IDZ 11.2 – 选项 16。解决方案 Ryabushko A.P.

1. 让我们使用待定系数法求微分方程 1.16 y´´= x/e2x 的特解。假设解的形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是未知系数。那么 y´ = 2ax + b 且 y´´ = 2a。将这些表达式代入原方程，得到： 2a = x/e2x a = x/(2e2x) y´ = 2ax + b = x/e2x b = x/e2x - 2ax = x/e2x - x^2/e2x = x (1-x)/(2e2x) 因此，部分解的形式为： y = (x^2/(2e2x)) + (x(1-x)/(2e2x)) + c y = (x^2 + x - x^2e2x + 2ce2x)/(2e2x) 要查找函数 y=φ(x) 在 x=x0 = −1/2 处的值，请将 x0 代入结果表达式并准确查找函数值保留两位小数： y = ((-1/2)^2 + (-1/2) - (-1/2)^2e^(2*(-1/2)) + 2ce^(2*( -1/2))) /(2e^(2*(-1/2))) ≈ -0.22 + c 现在您需要使用初始条件 y(0) = 1/ 找到常数 c 的值4 且 y´(0) = −1/4： y(0) = (0^2 + 0 - 0^2e^(20) + 2ce^(20))/(2e^(2*0)) = c/2 = 1/4 c = 1/2 因此，微分方程 1.16（x0 = −1/2）的特定解具有以下形式： y = (x ^2 + x - x^2e2x + e)/2e2x 且 y(x0) ≈ -0.22 + 0.5 ≈ 0.28。

2. 让我们找到微分方程的通解，允许降阶 2.16 y´´+ 2xy´2 = 0。让我们表示 y´ = p(x) 并注意 y´´ = p´ + xp^ 2.将这些表达式代入原方程可得： p´ + xp^2 + 2xp^2 = 0 (p^2 + 1)p´ + 2xp^2 = 0 两边除以 (p^2 + 1) 并积分： ∫(p^2+1)^(-1) dp = - ∫(2x/(p^2+1)) dx arctan(p) = -ln|p^2+1| + C 其中 C 是任意积分常数。因此，微分方程的通解具有以下形式： arctan(p) = -ln|p^2+1| + C 其中 p = y´ 并且 C 是任意常数。

3. 让我们求解微分方程的柯西问题，该微分方程允许降阶 3.16 y´´+ 2/(1−y)y´2= 0，初始条件 y(0) = 0, y´(0) = 1. 代入 y´ = p(y) 并注意 y´´ = p´p。将这些表达式代入原方程，得到： p´p + 2p^2/(1-y) = 0 p´p(1-y) + 2p^2 = 0 两边除以 p^3(1-y) ）并积分： ∫(p´p/(p^3(1-y))) dy = -∫(2/(p^2)) dp -1/(2p^2) + ln|p| -ln|1-y| = C 其中 C 是任意积分常数。让我们代入初始条件 y(0) = 0, y´(0) = 1 并找到常数 C 的值：-1/(2*1^2) + ln|1| -ln|1-0| = C C = -1/2 因此，柯西问题的解具有以下形式： -1/(2p^2) + ln|p| -ln|1-y| = -1/2 其中 p = y´ 且 y(0) = 0, y´(0) = 1。

4. 让我们对下面的方程 4.16 (xdx+ydy)/√(x^2+y^2)+(xdy-ydx)/x^2=0 进行积分。为此，请注意，左侧等于 (y/√(x^2+y^2)) 对 x 的全导数，右侧等于 (y/x) 的导数关于x。因此，原方程可以重写为： d/dx (y/√(x^2+y^2)) = d/dx (y/x) 我们对 x0 到 x 两边进行积分： ∫(x0)^ ( x) d/dt (y/√(t^2+y^2)) dt = ∫(x0)^(x) d/dt (y/t) dt [y/√(x^2+y^) 2 )] - [y/√(x0^2+y^2)] = ln|x| -ln|x0| y/√(x^2+y^2) = ln|x| -ln|x0| + y/√(x0^2+y^2) y/√(x^2+y^2) - y/√(x0^2+y^2) = ln|x| -ln|x0| y(√(x0^2+y^2) - √(​​x^2+y^2)) = (√(x0^2+y^2))ln|x| - (√(x^2+y^2))ln|x0|因此，积分曲线的形式为： y = ((√(x^2+y^2))ln|x0| - (√(x0^2+y^2))ln|x|)/(√( x0 ^2+y^2) - √(​​x^2+y^2))

5. 让我们写出穿过点 A(−4, 1) 的曲线方程，该方程具有以下性质：从原点到曲线切线所画垂线的长度等于切点的横坐标。让我们应用从点 (x0, y0) 到直线 Ax + By + C = 0 的垂线长度公式： d = |Ax0 + By0 + C|/sqrt(A^2 + B^2)对于我们的问题，垂直线应该从原点降低，因此我们可以将点 (x0, y0) 处的切线方程写为 y - y0 = k(x - x0)，其中 k 是切线的斜率。由于垂线必须等于切点的横坐标，因此其长度等于 |x0

IDZ 11.2 – 选项 16。解决方案 Ryabushko A.P.是一款专为在大学和其他教育机构学习数学的学生设计的数字产品。该产品包含 IDZ 11.2 数学分析问题的解决方案，由作者 Ryabushko A.P. 编译。该产品以 HTML 格式的电子文件形式呈现，设计精美，任务导航方便。

在该文件中，您可以找到数学分析各个主题问题的解决方案，例如微分方程、积分、级数、多变量函数等。每个解决方案都提供了详细的分步解释，使该产品对于想要提高数学技能的学生很有用。

该数字产品可以从数字产品商店购买并用于教育目的，作为自我准备考试和测试的附加材料。它与纸质教科书的不同之处在于，它可以轻松快速地查找和下载，并在计算机、平板电脑和智能手机等各种设备上使用。此外，它不占用货架空间，随时随地都可以使用。

IDZ 11.2 – 选项 16。解决方案 Ryabushko A.P.是一组微分方程的解，供在大学和其他教育机构学习数学的学生使用。该集合包含三个问题的解：找到允许降阶的微分方程的特定解；找到允许降阶的微分方程的通解；允许降阶的微分方程柯西问题的解。该集合还包含构建穿过给定点并具有特定属性的曲线问题的解决方案。解决方案以数学公式和计算的形式呈现，并附有详细的解释和评论。该套装是数字产品，可以电子格式下载。

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IDZ 11.2 – 选项 16。解决方案 Ryabushko A.P.是数学分析和微分方程问题的一组解，由作者 Ryabushko A.P. 执行。产品描述指出了以下问题的解决方案的可用性：

1. 找到二阶微分方程的特定解，并计算给定参数值的结果函数值，精确到小数点后两位。
2. 寻找二阶微分方程的通解，并有可能降低阶数。
3. 具有降阶可能性的二阶微分方程柯西问题的解。
4. 一阶微分方程的积分。
5. 写出经过给定点并具有某些性质的曲线方程。

该解决方案是在 Microsoft Word 2003 中使用公式编辑器制作的。所有解决方案都进行了详细描述并提供了分步说明。

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