IDZ 11.2 – Вариант 16. Решения Ryabushko A.P.

Нека намерим конкретно решение на диференциалното уравнение 1.16 y´´= x/e2x, използвайки метода на неопределените коефициенти. Да приемем, че решението има формата y = ax^2 + bx + c, където a, b и c са неизвестни коефициенти. Тогава y´ = 2ax + b и y´´ = 2a. Заместете тези изрази в оригиналното уравнение и получете: 2a = x/e2x a = x/(2e2x) y´ = 2ax + b = x/e2x b = x/e2x - 2ax = x/e2x - x^2/e2x = x (1-x)/(2e2x) Така частичното решение има формата: y = (x^2/(2e2x)) + (x(1-x)/(2e2x)) + c y = (x^2 + x - x^2e2x + 2ce2x)/(2e2x) За да намерите стойността на функцията y=φ(x) при x=x0 = −1/2, заместете x0 в получения израз и намерете точната стойност на функцията до два знака след десетичната запетая: y = ((-1/2)^2 + (-1/2) - (-1/2)^2e^(2*(-1/2)) + 2ce^(2*( -1/2))) /(2e^(2*(-1/2))) ≈ -0.22 + c Сега трябва да намерите стойността на константата c, като използвате началните условия y(0) = 1/ 4 и y´(0) = −1/4: y(0) = (0^2 + 0 - 0^2e^(20) + 2ce^(20))/(2e^(2*0)) = c/2 = 1/4 c = 1/2 По този начин конкретно решение на диференциално уравнение 1.16 с x0 = −1/2 има формата: y = (x ^2 + x - x^2e2x + e)/2e2x и y(x0) ≈ -0,22 + 0,5 ≈ 0,28.
Нека намерим общо решение на диференциалното уравнение, което позволява редукция в ред 2.16 y´´+ 2xy´2 = 0. Нека означим y´ = p(x) и отбележим, че y´´ = p´ + xp^ 2. Заместете тези изрази в оригиналното уравнение и получете: p´ + xp^2 + 2xp^2 = 0 (p^2 + 1)p´ + 2xp^2 = 0 Разделете двете страни на (p^2 + 1) и интегрирайте : ∫(p^2+1)^(-1) dp = - ∫(2x/(p^2+1)) dx arctan(p) = -ln|p^2+1| + C, където C е произволна интеграционна константа. Така общото решение на диференциалното уравнение има формата: arctan(p) = -ln|p^2+1| + C, където p = y´ и C е произволна константа.
Нека решим проблема на Коши за диференциално уравнение, което допуска редукция от порядък 3.16 y´´+ 2/(1−y)y´2= 0, с начални условия y(0) = 0, y´(0) = 1. Заместете y´ = p(y) и отбележете, че y´´ = p´p. Заместете тези изрази в оригиналното уравнение и получете: p´p + 2p^2/(1-y) = 0 p´p(1-y) + 2p^2 = 0 Разделете двете страни на p^3(1-y ) и интегрирайте: ∫(p´p/(p^3(1-y))) dy = -∫(2/(p^2)) dp -1/(2p^2) + ln|p| -ln|1-y| = C, където C е произволна интеграционна константа. Нека заместим началните условия y(0) = 0, y´(0) = 1 и да намерим стойността на константата C: -1/(2*1^2) + ln|1| - В|1-0| = C C = -1/2 Така решението на задачата на Коши има формата: -1/(2p^2) + ln|p| -ln|1-y| = -1/2, където p = y´ и y(0) = 0, y´(0) = 1.
Нека интегрираме следните уравнения 4.16 (xdx+ydy)/√(x^2+y^2)+(xdy-ydx)/x^2=0. За да направите това, имайте предвид, че лявата страна е равна на общата производна на (y/√(x^2+y^2)) по отношение на x, а дясната страна е равна на производната на (y/x) по отношение на х. Така оригиналното уравнение може да бъде пренаписано като: d/dx (y/√(x^2+y^2)) = d/dx (y/x) Интегрираме двете страни от x0 до x: ∫(x0)^ ( x) d/dt (y/√(t^2+y^2)) dt = ∫(x0)^(x) d/dt (y/t) dt [y/√(x^2+y^ 2 )] - [y/√(x0^2+y^2)] = ln|x| - ln|x0| y/√(x^2+y^2) = ln|x| - ln|x0| + y/√(x0^2+y^2) y/√(x^2+y^2) - y/√(x0^2+y^2) = ln|x| - ln|x0| y(√(x0^2+y^2) - √(x^2+y^2)) = (√(x0^2+y^2))ln|x| - (√(x^2+y^2))ln|x0| Така интегралната крива има формата: y = ((√(x^2+y^2))ln|x0| - (√(x0^2+y^2))ln|x|)/(√( x0 ^2+y^2) - √(x^2+y^2))
Нека напишем уравнението на крива, минаваща през точката A(−4, 1) и имаща следното свойство: дължината на перпендикуляра, прекаран от началото до допирателната към кривата, е равна на абсцисата на точката на допир . Нека приложим формулата за дължината на перпендикуляра от точката (x0, y0) към правата Ax + By + C = 0: d = |Ax0 + By0 + C|/sqrt(A^2 + B^2) За нашия проблем перпендикулярът трябва да бъде спуснат от началото, така че можем да запишем уравнението на допирателната в точката (x0, y0) като y - y0 = k(x - x0), където k е наклонът на допирателната. Тъй като перпендикулярът трябва да е равен на абсцисата на допирателната точка, неговата дължина е равна на |x0

IDZ 11.2 – Вариант 16. Решения Ryabushko A.P. е дигитален продукт, предназначен за студенти, изучаващи математика в университети и други образователни институции. Този продукт съдържа решения на задачи от IDZ 11.2 по математически анализ, съставени от автора Ryabushko A.P. Продуктът е представен под формата на електронен файл в HTML формат с красив дизайн и лесна навигация през задачите.

Във файла можете да намерите решения на задачи по различни теми от математическия анализ, като диференциални уравнения, интеграли, редове, функции на няколко променливи и други. Всяко решение е представено в подробно обяснение стъпка по стъпка, което прави този продукт полезен за ученици, които искат да подобрят своите математически умения.

Този дигитален продукт може да бъде закупен от магазин за дигитални продукти и използван за образователни цели, като допълнителен материал за самоподготовка за изпити и контролни. Различава се от хартиените учебници по това, че може лесно и бързо да бъде намерен и изтеглен и използван на различни устройства като компютри, таблети и смартфони. Освен това не заема място на рафта и е винаги на разположение за използване по всяко време и навсякъде.

IDZ 11.2 – Вариант 16. Решения Ryabushko A.P. е набор от решения на диференциални уравнения, предназначени за студенти, изучаващи математика в университети и други образователни институции. Комплектът съдържа решения на три задачи: намиране на конкретно решение на диференциално уравнение, което позволява редукция; намиране на общо решение на диференциално уравнение, което позволява редукция; решение на проблема на Коши за диференциално уравнение, което допуска редукция в ред. Комплектът съдържа и решение на задачата за построяване на крива, минаваща през дадена точка и притежаваща определено свойство. Решенията са представени под формата на математически формули и изчисления, придружени с подробни обяснения и коментари. Комплектът е дигитален продукт и може да бъде изтеглен в електронен формат.

***

IDZ 11.2 – Вариант 16. Решения Ryabushko A.P. е набор от решения на задачи по математически анализ и диференциални уравнения, изпълнени от автора Ryabushko A.P. Описанието на продукта показва наличието на решения за следните проблеми:

Намиране на конкретно решение на диференциално уравнение от втори ред и изчисляване на стойността на получената функция за дадена стойност на аргумент с точност до два знака след десетичната запетая.
Намиране на общо решение на диференциално уравнение от втори ред с възможност за намаляване на реда.
Решение на задачата на Коши за диференциално уравнение от втори ред с възможност за намаляване на реда.
Интегриране на диференциално уравнение от първи ред.
Написване на уравнение на крива, минаваща през дадена точка и притежаваща определени свойства.

Решенията са направени в Microsoft Word 2003 с помощта на редактора на формули. Всички решения са описани подробно и снабдени с обяснения стъпка по стъпка.

***

Чудесно решение за подготовка за изпит по математика!
Благодарение на IDZ 11.2 – опция 16 разбирам по-добре материала на курса.
Решения Ryabushko A.P. много подробно и разбираемо.
Успяхме да разрешим всички проблеми благодарение на този IDZ!
Много удобно е, че материалът е представен в електронен вид.
IDZ 11.2 – Опция 16 помага да спестите време, когато се подготвяте за изпита.
Отличен избор за тези, които искат да подобрят знанията си по математика.
Решения Ryabushko A.P. да ви помогне да разберете сложни теми.
Цената на цифровия IDZ е по-ниска от тази на хартиената версия.
Препоръчвам IDZ 11.2 – Вариант 16 на всички ученици, които се готвят за изпита по математика!