IDZ 11.2 – Alternativ 16. Løsninger Ryabushko A.P.

La oss finne en spesiell løsning på differensialligning 1.16 y´´= x/e2x ved å bruke metoden med ubestemte koeffisienter. La oss anta at løsningen har formen y = ax^2 + bx + c, hvor a, b og c er ukjente koeffisienter. Da er y´ = 2ax + b og y´´ = 2a. Sett inn disse uttrykkene i den opprinnelige ligningen og få: 2a = x/e2x a = x/(2e2x) y´ = 2ax + b = x/e2x b = x/e2x - 2ax = x/e2x - x^2/e2x = x (1-x)/(2e2x) Dermed har delløsningen formen: y = (x^2/(2e2x)) + (x(1-x)/(2e2x)) + c y = (x^2 + x - x^2e2x + 2ce2x)/(2e2x) For å finne verdien av funksjonen y=φ(x) ved x=x0 = −1/2, bytt inn x0 i det resulterende uttrykket og finn verdien av funksjonen nøyaktig til to desimaler: y = ((-1/2)^2 + (-1/2) - (-1/2)^2e^(2*(-1/2)) + 2ce^(2*( -1/2))) /(2e^(2*(-1/2))) ≈ -0,22 + c Nå må du finne verdien av konstanten c ved å bruke startbetingelsene y(0) = 1/ 4 og y´(0) = −1/4: y(0) = (0^2 + 0 - 0^2e^(20) + 2ce^(20))/(2e^(2*0)) = c/2 = 1/4 c = 1/2 En spesiell løsning på differensialligning 1.16 med x0 = −1/2 har altså formen: y = (x ^2 + x - x^2e2x + e)/2e2x og y(x0) ≈ -0,22 + 0,5 ≈ 0,28.
La oss finne en generell løsning på differensialligningen som tillater en reduksjon i rekkefølgen 2.16 y´´+ 2xy´2 = 0. La oss betegne y´ = p(x) og merke seg at y´´ = p´ + xp^ 2. Sett inn disse uttrykkene i den opprinnelige ligningen og få: p´ + xp^2 + 2xp^2 = 0 (p^2 + 1)p´ + 2xp^2 = 0 Del begge sider med (p^2 + 1) og integrer : ∫(p^2+1)^(-1) dp = - ∫(2x/(p^2+1)) dx arctan(p) = -ln|p^2+1| + C hvor C er en vilkårlig integrasjonskonstant. Dermed har den generelle løsningen av differensialligningen formen: arctan(p) = -ln|p^2+1| + C hvor p = y´ og C er en vilkårlig konstant.
La oss løse Cauchy-problemet for en differensialligning som tillater en reduksjon av orden 3.16 y´´+ 2/(1−y)y´2= 0, med startbetingelsene y(0) = 0, y´(0) = 1. Bytt inn y´ = p(y) og merk at y´´ = p´p. Sett inn disse uttrykkene i den opprinnelige ligningen og få: p´p + 2p^2/(1-y) = 0 p´p(1-y) + 2p^2 = 0 Del begge sider med p^3(1-y ) og integrer: ∫(p´p/(p^3(1-y))) dy = -∫(2/(p^2)) dp -1/(2p^2) + ln|p| -ln|1-y| = C hvor C er en vilkårlig integrasjonskonstant. La oss erstatte startbetingelsene y(0) = 0, y´(0) = 1 og finne verdien av konstanten C: -1/(2*1^2) + ln|1| - ln|1-0| = C C = -1/2 Dermed har løsningen på Cauchy-problemet formen: -1/(2p^2) + ln|p| -ln|1-y| = -1/2 hvor p = y´ og y(0) = 0, y´(0) = 1.
La oss integrere følgende ligninger 4.16 (xdx+ydy)/√(x^2+y^2)+(xdy-ydx)/x^2=0. For å gjøre dette, merk at venstre side er lik den totale deriverte av (y/√(x^2+y^2)) med hensyn til x, og høyre side er lik den deriverte av (y/x) med hensyn til x. Dermed kan den opprinnelige ligningen skrives om som: d/dx (y/√(x^2+y^2)) = d/dx (y/x) Vi integrerer begge sider fra x0 til x: ∫(x0)^ ( x) d/dt (y/√(t^2+y^2)) dt = ∫(x0)^(x) d/dt (y/t) dt [y/√(x^2+y^ 2 )] - [y/√(x0^2+y^2)] = ln|x| - ln|x0| y/√(x^2+y^2) = ln|x| - ln|x0| + y/√(x0^2+y^2) y/√(x^2+y^2) - y/√(x0^2+y^2) = ln|x| - ln|x0| y(√(x0^2+y^2) - √(x^2+y^2)) = (√(x0^2+y^2))ln|x| - (√(x^2+y^2))ln|x0| Dermed har integralkurven formen: y = ((√(x^2+y^2))ln|x0| - (√(x0^2+y^2))ln|x|)/(√( x0 ^2+y^2) - √(x^2+y^2))
La oss skrive ligningen til en kurve som går gjennom punktet A(−4, 1) og har følgende egenskap: lengden på perpendikulæren trukket fra origo til tangenten til kurven er lik abscissen til tangenspunktet . La oss bruke formelen for lengden på perpendikulæren fra punktet (x0, y0) til den rette linjen Ax + By + C = 0: d = |Ax0 + By0 + C|/sqrt(A^2 + B^2) For vår oppgave skal perpendikulæren senkes fra origo, slik at vi kan skrive likningen til tangenten i punktet (x0, y0) som y - y0 = k(x - x0), der k er stigningstallet til tangenten. Siden perpendikulæren må være lik abscissen til tangentpunktet, er lengden lik |x0

IDZ 11.2 – Alternativ 16. Løsninger Ryabushko A.P. er et digitalt produkt beregnet på studenter som studerer matematikk ved universiteter og andre utdanningsinstitusjoner. Dette produktet inneholder løsninger på problemer fra IDZ 11.2 i matematisk analyse, satt sammen av forfatteren Ryabushko A.P. Produktet presenteres i form av en elektronisk fil i HTML-format med vakkert design og enkel navigering gjennom oppgaver.

I filen kan du finne løsninger på problemer om ulike emner av matematisk analyse, som differensialligninger, integraler, serier, funksjoner til flere variabler og andre. Hver løsning presenteres i en detaljert trinn-for-trinn-forklaring, noe som gjør dette produktet nyttig for elever som ønsker å forbedre matematikkferdighetene sine.

Dette digitale produktet kan kjøpes fra en digital produktbutikk og brukes til undervisningsformål, som tilleggsmateriell for egenforberedelse til eksamen og prøver. Den skiller seg fra papirlærebøker ved at den enkelt og raskt kan finne og lastes ned og brukes på en rekke enheter som datamaskiner, nettbrett og smarttelefoner. Dessuten tar den ikke opp hylleplass og er alltid tilgjengelig for bruk når som helst og hvor som helst.

IDZ 11.2 – Alternativ 16. Løsninger Ryabushko A.P. er et sett med løsninger på differensialligninger beregnet på studenter som studerer matematikk ved universiteter og andre utdanningsinstitusjoner. Settet inneholder løsninger på tre problemer: finne en bestemt løsning på en differensialligning som gir mulighet for en reduksjon i rekkefølge; finne en generell løsning på en differensialligning som tillater en reduksjon i rekkefølge; løsning av Cauchy-problemet for en differensialligning som tillater en reduksjon i rekkefølge. Settet inneholder også en løsning på problemet med å konstruere en kurve som går gjennom et gitt punkt og har en viss egenskap. Løsninger presenteres i form av matematiske formler og beregninger, ledsaget av detaljerte forklaringer og kommentarer. Settet er et digitalt produkt og kan lastes ned i elektronisk format.

***

IDZ 11.2 – Alternativ 16. Løsninger Ryabushko A.P. er et sett med løsninger på problemer i matematisk analyse og differensialligninger, utført av forfatteren Ryabushko A.P. Produktbeskrivelsen indikerer tilgjengeligheten av løsninger på følgende problemer:

Finne en bestemt løsning på en andreordens differensialligning og beregne verdien av den resulterende funksjonen for en gitt argumentverdi nøyaktig til to desimaler.
Finne en generell løsning på en andreordens differensialligning med mulighet for å redusere rekkefølgen.
Løsning av Cauchy-problemet for en andreordens differensialligning med mulighet for å redusere rekkefølgen.
Integrasjon av en førsteordens differensialligning.
Skrive ligningen til en kurve som går gjennom et gitt punkt og har visse egenskaper.

Løsningene ble laget i Microsoft Word 2003 ved hjelp av formeleditoren. Alle løsninger er detaljert beskrevet og utstyrt med trinnvise forklaringer.

***

En flott løsning for å forberede seg til en matteeksamen!
Takket være IDZ 11.2 – Alternativ 16 forstår jeg kursmaterialet bedre.
Avgjørelser Ryabushko A.P. veldig detaljert og forståelig.
Vi klarte å løse alle problemene takket være denne IDZ!
Det er veldig praktisk at materialet presenteres i elektronisk form.
IDZ 11.2 – Alternativ 16 hjelper deg med å spare tid når du forbereder deg til eksamen.
Et utmerket valg for de som ønsker å forbedre sine kunnskaper i matematikk.
Avgjørelser Ryabushko A.P. hjelpe deg å forstå komplekse emner.
Kostnaden for digital IDZ er lavere enn for papirversjonen.
Jeg anbefaler IDZ 11.2 – Alternativ 16 til alle studenter som forbereder seg til matematikkprøven!