IDZ 11.2 – Možnost 16. Řešení Ryabushko A.P.

Nalezněme konkrétní řešení diferenciální rovnice 1,16 y´´= x/e2x metodou neurčitých koeficientů. Předpokládejme, že řešení má tvar y = ax^2 + bx + c, kde a, b a c jsou neznámé koeficienty. Pak y´ = 2ax + b a y´´ = 2a. Dosaďte tyto výrazy do původní rovnice a dostanete: 2a = x/e2x a = x/(2e2x) y´ = 2ax + b = x/e2x b = x/e2x - 2ax = x/e2x - x^2/e2x = x (1-x)/(2e2x) Částečné řešení má tedy tvar: y = (x^2/(2e2x)) + (x(1-x)/(2e2x)) + c y = (x^2 + x - x^2e2x + 2ce2x)/(2e2x) Chcete-li zjistit hodnotu funkce y=φ(x) v x=x0 = −1/2, dosaďte do výsledného výrazu x0 a najděte hodnotu funkce přesnou na dvě desetinná místa: y = ((-1/2)^2 + (-1/2) - (-1/2)^2e^(2*(-1/2)) + 2ce^(2*( -1/2))) /(2e^(2*(-1/2))) ≈ -0,22 + c Nyní musíte najít hodnotu konstanty c pomocí počátečních podmínek y(0) = 1/ 4 a y´(0) = −1/4: y(0) = (0^2 + 0 - 0^2e^(2)0) + 2ce^(20))/(2e^(2*0)) = c/2 = 1/4 c = 1/2 Konkrétní řešení diferenciální rovnice 1.16 s x0 = −1/2 má tedy tvar: y = (x ^2 + x - x^2e2x + e)/2e2x a y(x0) ≈ -0,22 + 0,5 ≈ 0,28.
Nalezněme obecné řešení diferenciální rovnice, které umožňuje redukci v řádu 2,16 y´´+ 2xy´2 = 0. Označme y´ = p(x) a poznamenejme, že y´´ = p´ + xp^ 2. Dosaďte tyto výrazy do původní rovnice a dostanete: p´ + xp^2 + 2xp^2 = 0 (p^2 + 1)p´ + 2xp^2 = 0 Vydělte obě strany (p^2 + 1) a integrujte : ∫(p^2+1)^(-1) dp = - ∫(2x/(p^2+1)) dx arctan(p) = -ln|p^2+1| + C kde C je libovolná integrační konstanta. Obecné řešení diferenciální rovnice má tedy tvar: arctan(p) = -ln|p^2+1| + C kde p = y´ a C je libovolná konstanta.
Vyřešme Cauchyho úlohu pro diferenciální rovnici, která připouští redukci řádu 3,16 y´´+ 2/(1−y)y´2= 0, s počátečními podmínkami y(0) = 0, y´(0) = 1. Dosaďte y´ = p(y) a všimněte si, že y´´ = p´p. Dosaďte tyto výrazy do původní rovnice a dostanete: p´p + 2p^2/(1-y) = 0 p´p(1-y) + 2p^2 = 0 Vydělte obě strany p^3(1-y ) a integrujte: ∫(p´p/(p^3(1-y))) dy = -∫(2/(p^2)) dp -1/(2p^2) + ln|p| -ln|1-y| = C kde C je libovolná integrační konstanta. Dosadíme počáteční podmínky y(0) = 0, y´(0) = 1 a najdeme hodnotu konstanty C: -1/(2*1^2) + ln|1| - ln|1-0| = C C = -1/2 Řešení Cauchyho úlohy má tedy tvar: -1/(2p^2) + ln|p| -ln|1-y| = -1/2, kde p = y' a y(0) = 0, y'(0) = 1.
Integrujme následující rovnice 4.16 (xdx+ydy)/√(x^2+y^2)+(xdy-ydx)/x^2=0. Za tímto účelem si všimněte, že levá strana se rovná celkové derivaci (y/√(x^2+y^2)) vzhledem k x a pravá strana se rovná derivaci (y/x) vzhledem k x. Původní rovnici lze tedy přepsat jako: d/dx (y/√(x^2+y^2)) = d/dx (y/x) Integrujeme obě strany od x0 do x: ∫(x0)^ (x) d/dt (y/√(t^2+y^2)) dt = ∫(x0)^(x) d/dt (y/t) dt [y/√(x^2+y^ 2)] - [y/√(x0^2+y^2)] = ln|x| - ln|x0| y/√(x^2+y^2) = ln|x| - ln|x0| + y/√(x0^2+y^2) y/√(x^2+y^2) - y/√(x0^2+y^2) = ln|x| - ln|x0| y(√(x0^2+y^2) - √(x^2+y^2)) = (√(x0^2+y^2))ln|x| - (√(x^2+y^2))ln|x0| Integrální křivka má tedy tvar: y = ((√(x^2+y^2))ln|x0| - (√(x0^2+y^2))ln|x|)/(√( x0 ^2+y^2) - √(x^2+y^2))
Napište rovnici křivky procházející bodem A(−4, 1) a mající následující vlastnost: délka kolmice vedené od počátku k tečně ke křivce je rovna úsečce bodu tečnosti. . Aplikujme vzorec pro délku kolmice z bodu (x0, y0) k přímce Ax + By + C = 0: d = |Ax0 + By0 + C|/sqrt(A^2 + B^2) Pro náš problém by měla být kolmice snížena z počátku, takže rovnici tečny v bodě (x0, y0) můžeme napsat jako y - y0 = k(x - x0), kde k je sklon tečny. Protože kolmice se musí rovnat úsečce tečného bodu, její délka je rovna |x0

IDZ 11.2 – Možnost 16. Řešení Ryabushko A.P. je digitální produkt určený pro studenty studující matematiku na vysokých školách a dalších vzdělávacích institucích. Tento produkt obsahuje řešení problémů z IDZ 11.2 v matematické analýze, sestavené autorem Ryabushko A.P. Produkt je prezentován ve formě elektronického souboru ve formátu HTML s krásným designem a snadnou navigací v úkolech.

V souboru naleznete řešení úloh z různých témat matematické analýzy, jako jsou diferenciální rovnice, integrály, řady, funkce více proměnných a další. Každé řešení je prezentováno v podrobném vysvětlení krok za krokem, díky čemuž je tento produkt užitečný pro studenty, kteří si chtějí zlepšit své matematické dovednosti.

Tento digitální produkt lze zakoupit v obchodě s digitálními produkty a použít jej pro vzdělávací účely jako doplňkový materiál pro vlastní přípravu na zkoušky a testy. Od papírových učebnic se liší tím, že je lze snadno a rychle najít a stáhnout a použít na různých zařízeních, jako jsou počítače, tablety a chytré telefony. Navíc nezabírá místo na polici a je vždy k dispozici pro použití kdykoli a kdekoli.

IDZ 11.2 – Možnost 16. Řešení Ryabushko A.P. je soubor řešení diferenciálních rovnic určený pro studenty studující matematiku na vysokých školách a dalších vzdělávacích institucích. Sada obsahuje řešení tří problémů: nalezení konkrétního řešení diferenciální rovnice, které umožňuje redukci pořadí; nalezení obecného řešení diferenciální rovnice, které umožňuje redukci řádu; řešení Cauchyho úlohy pro diferenciální rovnici, která připouští redukci řádu. Sada obsahuje i řešení úlohy sestrojit křivku procházející daným bodem a mající určitou vlastnost. Řešení jsou prezentována ve formě matematických vzorců a výpočtů, doplněná podrobnými vysvětleními a komentáři. Sada je digitální produkt a lze si ji stáhnout v elektronické podobě.

***

IDZ 11.2 – Možnost 16. Řešení Ryabushko A.P. je soubor řešení problémů v matematické analýze a diferenciálních rovnicích, který provedl autor Ryabushko A.P. Popis produktu uvádí dostupnost řešení následujících problémů:

Nalezení konkrétního řešení diferenciální rovnice druhého řádu a výpočet hodnoty výsledné funkce pro danou hodnotu argumentu s přesností na dvě desetinná místa.
Nalezení obecného řešení diferenciální rovnice druhého řádu s možností redukce řádu.
Řešení Cauchyho úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu s možností redukce řádu.
Integrace diferenciální rovnice prvního řádu.
Zápis rovnice křivky procházející daným bodem a mající určité vlastnosti.

Řešení byla vytvořena v aplikaci Microsoft Word 2003 pomocí editoru vzorců. Všechna řešení jsou podrobně popsána a opatřena vysvětlením krok za krokem.

***

Skvělé řešení pro přípravu na zkoušku z matematiky!
Díky IDZ 11.2 – Možnost 16 lépe rozumím látce kurzu.
Rozhodnutí Ryabushko A.P. velmi podrobné a srozumitelné.
Všechny problémy se nám díky tomuto IDZ podařilo vyřešit!
Je velmi výhodné, že materiál je prezentován v elektronické podobě.
IDZ 11.2 – Možnost 16 pomáhá šetřit čas při přípravě na zkoušku.
Výborná volba pro ty, kteří si chtějí zlepšit své znalosti v matematice.
Rozhodnutí Ryabushko A.P. pomůže pochopit složitá témata.
Cena digitálního IDZ je nižší než cena papírové verze.
IDZ 11.2 – Varianta 16 doporučuji všem studentům, kteří se připravují na zkoušku z matematiky!