IDZ 11.2 – Opción 16. Soluciones Ryabushko A.P.

1. Encontremos una solución particular a la ecuación diferencial 1.16 y´´= x/e2x usando el método de coeficientes indeterminados. Supongamos que la solución tiene la forma y = ax^2 + bx + c, donde a, byc son coeficientes desconocidos. Entonces y´ = 2ax + by y´´ = 2a. Sustituye estas expresiones en la ecuación original y obtienes: 2a = x/e2x a = x/(2e2x) y´ = 2ax + b = x/e2x b = x/e2x - 2ax = x/e2x - x^2/e2x = x (1-x)/(2e2x) Por lo tanto, la solución parcial tiene la forma: y = (x^2/(2e2x)) + (x(1-x)/(2e2x)) + c y = (x^2 + x - x^2e2x + 2ce2x)/(2e2x) Para encontrar el valor de la función y=φ(x) en x=x0 = −1/2, sustituye x0 en la expresión resultante y encuentra el valor de la función exacto con dos decimales: y = ((-1/2)^2 + (-1/2) - (-1/2)^2e^(2*(-1/2)) + 2ce^(2*( -1/2))) /(2e^(2*(-1/2))) ≈ -0.22 + c Ahora necesitas encontrar el valor de la constante c, usando las condiciones iniciales y(0) = 1/ 4 y y´(0) = −1/4: y(0) = (0^2 + 0 - 0^2e^(20) + 2ce^(20))/(2e^(2*0)) = c/2 = 1/4 c = 1/2 Por tanto, una solución particular de la ecuación diferencial 1.16 con x0 = −1/2 tiene la forma: y = (x ^2 + x - x^2e2x + e)/2e2x e y(x0) ≈ -0,22 + 0,5 ≈ 0,28.

2. Encontremos una solución general a la ecuación diferencial que permita una reducción de orden 2.16 y´´+ 2xy´2 = 0. Denotemos y´ = p(x) y observemos que y´´ = p´ + xp^ 2. Sustituye estas expresiones en la ecuación original y obtienes: p´ + xp^2 + 2xp^2 = 0 (p^2 + 1)p´ + 2xp^2 = 0 Divide ambos lados por (p^2 + 1) e integra : ∫(p^2+1)^(-1) dp = - ∫(2x/(p^2+1)) dx arctan(p) = -ln|p^2+1| + C donde C es una constante de integración arbitraria. Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial tiene la forma: arctan(p) = -ln|p^2+1| + C donde p = y´ y C es una constante arbitraria.

3. Resolvamos el problema de Cauchy para una ecuación diferencial que admite una reducción de orden 3.16 y´´+ 2/(1−y)y´2= 0, con condiciones iniciales y(0) = 0, y´(0) = 1. Sustituya y´ = p(y) y observe que y´´ = p´p. Sustituye estas expresiones en la ecuación original y obtienes: p´p + 2p^2/(1-y) = 0 p´p(1-y) + 2p^2 = 0 Divide ambos lados por p^3(1-y ) e integra: ∫(p´p/(p^3(1-y))) dy = -∫(2/(p^2)) dp -1/(2p^2) + ln|p| -ln|1-y| = C donde C es una constante de integración arbitraria. Sustituyamos las condiciones iniciales y(0) = 0, y´(0) = 1 y encontremos el valor de la constante C: -1/(2*1^2) + ln|1| -En|1-0| = C C = -1/2 Por lo tanto, la solución al problema de Cauchy tiene la forma: -1/(2p^2) + ln|p| -ln|1-y| = -1/2 donde p = y´ e y(0) = 0, y´(0) = 1.

4. Integramos las siguientes ecuaciones 4.16 (xdx+ydy)/√(x^2+y^2)+(xdy-ydx)/x^2=0. Para hacer esto, observe que el lado izquierdo es igual a la derivada total de (y/√(x^2+y^2)) con respecto a x, y el lado derecho es igual a la derivada de (y/x) con respecto a x. Así, la ecuación original se puede reescribir como: d/dx (y/√(x^2+y^2)) = d/dx (y/x) Integramos ambos lados de x0 a x: ∫(x0)^ ( x) d/dt (y/√(t^2+y^2)) dt = ∫(x0)^(x) d/dt (y/t) dt [y/√(x^2+y^ 2 )] - [y/√(x0^2+y^2)] = ln|x| - ln|x0| y/√(x^2+y^2) = ln|x| - ln|x0| + y/√(x0^2+y^2) y/√(x^2+y^2) - y/√(x0^2+y^2) = ln|x| - ln|x0| y(√(x0^2+y^2) - √(x^2+y^2)) = (√(x0^2+y^2))ln|x| - (√(x^2+y^2))ln|x0| Así, la curva integral tiene la forma: y = ((√(x^2+y^2))ln|x0| - (√(x0^2+y^2))ln|x|)/(√( x0 ^2+y^2) - √(x^2+y^2))

5. Escribamos la ecuación de una curva que pasa por el punto A(−4, 1) y que tiene la siguiente propiedad: la longitud de la perpendicular trazada desde el origen hasta la tangente a la curva es igual a la abscisa del punto de tangencia . Apliquemos la fórmula para la longitud de la perpendicular desde el punto (x0, y0) a la recta Ax + By + C = 0: d = |Ax0 + By0 + C|/sqrt(A^2 + B^2) Para nuestro problema, la perpendicular debe descender desde el origen, por lo que podemos escribir la ecuación de la tangente en el punto (x0, y0) como y - y0 = k(x - x0), donde k es la pendiente de la tangente. Como la perpendicular debe ser igual a la abscisa del punto tangente, su longitud es igual a |x0

IDZ 11.2 – Opción 16. Soluciones Ryabushko A.P. es un producto digital destinado a estudiantes que estudian matemáticas en universidades y otras instituciones educativas. Este producto contiene soluciones a problemas de IDZ 11.2 en análisis matemático, compiladas por el autor Ryabushko A.P. El producto se presenta en forma de archivo electrónico en formato HTML con un hermoso diseño y fácil navegación por las tareas.

En el archivo se pueden encontrar soluciones a problemas de diversos temas de análisis matemático, como ecuaciones diferenciales, integrales, series, funciones de varias variables y otros. Cada solución se presenta en una explicación detallada paso a paso, lo que hace que este producto sea útil para los estudiantes que desean mejorar sus habilidades matemáticas.

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IDZ 11.2 – Opción 16. Soluciones Ryabushko A.P. es un conjunto de soluciones a ecuaciones diferenciales destinado a estudiantes que estudian matemáticas en universidades y otras instituciones educativas. El conjunto contiene soluciones a tres problemas: encontrar una solución particular a una ecuación diferencial que permita una reducción en el orden; encontrar una solución general a una ecuación diferencial que permita una reducción en el orden; Solución del problema de Cauchy para una ecuación diferencial que admite una reducción de orden. El conjunto también contiene una solución al problema de construir una curva que pase por un punto dado y tenga una determinada propiedad. Las soluciones se presentan en forma de fórmulas y cálculos matemáticos, acompañadas de explicaciones y comentarios detallados. El conjunto es un producto digital y se puede descargar en formato electrónico.

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IDZ 11.2 – Opción 16. Soluciones Ryabushko A.P. es un conjunto de soluciones a problemas de análisis matemático y ecuaciones diferenciales, realizadas por el autor Ryabushko A.P. La descripción del producto indica la disponibilidad de soluciones a los siguientes problemas:

1. Encontrar una solución particular a una ecuación diferencial de segundo orden y calcular el valor de la función resultante para un valor de argumento dado con una precisión de dos decimales.
2. Encontrar una solución general a una ecuación diferencial de segundo orden con posibilidad de reducir el orden.
3. Solución del problema de Cauchy para una ecuación diferencial de segundo orden con posibilidad de reducir el orden.
4. Integración de una ecuación diferencial de primer orden.
5. Escribir la ecuación de una curva que pasa por un punto dado y que tiene ciertas propiedades.

Las soluciones se realizaron en Microsoft Word 2003 utilizando el editor de fórmulas. Todas las soluciones se describen en detalle y se proporcionan explicaciones paso a paso.

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