IDZ 11.2 – オプション 16. ソリューション Ryabushko A.P.

1. 未決定係数法を使用して、微分方程式 1.16 y´´= x/e2x の特定の解を見つけてみましょう。解の形式が y = ax^2 + bx + c であると仮定します。ここで、a、b、c は未知の係数です。すると、y´ = 2ax + b、y´´ = 2aとなります。これらの式を元の方程式に代入すると、次のようになります。 2a = x/e2x a = x/(2e2x) y´ = 2ax + b = x/e2x b = x/e2x - 2ax = x/e2x - x^2/e2x = x (1-x)/(2e2x) したがって、部分解の形式は次のとおりです。 y = (x^2/(2e2x)) + (x(1-x)/(2e2x)) + c y = (x^2 + x - x^2e2x + 2ce2x)/(2e2x) x=x0 = −1/2 における関数 y=φ(x) の値を求めるには、結果の式に x0 を代入して、正確な関数の値を求めます。小数点以下 2 桁まで: y = ((-1/2)^2 + (-1/2) - (-1/2)^2e^(2*(-1/2)) + 2ce^(2*( -1/2))) /(2e^(2*(-1/2))) ≈ -0.22 + c 次に、初期条件 y(0) = 1/ を使用して、定数 c の値を見つける必要があります。 4 および y´(0) = −1/4: y(0) = (0^2 + 0 - 0^2e^(20) + 2ce^(20))/(2e^(2*0)) = c/2 = 1/4 c = 1/2 したがって、x0 = −1/2 の微分方程式 1.16 の特定の解は次の形式になります。 y = (x ^2 + x - x^2e2x + e)/2e2x および y(x0) ≈ -0.22 + 0.5 ≈ 0.28。

2. 2.16 y´´+ 2xy´2 = 0 の程度の縮小を可能にする微分方程式の一般解を見つけてみましょう。 y´ = p(x) と表し、y´´ = p´ + xp^ であることに注意してください。 2.これらの式を元の方程式に代入すると、次の結果が得られます。 p´ + xp^2 + 2xp^2 = 0 (p^2 + 1)p´ + 2xp^2 = 0 両辺を (p^2 + 1) で割って積分します。 : ∫(p^2+1)^(-1) dp = - ∫(2x/(p^2+1)) dx arctan(p) = -ln|p^2+1| + C ここで、C は任意の積分定数です。したがって、微分方程式の一般解は次の形式になります。 arctan(p) = -ln|p^2+1| + C ここで、p = y´、C は任意の定数です。

3. 初期条件 y(0) = 0、y´(0) = で次数 3.16 y´´+ 2/(1−y)y´2= 0 の縮小を許容する微分方程式のコーシー問題を解いてみます。 1. y´ = p(y) を代入すると、y´´ = p´p になることに注意してください。これらの式を元の方程式に代入すると、次のようになります。 p´p + 2p^2/(1-y) = 0 p´p(1-y) + 2p^2 = 0 両辺を p^3(1-y) で割ります。 ) を積分します: ∫(p´p/(p^3(1-y))) dy = -∫(2/(p^2)) dp -1/(2p^2) + ln|p| -ln|1-y| = C ここで、C は任意の積分定数です。初期条件 y(0) = 0、y´(0) = 1 を代入して、定数 C の値を求めてみましょう: -1/(2*1^2) + ln|1| - ln|1-0| = C C = -1/2 したがって、コーシー問題の解は次の形式になります。 -1/(2p^2) + ln|p| -ln|1-y| = -1/2 ここで、p = y´ および y(0) = 0、y´(0) = 1。

4. 次の方程式 4.16 (xdx+ydy)/√(x^2+y^2)+(xdy-ydx)/x^2=0 を積分してみましょう。これを行うには、左側が x に関する (y/√(x^2+y^2)) の微分合計に等しく、右側が (y/x) の微分に等しいことに注意してください。 xに関して。したがって、元の方程式は次のように書き直すことができます: d/dx (y/√(x^2+y^2)) = d/dx (y/x) x0 から x までの両辺を積分します: ∫(x0)^ ( x) d/dt (y/√(t^2+y^2)) dt = ∫(x0)^(x) d/dt (y/t) dt [y/√(x^2+y^ 2 )] - [y/√(x0^2+y^2)] = ln|x| - ln|x0| y/√(x^2+y^2) = ln|x| - ln|x0| + y/√(x0^2+y^2) y/√(x^2+y^2) - y/√(x0^2+y^2) = ln|x| - ln|x0| y(√(x0^2+y^2) - √(​​x^2+y^2)) = (√(x0^2+y^2))ln|x| - (√(x^2+y^2))ln|x0|したがって、積分曲線は次の形式になります。 y = ((√(x^2+y^2))ln|x0| - (√(x0^2+y^2))ln|x|)/(√( x0 ^2+y^2) - √(​​x^2+y^2))

5. 点 A(−4, 1) を通過し、次の性質を持つ曲線の方程式を書いてみましょう: 原点から曲線の接線まで引いた垂線の長さは、接点の横座標に等しい。点 (x0, y0) から直線 Ax + By + C = 0 への垂線の長さの公式を適用しましょう: d = |Ax0 + By0 + C|/sqrt(A^2 + B^2)この問題では、垂線を原点から下げる必要があるため、点 (x0, y0) における接線の方程式を y - y0 = k(x - x0) として書くことができます。ここで、k は接線の傾きです。垂線は接点の横座標に等しくなければならないため、その長さは |x0 に等しくなります。

IDZ 11.2 – オプション 16. ソリューション Ryabushko A.P.は、大学やその他の教育機関で数学を学ぶ学生を対象としたデジタル製品です。この製品には、著者 Ryabushko A.P. によって編集された、数学的解析における IDZ 11.2 の問題の解決策が含まれています。この製品は、美しいデザインとタスク間の簡単なナビゲーションを備えた HTML 形式の電子ファイルの形式で提供されます。

このファイルには、微分方程式、積分、級数、複数の変数の関数など、数学的解析のさまざまなトピックに関する問題の解決策が含まれています。各ソリューションは詳細なステップバイステップの説明で示されているため、この製品は数学のスキルを向上させたい学生にとって役立ちます。

このデジタル製品はデジタル製品ストアから購入でき、試験やテストの自己準備のための追加資料として、教育目的に使用できます。紙の教科書とは異なり、簡単かつ迅速に検索してダウンロードし、コンピューター、タブレット、スマートフォンなどのさまざまなデバイスで使用できます。さらに、棚のスペースをとらず、いつでもどこでもいつでも使用できます。

IDZ 11.2 – オプション 16. ソリューション Ryabushko A.P.は、大学やその他の教育機関で数学を学ぶ学生を対象とした微分方程式の解法セットです。このセットには 3 つの問題に対する解決策が含まれています。1 つは次数の削減を可能にする微分方程式の特定の解を見つけることです。次数の削減を考慮した微分方程式の一般解を見つける。次数の削減を認める微分方程式のコーシー問題の解。このセットには、特定の点を通過し、特定の特性を持つ曲線を作成するという問題の解決策も含まれています。解決策は数​​式と計算の形で提示され、詳細な説明とコメントが添えられています。このセットはデジタル製品であり、電子形式でダウンロードできます。

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IDZ 11.2 – オプション 16. ソリューション Ryabushko A.P.著者 Ryabushko A.P. によって実行された、数学的解析および微分方程式の問題に対する一連の解決策です。製品の説明には、次の問題に対する解決策が利用可能であることが示されています。

1. 2 階微分方程式の特定の解を見つけ、指定された引数値に対して結果として得られる関数の値を小数点第 2 位までの精度で計算します。
2. 次数を減らす可能性のある 2 階微分方程式の一般解を見つけます。
3. 次数を減らす可能性のある 2 次微分方程式のコーシー問題の解。
4. 一階微分方程式の積分。
5. 指定された点を通過し、特定の特性を持つ曲線の方程式を書きます。

ソリューションは Microsoft Word 2003 で数式エディタを使用して作成されました。すべてのソリューションが詳細に説明され、ステップバイステップの説明が提供されます。

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