IDZ 11.2 – Alternativ 16. Lösningar Ryabushko A.P.

1. Låt oss hitta en speciell lösning på differentialekvation 1.16 y´´= x/e2x med metoden för obestämda koefficienter. Låt oss anta att lösningen har formen y = ax^2 + bx + c, där a, b och c är okända koefficienter. Då y´ = 2ax + b och y´´ = 2a. Ersätt dessa uttryck i den ursprungliga ekvationen och få: 2a = x/e2x a = x/(2e2x) y´ = 2ax + b = x/e2x b = x/e2x - 2ax = x/e2x - x^2/e2x = x (1-x)/(2e2x) Således har den partiella lösningen formen: y = (x^2/(2e2x)) + (x(1-x)/(2e2x)) + c y = (x^2 + x - x^2e2x + 2ce2x)/(2e2x) För att hitta värdet på funktionen y=φ(x) vid x=x0 = −1/2, ersätt x0 i det resulterande uttrycket och hitta värdet på funktionen korrekt med två decimaler: y = ((-1/2)^2 + (-1/2) - (-1/2)^2e^(2*(-1/2)) + 2ce^(2*( -1/2))) /(2e^(2*(-1/2))) ≈ -0,22 + c Nu måste du hitta värdet på konstanten c, med hjälp av initialvillkoren y(0) = 1/ 4 och y´(0) = −1/4: y(0) = (0^2 + 0 - 0^2e^(2)0) + 2ce^(20))/(2e^(2*0)) = c/2 = 1/4 c = 1/2 En speciell lösning till differentialekvation 1.16 med x0 = −1/2 har alltså formen: y = (x ^2 + x - x^2e2x + e)/2e2x och y(x0) ≈ -0,22 + 0,5 ≈ 0,28.

2. Låt oss hitta en generell lösning på differentialekvationen som tillåter en reduktion i ordningen 2.16 y´´+ 2xy´2 = 0. Låt oss beteckna y´ = p(x) och notera att y´´ = p´ + xp^ 2. Ersätt dessa uttryck i den ursprungliga ekvationen och få: p´ + xp^2 + 2xp^2 = 0 (p^2 + 1)p´ + 2xp^2 = 0 Dividera båda sidor med (p^2 + 1) och integrera : ∫(p^2+1)^(-1) dp = - ∫(2x/(p^2+1)) dx arctan(p) = -ln|p^2+1| + C där C är en godtycklig integrationskonstant. Den allmänna lösningen av differentialekvationen har alltså formen: arctan(p) = -ln|p^2+1| + C där p = y´ och C är en godtycklig konstant.

3. Låt oss lösa Cauchy-problemet för en differentialekvation som tillåter en reduktion av ordningen 3.16 y´´+ 2/(1−y)y´2= 0, med initiala villkor y(0) = 0, y´(0) = 1. Ersätt y´ = p(y) och notera att y´´ = p´p. Ersätt dessa uttryck i den ursprungliga ekvationen och få: p´p + 2p^2/(1-y) = 0 p´p(1-y) + 2p^2 = 0 Dividera båda sidor med p^3(1-y ) och integrera: ∫(p´p/(p^3(1-y))) dy = -∫(2/(p^2)) dp -1/(2p^2) + ln|p| -ln|1-y| = C där C är en godtycklig integrationskonstant. Låt oss ersätta initialvillkoren y(0) = 0, y´(0) = 1 och hitta värdet på konstanten C: -1/(2*1^2) + ln|1| - ln|1-0| = C C = -1/2 Lösningen på Cauchy-problemet har alltså formen: -1/(2p^2) + ln|p| -ln|1-y| = -1/2 där p = y´ och y(0) = 0, y´(0) = 1.

4. Låt oss integrera följande ekvationer 4.16 (xdx+ydy)/√(x^2+y^2)+(xdy-ydx)/x^2=0. För att göra detta, notera att den vänstra sidan är lika med den totala derivatan av (y/√(x^2+y^2)) med avseende på x, och den högra sidan är lika med derivatan av (y/x) med avseende på x. Den ursprungliga ekvationen kan alltså skrivas om som: d/dx (y/√(x^2+y^2)) = d/dx (y/x) Vi integrerar båda sidorna från x0 till x: ∫(x0)^ ( x) d/dt (y/√(t^2+y^2)) dt = ∫(x0)^(x) d/dt (y/t) dt [y/√(x^2+y^ 2 )] - [y/√(x0^2+y^2)] = ln|x| - ln|x0| y/√(x^2+y^2) = ln|x| - ln|x0| + y/√(x0^2+y^2) y/√(x^2+y^2) - y/√(x0^2+y^2) = ln|x| - ln|x0| y(√(x0^2+y^2) - √(x^2+y^2)) = (√(x0^2+y^2))ln|x| - (√(x^2+y^2))ln|x0| Således har integralkurvan formen: y = ((√(x^2+y^2))ln|x0| - (√(x0^2+y^2))ln|x|)/(√( x0 ^2+y^2) - √(x^2+y^2))

5. Låt oss skriva ekvationen för en kurva som går genom punkten A(−4, 1) och har följande egenskap: längden på vinkelrät ritad från origo till tangenten till kurvan är lika med abskissan för tangentpunkten . Låt oss tillämpa formeln för längden på vinkelrät från punkten (x0, y0) till den räta linjen Ax + By + C = 0: d = |Ax0 + By0 + C|/sqrt(A^2 + B^2) För vårt problem bör vinkelrät sänkas från origo, så att vi kan skriva ekvationen för tangenten i punkten (x0, y0) som y - y0 = k(x - x0), där k är tangentens lutning. Eftersom vinkelrät måste vara lika med abskissan för tangentpunkten är dess längd lika med |x0

IDZ 11.2 – Alternativ 16. Lösningar Ryabushko A.P. är en digital produkt avsedd för studenter som studerar matematik vid universitet och andra läroanstalter. Denna produkt innehåller lösningar på problem från IDZ 11.2 i matematisk analys, sammanställd av författaren Ryabushko A.P. Produkten presenteras i form av en elektronisk fil i HTML-format med vacker design och enkel navigering genom uppgifter.

I filen kan du hitta lösningar på problem inom olika ämnen av matematisk analys, såsom differentialekvationer, integraler, serier, funktioner av flera variabler och andra. Varje lösning presenteras i en detaljerad steg-för-steg-förklaring, vilket gör denna produkt användbar för elever som vill förbättra sina matematikkunskaper.

Denna digitala produkt kan köpas från en digital produktbutik och användas i utbildningssyfte, som ytterligare material för självförberedelser inför tentor och prov. Det skiljer sig från pappersläroböcker genom att det enkelt och snabbt kan hittas och laddas ner och användas på en mängd olika enheter som datorer, surfplattor och smartphones. Dessutom tar den inte upp hyllutrymme och är alltid tillgänglig för användning när som helst, var som helst.

IDZ 11.2 – Alternativ 16. Lösningar Ryabushko A.P. är en uppsättning lösningar på differentialekvationer avsedda för studenter som studerar matematik vid universitet och andra utbildningsinstitutioner. Uppsättningen innehåller lösningar på tre problem: att hitta en speciell lösning på en differentialekvation som tillåter en reduktion i ordningen; hitta en generell lösning på en differentialekvation som tillåter en reduktion i ordningen; lösning av Cauchy-problemet för en differentialekvation som medger en reduktion i ordning. Uppsättningen innehåller också en lösning på problemet med att konstruera en kurva som går genom en given punkt och har en viss egenskap. Lösningar presenteras i form av matematiska formler och beräkningar, åtföljda av detaljerade förklaringar och kommentarer. Setet är en digital produkt och kan laddas ner i elektroniskt format.

***

IDZ 11.2 – Alternativ 16. Lösningar Ryabushko A.P. är en uppsättning lösningar på problem inom matematisk analys och differentialekvationer, utförd av författaren Ryabushko A.P. Produktbeskrivningen anger tillgången på lösningar på följande problem:

1. Att hitta en speciell lösning på en differentialekvation av andra ordningen och beräkna värdet av den resulterande funktionen för ett givet argumentvärde exakt med två decimaler.
2. Att hitta en generell lösning på en andra ordningens differentialekvation med möjlighet att reducera ordningen.
3. Lösning av Cauchy-problemet för en andra ordningens differentialekvation med möjlighet att reducera ordningen.
4. Integration av en differentialekvation av första ordningen.
5. Att skriva ekvationen för en kurva som går genom en given punkt och har vissa egenskaper.

Lösningarna gjordes i Microsoft Word 2003 med hjälp av formelredigeraren. Alla lösningar beskrivs i detalj och förses med steg-för-steg förklaringar.

***

1. En bra lösning för att förbereda sig för ett matteprov!
2. Tack vare IDZ 11.2 – Alternativ 16 förstår jag kursmaterialet bättre.
3. Beslut Ryabushko A.P. mycket detaljerad och förståelig.
4. Vi lyckades lösa alla problem tack vare detta IDZ!
5. Det är mycket bekvämt att materialet presenteras i elektronisk form.
6. IDZ 11.2 – Alternativ 16 hjälper till att spara tid när du förbereder dig för tentamen.
7. Ett utmärkt val för dig som vill förbättra sina kunskaper i matematik.
8. Beslut Ryabushko A.P. Hjälper dig att förstå komplexa ämnen.
9. Kostnaden för digital IDZ är lägre än för pappersversionen.
10. Jag rekommenderar IDZ 11.2 – Alternativ 16 till alla studenter som förbereder sig för matematikprovet!

Egenheter:

Mycket bekvämt och begripligt material för att förbereda sig för provet i matematik.

Lösningar på problem presenteras tydligt och koncist, utan onödiga ord.

Tack vare detta IDZ kom jag lätt på ämnen som tidigare verkade svåra för mig.

Mycket högkvalitativ och användbar produkt för skolbarn och studenter.

Lösningarna presenteras i ett bekvämt format, vilket gör dem lätta att lära sig.

Tack till författaren för ett så användbart och begripligt material!

Jag förberedde mig snabbt och enkelt för tentamen tack vare detta IDZ.

Rekommenderar starkt denna produkt till alla som behöver hjälp med att lära sig matematik.

Tack vare detta IDZ började jag känna mig mer självsäker i mina matteklasser.

Superhjälpsamma grejer! Jag rekommenderar det till alla som vill klara provet i matematik framgångsrikt.