqrt(13), b = sqrt(10), F1(0,2), F2(-2,2)

Die Fokuskoordinaten sind definiert als F1(x,y) = (A_x + c, A_y), F2(x,y) = (A_x - c, A_y), wobei c = sqrt(a^2 - b^2)

Für eine gegebene Ellipse: c = sqrt(3), ε = c/a = sqrt(3/13)

b) Die kanonische Gleichung einer Hyperbel: ((x - A_x)^2) / (a^2) - ((y - A_y)^2) / (b^2) = 1

Dabei sind A(x,y) die Koordinaten des Mittelpunkts der Hyperbel, a und b die Längen der großen bzw. kleinen Halbachse.

Für eine gegebene Hyperbel: A(3,0), a = sqrt(17), b = sqrt(8), F1(4,0), F2(2,0)

Die Fokuskoordinaten sind definiert als F1(x,y) = (A_x + c, A_y), F2(x,y) = (A_x - c, A_y), wobei c = sqrt(a^2 + b^2)

Für eine gegebene Hyperbel: c = sqrt(25) = 5, ε = c/a = sqrt(25/17)

y = ±(b/a)x - A_y - (b^2/a^2)(A_x - F_x)

Für eine gegebene Hyperbel: y = ±(2,8284)x - 0 - (8/17)(3 - 4)

c) Kanonische Gleichung einer Parabel: y = a(x - A_x)^2 + A_y

Dabei ist A(x,y) der Scheitelpunkt der Parabel und a der Parameter der Parabel.

Für diese Parabel: A(-5,0), Symmetrieachse Ox, a = 1/3

1. Die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt im Punkt A(x,y), der durch die Punkte B(x_1,y_1) und C(x_2,y_2) verläuft, hat die Form:

(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2

wobei R der Radius des Kreises ist, x_0 = A_x, y_0 = A_y.

Für dieses Problem: A(-4, 6), B(-2, 8), C(-6, 4)

Ermitteln wir den Radius des Kreises: R = sqrt((x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2) = sqrt(20)

Kreisgleichung: (x + 4)^2 + (y - 6)^2 = 20

1. Die Gleichung einer Geraden, die durch den Punkt A(x_0, y_0) verläuft und sich im Abstand d von der Geraden x = k befindet, hat die Form:

|y_0 - k| = d

Für dieses Problem: A(2, 1), k = -5, d = 3 * |k - x_0| = 21

Liniengleichung: |y - (-5)| = 21

1. Der Graph einer in Polarkoordinaten durch die Gleichung ρ = f(φ) definierten Kurve ist wie folgt aufgebaut:

• auf dem Intervall φ_1 ≤ φ ≤ φ_2 wird die Funktion f(φ) konstruiert und die diesen Werten entsprechenden Punkte (ρ,φ) gefunden;
• Diese Punkte definieren die Kurve in Polarkoordinaten.

Für dieses Problem: ρ = 1/(2 - sinφ)

1. Der Graph einer parametrisch durch die Gleichungen x = f(t), y = g(t) definierten Kurve ist wie folgt aufgebaut:

• im Intervall t_1 ≤ t ≤ t_2 werden für jeden Wert des Parameters t die Werte der Funktionen f(t) und g(t) gefunden;
• Diese Werte entsprechen den Koordinaten der Punkte (x,y) im Kurvendiagramm.

Für dieses Problem: x = 4cos(3t), y = 5sin(3t), wobei 0 ≤ t ≤ 2π.

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