IDZ 11.2 – 옵션 16. 솔루션 Ryabushko A.P.

1. 미결정 계수 방법을 사용하여 미분 방정식 1.16 y''= x/e2x에 대한 특정 해를 찾아보겠습니다. 해의 형식이 y = ax^2 + bx + c라고 가정해 보겠습니다. 여기서 a, b 및 c는 알 수 없는 계수입니다. 그러면 y' = 2ax + b이고 y'' = 2a입니다. 이 표현식을 원래 방정식에 대입하면 다음을 얻습니다. 2a = x/e2x a = x/(2e2x) y' = 2ax + b = x/e2x b = x/e2x - 2ax = x/e2x - x^2/e2x = x (1-x)/(2e2x) 따라서 부분 해는 다음 형식을 갖습니다. y = (x^2/(2e2x)) + (x(1-x)/(2e2x)) + c y = (x^2 + x - x^2e2x + 2ce2x)/(2e2x) x=x0 = −1/2에서 y=ψ(x) 함수의 값을 찾으려면 결과 표현식에 x0을 대입하고 정확한 함수 값을 구하십시오. 소수점 이하 두 자리까지: y = ((-1/2)^2 + (-1/2) - (-1/2)^2e^(2*(-1/2)) + 2ce^(2*( -1/2))) /(2e^(2*(-1/2))) ≒ -0.22 + c 이제 초기 조건 y(0) = 1/을 사용하여 상수 c의 값을 찾아야 합니다. 4 및 y'(0) = −1/4: y(0) = (0^2 + 0 - 0^2e^(20) + 2ce^(20))/(2e^(2*0)) = c/2 = 1/4 c = 1/2 따라서 x0 = −1/2인 미분 방정식 1.16의 특정 해는 다음 형식을 갖습니다. y = (x ^2 + x - x^2e2x + e)/2e2x 및 y(x0) ≒ -0.22 + 0.5 ≒ 0.28.

2. 2.16 y''+ 2xy'2 = 0의 차수 감소를 허용하는 미분 방정식에 대한 일반적인 해를 찾아보겠습니다. y' = p(x)로 표시하고 y'' = p' + xp^를 참고하세요. 2. 이 표현식을 원래 방정식에 대입하면 다음을 얻습니다. p' + xp^2 + 2xp^2 = 0 (p^2 + 1)p' + 2xp^2 = 0 양변을 (p^2 + 1)로 나누고 적분합니다. : ∫(p^2+1)^(-1) dp = - ∫(2x/(p^2+1)) dx arctan(p) = -ln|p^2+1| + C 여기서 C는 임의 적분 상수입니다. 따라서 미분 방정식의 일반 해는 다음 형식을 갖습니다. arctan(p) = -ln|p^2+1| + C 여기서 p = y'이고 C는 임의의 상수입니다.

3. 초기 조건 y(0) = 0, y'(0) =를 사용하여 차수 3.16 y''+ 2/(1−y)y'2= 0의 감소를 허용하는 미분 방정식에 대한 코시 문제를 풀어보겠습니다. 1. y' = p(y)로 대체하고 y'' = p'p에 유의하세요. 이 식을 원래 방정식에 대입하면 다음을 얻습니다: p'p + 2p^2/(1-y) = 0 p'p(1-y) + 2p^2 = 0 양변을 p^3(1-y)로 나눕니다. ) 및 적분: ∫(p'p/(p^3(1-y))) dy = -∫(2/(p^2)) dp -1/(2p^2) + ln|p| -ln|1-y| = C 여기서 C는 임의 적분 상수입니다. 초기 조건 y(0) = 0, y'(0) = 1을 대체하고 상수 C의 값을 찾습니다: -1/(2*1^2) + ln|1| - ln|1-0| = C C = -1/2 따라서 코시 문제의 해는 다음 형식을 갖습니다. -1/(2p^2) + ln|p| -ln|1-y| = -1/2 여기서 p = y' 및 y(0) = 0, y'(0) = 1입니다.

4. 다음 방정식 4.16 (xdx+ydy)/√(x^2+y^2)+(xdy-ydx)/x^2=0을 적분해 보겠습니다. 이를 위해 왼쪽 변은 x에 대한 (y/√(x^2+y^2))의 총 도함수와 같고, 오른쪽 변은 (y/x)의 도함수와 같습니다. x에 관해서. 따라서 원래 방정식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다: d/dx (y/√(x^2+y^2)) = d/dx (y/x) x0에서 x까지 양변을 통합합니다: ∫(x0)^ ( x) d/dt (y/√(t^2+y^2)) dt = ∫(x0)^(x) d/dt (y/t) dt [y/√(x^2+y^) 2 )] - [y/√(x0^2+y^2)] = ln|x| - ln|x0| y/√(x^2+y^2) = ln|x| - ln|x0| + y/√(x0^2+y^2) y/√(x^2+y^2) - y/√(x0^2+y^2) = ln|x| - ln|x0| y(√(x0^2+y^2) - √(x^2+y^2)) = (√(x0^2+y^2))ln|x| - (√(x^2+y^2))ln|x0| 따라서 적분 곡선의 형식은 다음과 같습니다. y = ((√(x^2+y^2))ln|x0| - (√(x0^2+y^2))ln|x|)/(√( x0 ^2+y^2) - √(x^2+y^2))

5. 점 A(−4, 1)을 통과하고 다음 속성을 갖는 곡선의 방정식을 작성해 보겠습니다. 원점에서 곡선의 접선까지 그려진 수직선의 길이는 접선 점의 가로좌표와 같습니다. . 점 (x0, y0)에서 직선 Ax + By + C = 0까지의 수직선 길이 공식을 적용해 보겠습니다. d = |Ax0 + By0 + C|/sqrt(A^2 + B^2) 우리 문제에서는 수직선이 원점에서 낮아져야 하므로 점 (x0, y0)에서의 접선 방정식을 y - y0 = k(x - x0)로 쓸 수 있습니다. 여기서 k는 접선의 기울기입니다. 수직선은 접선의 가로좌표와 같아야 하므로 길이는 |x0과 같습니다.

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1. 2차 미분 방정식에 대한 특정 해를 찾고 주어진 인수 값에 대한 결과 함수의 값을 소수점 이하 두 자리까지 정확하게 계산합니다.
2. 차수를 줄일 수 있는 2차 미분방정식의 일반해를 구합니다.
3. 차수 감소 가능성이 있는 2차 미분 방정식에 대한 코시 문제의 해법입니다.
4. 1차 미분방정식의 적분.
5. 주어진 점을 통과하고 특정 속성을 갖는 곡선의 방정식을 작성합니다.

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