Trouvons une solution particulière à l'équation différentielle 1.16 y´´= x/e2x en utilisant la méthode des coefficients indéterminés. Supposons que la solution ait la forme y = ax^2 + bx + c, où a, b et c sont des coefficients inconnus. Alors y´ = 2ax + b et y´´ = 2a. Remplacez ces expressions dans l'équation d'origine et obtenez : 2a = x/e2x a = x/(2e2x) y´ = 2ax + b = x/e2x b = x/e2x - 2ax = x/e2x - x^2/e2x = x (1-x)/(2e2x) Ainsi, la solution partielle a la forme : y = (x^2/(2e2x)) + (x(1-x)/(2e2x)) + c y = (x^2 + x - x^2e2x + 2ce2x)/(2e2x) Pour trouver la valeur de la fonction y=φ(x) à x=x0 = −1/2, remplacez x0 dans l'expression résultante et trouvez la valeur de la fonction avec précision à deux décimales : y = ((-1/2)^2 + (-1/2) - (-1/2)^2e^(2*(-1/2)) + 2ce^(2*( -1/2))) /(2e^(2*(-1/2))) ≈ -0,22 + c Vous devez maintenant trouver la valeur de la constante c, en utilisant les conditions initiales y(0) = 1/ 4 et y´(0) = −1/4 : y(0) = (0^2 + 0 - 0^2e^(20) + 2ce^(20))/(2e^(2*0)) = c/2 = 1/4 c = 1/2 Ainsi, une solution particulière de l'équation différentielle 1.16 avec x0 = −1/2 a la forme : y = (x ^2 + x - x^2e2x + e)/2e2x et y(x0) ≈ -0,22 + 0,5 ≈ 0,28.
Trouvons une solution générale à l'équation différentielle qui permet une réduction dans l'ordre 2,16 y´´+ 2xy´2 = 0. Notons y´ = p(x) et notons que y´´ = p´ + xp^ 2. Remplacez ces expressions dans l'équation d'origine et obtenez : p´ + xp^2 + 2xp^2 = 0 (p^2 + 1)p´ + 2xp^2 = 0 Divisez les deux côtés par (p^2 + 1) et intégrez : ∫(p^2+1)^(-1) dp = - ∫(2x/(p^2+1)) dx arctan(p) = -ln|p^2+1| + C où C est une constante d'intégration arbitraire. Ainsi, la solution générale de l'équation différentielle a la forme : arctan(p) = -ln|p^2+1| + C où p = y´ et C est une constante arbitraire.
Résolvons le problème de Cauchy pour une équation différentielle qui admet une réduction d'ordre 3.16 y´´+ 2/(1−y)y´2= 0, avec conditions initiales y(0) = 0, y´(0) = 1. Remplacez y´ = p(y) et notez que y´´ = p´p. Remplacez ces expressions dans l'équation d'origine et obtenez : p´p + 2p^2/(1-y) = 0 p´p(1-y) + 2p^2 = 0 Divisez les deux côtés par p^3(1-y ) et intégrer : ∫(p´p/(p^3(1-y))) dy = -∫(2/(p^2)) dp -1/(2p^2) + ln|p| -ln|1-y| = C où C est une constante d'intégration arbitraire. Remplaçons les conditions initiales y(0) = 0, y´(0) = 1 et trouvons la valeur de la constante C : -1/(2*1^2) + ln|1| - ln|1-0| = C C = -1/2 Ainsi, la solution du problème de Cauchy a la forme : -1/(2p^2) + ln|p| -ln|1-y| = -1/2 où p = y´ et y(0) = 0, y´(0) = 1.
Intégrons les équations suivantes 4.16 (xdx+ydy)/√(x^2+y^2)+(xdy-ydx)/x^2=0. Pour ce faire, notez que le côté gauche est égal à la dérivée totale de (y/√(x^2+y^2)) par rapport à x, et le côté droit est égal à la dérivée de (y/x) par rapport à x. Ainsi, l'équation originale peut être réécrite comme : d/dx (y/√(x^2+y^2)) = d/dx (y/x) Nous intégrons les deux côtés de x0 à x : ∫(x0)^ ( x) d/dt (y/√(t^2+y^2)) dt = ∫(x0)^(x) d/dt (y/t) dt [y/√(x^2+y^ 2 )] - [y/√(x0^2+y^2)] = ln|x| - ln|x0| y/√(x^2+y^2) = ln|x| - ln|x0| + y/√(x0^2+y^2) y/√(x^2+y^2) - y/√(x0^2+y^2) = ln|x| - ln|x0| y(√(x0^2+y^2) - √(x^2+y^2)) = (√(x0^2+y^2))ln|x| - (√(x^2+y^2))ln|x0| Ainsi, la courbe intégrale a la forme : y = ((√(x^2+y^2))ln|x0| - (√(x0^2+y^2))ln|x|)/(√( x0 ^2+y^2) - √(x^2+y^2))
Écrivons l'équation d'une courbe passant par le point A(−4, 1) et ayant la propriété suivante : la longueur de la perpendiculaire tracée de l'origine à la tangente à la courbe est égale à l'abscisse du point de tangence . Appliquons la formule de la longueur de la perpendiculaire du point (x0, y0) à la droite Ax + By + C = 0 : d = |Ax0 + By0 + C|/sqrt(A^2 + B^2) Pour notre problème, la perpendiculaire doit être abaissée depuis l'origine, nous pouvons donc écrire l'équation de la tangente au point (x0, y0) sous la forme y - y0 = k(x - x0), où k est la pente de la tangente. Puisque la perpendiculaire doit être égale à l’abscisse du point tangent, sa longueur est égale à |x0
IDZ 11.2 – Option 16. Solutions Ryabushko A.P. est un produit numérique destiné aux étudiants qui étudient les mathématiques dans les universités et autres établissements d'enseignement. Ce produit contient des solutions aux problèmes d'IDZ 11.2 en analyse mathématique, compilées par l'auteur Ryabushko A.P. Le produit se présente sous la forme d'un fichier électronique au format HTML avec un beau design et une navigation facile dans les tâches.
Dans le fichier, vous pouvez trouver des solutions à des problèmes sur divers sujets d'analyse mathématique, tels que les équations différentielles, les intégrales, les séries, les fonctions de plusieurs variables et autres. Chaque solution est présentée dans une explication détaillée étape par étape, ce qui rend ce produit utile pour les étudiants qui souhaitent améliorer leurs compétences en mathématiques.
Ce produit numérique peut être acheté dans un magasin de produits numériques et utilisé à des fins éducatives, comme matériel supplémentaire pour l'auto-préparation aux examens et aux tests. Il diffère des manuels papier dans la mesure où il peut être trouvé et téléchargé facilement et rapidement, et utilisé sur divers appareils tels que les ordinateurs, les tablettes et les smartphones. De plus, il ne prend pas de place sur les étagères et est toujours disponible pour une utilisation à tout moment et en tout lieu.
IDZ 11.2 – Option 16. Solutions Ryabushko A.P. est un ensemble de solutions d'équations différentielles destiné aux étudiants qui étudient les mathématiques dans les universités et autres établissements d'enseignement. L'ensemble contient des solutions à trois problèmes : trouver une solution particulière à une équation différentielle permettant une réduction dans l'ordre ; trouver une solution générale à une équation différentielle permettant une réduction d'ordre ; solution du problème de Cauchy pour une équation différentielle admettant une réduction d'ordre. L'ensemble contient également une solution au problème de la construction d'une courbe passant par un point donné et ayant une certaine propriété. Les solutions sont présentées sous forme de formules et de calculs mathématiques, accompagnées d'explications et de commentaires détaillés. L'ensemble est un produit numérique et peut être téléchargé au format électronique.
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IDZ 11.2 – Option 16. Solutions Ryabushko A.P. est un ensemble de solutions à des problèmes d'analyse mathématique et d'équations différentielles, réalisées par l'auteur Ryabushko A.P. La description du produit indique la disponibilité de solutions aux problèmes suivants :
Les solutions ont été réalisées dans Microsoft Word 2003 à l'aide de l'éditeur de formules. Toutes les solutions sont décrites en détail et accompagnées d'explications étape par étape.
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Grâce à cette IDZ, j'ai facilement compris des sujets qui me semblaient auparavant difficiles.
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