IDZ 11.2 – Opcja 16. Rozwiązania Ryabushko A.P.

Znajdźmy szczególne rozwiązanie równania różniczkowego 1.16 y´´= x/e2x, stosując metodę nieokreślonych współczynników. Załóżmy, że rozwiązanie ma postać y = ax^2 + bx + c, gdzie a, b i c są nieznanymi współczynnikami. Wtedy y´ = 2ax + b i y´´ = 2a. Podstaw te wyrażenia do pierwotnego równania i otrzymaj: 2a = x/e2x a = x/(2e2x) y´ = 2ax + b = x/e2x b = x/e2x - 2ax = x/e2x - x^2/e2x = x (1-x)/(2e2x) Zatem rozwiązanie częściowe ma postać: y = (x^2/(2e2x)) + (x(1-x)/(2e2x)) + c y = (x^2 + x - x^2e2x + 2ce2x)/(2e2x) Aby znaleźć wartość funkcji y=φ(x) przy x=x0 = −1/2, podstaw x0 do wynikowego wyrażenia i znajdź dokładną wartość funkcji do dwóch miejsc po przecinku: y = ((-1/2)^2 + (-1/2) - (-1/2)^2e^(2*(-1/2)) + 2ce^(2*( -1/2))) /(2e^(2*(-1/2))) ≈ -0,22 + c Teraz trzeba znaleźć wartość stałej c, korzystając z warunków początkowych y(0) = 1/ 4 i y´(0) = −1/4: y(0) = (0^2 + 0 - 0^2e^(20) + 2ce^(20))/(2e^(2*0)) = c/2 = 1/4 c = 1/2 Zatem szczególne rozwiązanie równania różniczkowego 1.16 przy x0 = −1/2 ma postać: y = (x ^2 + x - x^2e2x + e)/2e2x i y(x0) ≈ -0,22 + 0,5 ≈ 0,28.
Znajdźmy ogólne rozwiązanie równania różniczkowego, które pozwala na redukcję rzędu 2,16 y´´+ 2xy´2 = 0. Oznaczmy y´ = p(x) i zauważmy, że y´´ = p´ + xp^ 2. Podstaw te wyrażenia do pierwotnego równania i otrzymaj: p´ + xp^2 + 2xp^2 = 0 (p^2 + 1)p´ + 2xp^2 = 0 Podziel obie strony przez (p^2 + 1) i całkuj : ∫(p^2+1)^(-1) dp = - ∫(2x/(p^2+1)) dx arctan(p) = -ln|p^2+1| + C gdzie C jest dowolną stałą całkowania. Zatem ogólne rozwiązanie równania różniczkowego ma postać: arctan(p) = -ln|p^2+1| + C gdzie p = y´, a C jest dowolną stałą.
Rozwiążmy problem Cauchy'ego dla równania różniczkowego, które dopuszcza redukcję rzędu 3,16 y´´+ 2/(1−y)y´2= 0, przy warunkach początkowych y(0) = 0, y´(0) = 1. Zastąp y’ = p(y) i zauważ, że y’’ = p’p. Podstaw te wyrażenia do pierwotnego równania i otrzymaj: p´p + 2p^2/(1-y) = 0 p´p(1-y) + 2p^2 = 0 Podziel obie strony przez p^3(1-y ) i całkuj: ∫(p´p/(p^3(1-y))) dy = -∫(2/(p^2)) dp -1/(2p^2) + ln|p| -ln|1-y| = C gdzie C jest dowolną stałą całkowania. Podstawmy warunki początkowe y(0) = 0, y´(0) = 1 i znajdźmy wartość stałej C: -1/(2*1^2) + ln|1| - ln|1-0| = C C = -1/2 Zatem rozwiązanie problemu Cauchy'ego ma postać: -1/(2p^2) + ln|p| -ln|1-y| = -1/2 gdzie p = y’ i y(0) = 0, y’(0) = 1.
Całkujmy następujące równania 4.16 (xdx+ydy)/√(x^2+y^2)+(xdy-ydx)/x^2=0. Aby to zrobić, zauważ, że lewa strona jest równa całkowitej pochodnej (y/√(x^2+y^2)) względem x, a prawa strona jest równa pochodnej (y/x) w odniesieniu do x. Zatem pierwotne równanie można przepisać jako: d/dx (y/√(x^2+y^2)) = d/dx (y/x) Całkujemy obie strony od x0 do x: ∫(x0)^ ( x) d/dt (y/√(t^2+y^2)) dt = ∫(x0)^(x) d/dt (y/t) dt [y/√(x^2+y^ 2 )] - [y/√(x0^2+y^2)] = ln|x| - ln|x0| y/√(x^2+y^2) = ln|x| - ln|x0| + y/√(x0^2+y^2) y/√(x^2+y^2) - y/√(x0^2+y^2) = ln|x| - ln|x0| y(√(x0^2+y^2) - √(x^2+y^2)) = (√(x0^2+y^2))ln|x| - (√(x^2+y^2))ln|x0| Zatem krzywa całkowa ma postać: y = ((√(x^2+y^2))ln|x0| - (√(x0^2+y^2))ln|x|)/(√( x0 ^2+y^2) - √(x^2+y^2))
Zapiszmy równanie krzywej przechodzącej przez punkt A(−4, 1) i mającej następującą własność: długość prostopadłej poprowadzonej od początku do stycznej do krzywej jest równa odciętej punktu styczności . Zastosujmy wzór na długość prostopadłej od punktu (x0, y0) do prostej Ax + By + C = 0: d = |Ax0 + By0 + C|/sqrt(A^2 + B^2) W przypadku naszego problemu prostopadłą należy obniżyć od początku, abyśmy mogli zapisać równanie stycznej w punkcie (x0, y0) jako y - y0 = k(x - x0), gdzie k jest nachyleniem stycznej. Ponieważ prostopadła musi być równa odciętej punktu stycznego, jej długość jest równa |x0

IDZ 11.2 – Opcja 16. Rozwiązania Ryabushko A.P. to produkt cyfrowy przeznaczony dla studentów studiujących matematykę na uniwersytetach i innych placówkach edukacyjnych. Ten produkt zawiera rozwiązania problemów z analizy matematycznej IDZ 11.2, opracowane przez autora Ryabushko A.P. Produkt prezentowany jest w formie pliku elektronicznego w formacie HTML, charakteryzującego się pięknym wyglądem i łatwą nawigacją po zadaniach.

W pliku można znaleźć rozwiązania problemów z różnych tematów analizy matematycznej, takich jak równania różniczkowe, całki, szeregi, funkcje kilku zmiennych i inne. Każde rozwiązanie jest przedstawione w szczegółowym wyjaśnieniu krok po kroku, dzięki czemu ten produkt jest przydatny dla uczniów, którzy chcą doskonalić swoje umiejętności matematyczne.

Ten produkt cyfrowy można kupić w sklepie z produktami cyfrowymi i wykorzystać w celach edukacyjnych, jako dodatkowy materiał do samodzielnego przygotowania do egzaminów i testów. Różni się od podręczników papierowych tym, że można ją łatwo i szybko znaleźć, pobrać i używać na różnych urządzeniach, takich jak komputery, tablety i smartfony. Co więcej, nie zajmuje miejsca na półce i jest zawsze dostępny do użycia w dowolnym miejscu i czasie.

IDZ 11.2 – Opcja 16. Rozwiązania Ryabushko A.P. to zbiór rozwiązań równań różniczkowych przeznaczony dla studentów studiujących matematykę na uniwersytetach i innych placówkach oświatowych. Zestaw zawiera rozwiązania trzech problemów: znalezienie konkretnego rozwiązania równania różniczkowego, które pozwala na redukcję rzędu; znalezienie ogólnego rozwiązania równania różniczkowego, które pozwala na redukcję rzędu; rozwiązanie problemu Cauchy'ego dla równania różniczkowego dopuszczającego redukcję rzędu. W zestawie znajduje się także rozwiązanie problemu zbudowania krzywej przechodzącej przez zadany punkt i posiadającej określoną własność. Rozwiązania prezentowane są w formie wzorów matematycznych i obliczeń, opatrzone szczegółowymi objaśnieniami i komentarzami. Zestaw jest produktem cyfrowym i można go pobrać w formacie elektronicznym.

***

IDZ 11.2 – Opcja 16. Rozwiązania Ryabushko A.P. to zbiór rozwiązań problemów analizy matematycznej i równań różniczkowych, wykonany przez autora Ryabushko A.P. W opisie produktu wskazano dostępność rozwiązań następujących problemów:

Znalezienie konkretnego rozwiązania równania różniczkowego drugiego rzędu i obliczenie wartości funkcji wynikowej dla podanej wartości argumentu z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
Znalezienie rozwiązania ogólnego równania różniczkowego drugiego rzędu z możliwością redukcji rzędu.
Rozwiązanie problemu Cauchy'ego dla równania różniczkowego drugiego rzędu z możliwością redukcji rzędu.
Całkowanie równania różniczkowego pierwszego rzędu.
Zapisanie równania krzywej przechodzącej przez zadany punkt i posiadającej określone właściwości.

Rozwiązania zostały wykonane w programie Microsoft Word 2003 z wykorzystaniem edytora formuł. Wszystkie rozwiązania są szczegółowo opisane i opatrzone objaśnieniami krok po kroku.

***

Świetne rozwiązanie na przygotowanie się do egzaminu z matematyki!
Dzięki IDZ 11.2 – Opcja 16 lepiej rozumiem materiał kursu.
Decyzje Ryabushko A.P. bardzo szczegółowe i zrozumiałe.
Dzięki temu IDZ udało nam się rozwiązać wszystkie problemy!
Bardzo wygodne jest to, że materiał jest prezentowany w formie elektronicznej.
IDZ 11.2 – Opcja 16 pomaga zaoszczędzić czas podczas przygotowań do egzaminu.
Doskonały wybór dla tych, którzy chcą udoskonalić swoją wiedzę z matematyki.
Decyzje Ryabushko A.P. Pomóż zrozumieć złożone tematy.
Koszt cyfrowego IDZ jest niższy niż wersji papierowej.
Wszystkim uczniom przygotowującym się do egzaminu z matematyki polecam IDZ 11.2 – Opcja 16!