IDZ 11.2 – Tùy chọn 16. Giải pháp Ryabushko A.P.

Hãy tìm nghiệm cụ thể của phương trình vi phân 1.16 y''= x/e2x bằng phương pháp hệ số bất xác định. Giả sử rằng nghiệm có dạng y = ax^2 + bx + c, trong đó a, b và c là các hệ số chưa biết. Khi đó y' = 2ax + b và y'' = 2a. Thay các biểu thức này vào phương trình ban đầu và nhận được: 2a = x/e2x a = x/(2e2x) y' = 2ax + b = x/e2x b = x/e2x - 2ax = x/e2x - x^2/e2x = x (1-x)/(2e2x) Do đó, nghiệm từng phần có dạng: y = (x^2/(2e2x)) + (x(1-x)/(2e2x)) + c y = (x^2 + x - x^2e2x + 2ce2x)/(2e2x) Để tìm giá trị của hàm y=φ(x) tại x=x0 = −1/2, thay x0 vào biểu thức thu được và tìm giá trị của hàm một cách chính xác đến hai chữ số thập phân: y = ((-1/2)^2 + (-1/2) - (-1/2)^2e^(2*(-1/2)) + 2ce^(2*( -1/2))) /(2e^(2*(-1/2))) ≈ -0.22 + c Bây giờ bạn cần tìm giá trị của hằng số c, sử dụng các điều kiện ban đầu y(0) = 1/ 4 và y'(0) = −1/4: y(0) = (0^2 + 0 - 0^2e^(20) + 2ce^(20))/(2e^(2*0)) = c/2 = 1/4 c = 1/2 Do đó, nghiệm cụ thể của phương trình vi phân 1.16 với x0 = −1/2 có dạng: y = (x ^2 + x - x^2e2x + e)/2e2x và y(x0) ≈ -0,22 + 0,5 ≈ 0,28.
Chúng ta hãy tìm một nghiệm tổng quát cho phương trình vi phân cho phép rút gọn theo thứ tự 2,16 y''+ 2xy'2 = 0. Hãy ký hiệu y' = p(x) và lưu ý rằng y'' = p' + xp^ 2. Thay các biểu thức này vào phương trình ban đầu và nhận được: p' + xp^2 + 2xp^2 = 0 (p^2 + 1)p' + 2xp^2 = 0 Chia cả hai vế cho (p^2 + 1) và lấy tích phân : ∫(p^2+1)^(-1) dp = - ∫(2x/(p^2+1)) dx arctan(p) = -ln|p^2+1| + C trong đó C là hằng số tích phân tùy ý. Như vậy, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân có dạng: arctan(p) = -ln|p^2+1| + C trong đó p = y' và C là hằng số tùy ý.
Chúng ta hãy giải bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thừa nhận sự rút gọn bậc 3,16 y''+ 2/(1−y)y´2= 0, với các điều kiện ban đầu y(0) = 0, y´(0) = 1. Thay y' = p(y) và lưu ý rằng y'' = p'p. Thay các biểu thức này vào phương trình ban đầu và nhận được: p'p + 2p^2/(1-y) = 0 p'p(1-y) + 2p^2 = 0 Chia cả hai vế cho p^3(1-y ) và lấy tích phân: ∫(p'p/(p^3(1-y))) dy = -∫(2/(p^2)) dp -1/(2p^2) + ln|p| -ln|1-y| = C trong đó C là hằng số tích phân tùy ý. Thay các điều kiện ban đầu y(0) = 0, y'(0) = 1 và tìm giá trị của hằng số C: -1/(2*1^2) + ln|1| - ln|1-0| = C C = -1/2 Vậy nghiệm của bài toán Cauchy có dạng: -1/(2p^2) + ln|p| -ln|1-y| = -1/2 trong đó p = y' và y(0) = 0, y'(0) = 1.
Hãy tích phân các phương trình sau 4.16 (xdx+ydy)/√(x^2+y^2)+(xdy-ydx)/x^2=0. Để làm điều này, lưu ý rằng vế trái bằng tổng đạo hàm của (y/√(x^2+y^2)) đối với x và vế phải bằng đạo hàm của (y/x) đối với x. Do đó, phương trình ban đầu có thể được viết lại thành: d/dx (y/√(x^2+y^2)) = d/dx (y/x) Ta lấy tích phân cả hai vế từ x0 đến x: ∫(x0)^ ( x) d/dt (y/√(t^2+y^2)) dt = ∫(x0)^(x) d/dt (y/t) dt [y/√(x^2+y^ 2 )] - [y/√(x0^2+y^2)] = ln|x| - ln|x0| y/√(x^2+y^2) = ln|x| - ln|x0| + y/√(x0^2+y^2) y/√(x^2+y^2) - y/√(x0^2+y^2) = ln|x| - ln|x0| y(√(x0^2+y^2) - √(x^2+y^2)) = (√(x0^2+y^2))ln|x| - (√(x^2+y^2))ln|x0| Do đó, đường cong tích phân có dạng: y = ((√(x^2+y^2))ln|x0| - (√(x0^2+y^2))ln|x|)/(√( x0 ^2+y^2) - √(x^2+y^2))
Viết phương trình đường cong đi qua điểm A(−4, 1) và có tính chất sau: độ dài đường vuông góc kẻ từ gốc tọa độ đến tiếp tuyến của đường cong bằng hoành độ của điểm tiếp tuyến . Áp dụng công thức tính độ dài đường vuông góc kẻ từ điểm (x0, y0) đến đường thẳng Ax + By + C = 0: d = |Ax0 + By0 + C|/sqrt(A^2 + B^2) Đối với bài toán của chúng ta, đường vuông góc phải hạ thấp so với gốc tọa độ, vì vậy chúng ta có thể viết phương trình tiếp tuyến tại điểm (x0, y0) là y - y0 = k(x - x0), trong đó k là hệ số góc của tiếp tuyến. Vì đường vuông góc phải bằng hoành độ của điểm tiếp tuyến nên độ dài của nó bằng |x0

IDZ 11.2 – Tùy chọn 16. Giải pháp Ryabushko A.P. là một sản phẩm kỹ thuật số dành cho sinh viên học toán tại các trường đại học và các cơ sở giáo dục khác. Sản phẩm này chứa lời giải cho các bài toán từ IDZ 11.2 trong phân tích toán học, do tác giả Ryabushko A.P. Sản phẩm được trình bày dưới dạng tệp điện tử ở định dạng HTML với thiết kế đẹp mắt và dễ dàng điều hướng qua các tác vụ.

Trong tệp, bạn có thể tìm thấy lời giải cho các bài toán về các chủ đề phân tích toán học khác nhau, chẳng hạn như phương trình vi phân, tích phân, chuỗi, hàm nhiều biến và các hàm khác. Mỗi giải pháp được trình bày chi tiết theo từng bước giải thích, giúp sản phẩm này hữu ích cho những học sinh muốn cải thiện kỹ năng toán học của mình.

Sản phẩm kỹ thuật số này có thể được mua từ cửa hàng sản phẩm kỹ thuật số và được sử dụng cho mục đích giáo dục, làm tài liệu bổ sung để tự chuẩn bị cho các kỳ thi và bài kiểm tra. Nó khác với sách giáo khoa giấy ở chỗ nó có thể được tìm thấy và tải xuống dễ dàng và nhanh chóng cũng như sử dụng trên nhiều thiết bị như máy tính, máy tính bảng và điện thoại thông minh. Ngoài ra, nó không chiếm không gian kệ và luôn có sẵn để sử dụng mọi lúc, mọi nơi.

IDZ 11.2 – Tùy chọn 16. Giải pháp Ryabushko A.P. là bộ giải phương trình vi phân dành cho sinh viên học toán tại các trường đại học và các cơ sở giáo dục khác. Bộ này chứa lời giải của ba bài toán: tìm lời giải cụ thể của phương trình vi phân cho phép rút gọn thứ tự; tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cho phép giảm thứ tự; nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thừa nhận sự giảm bậc. Bộ này cũng chứa lời giải cho bài toán xây dựng đường cong đi qua một điểm cho trước và có một tính chất nhất định. Lời giải được trình bày dưới dạng công thức toán học và phép tính, kèm theo lời giải và nhận xét chi tiết. Bộ này là một sản phẩm kỹ thuật số và có thể được tải xuống ở định dạng điện tử.

***

IDZ 11.2 – Tùy chọn 16. Giải pháp Ryabushko A.P. là tập hợp các lời giải cho các bài toán giải tích và phương trình vi phân, được thực hiện bởi tác giả Ryabushko A.P. Mô tả sản phẩm cho biết sự sẵn có của các giải pháp cho các vấn đề sau:

Tìm một nghiệm cụ thể cho phương trình vi phân bậc hai và tính giá trị của hàm kết quả cho một giá trị đối số đã cho chính xác đến hai chữ số thập phân.
Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân bậc hai có khả năng giảm bậc.
Giải bài toán Cauchy cho phương trình vi phân bậc hai có khả năng giảm bậc.
Tích phân của phương trình vi phân bậc nhất.
Viết phương trình đường cong đi qua một điểm cho trước và có tính chất nhất định.

Lời giải được thực hiện trên Microsoft Word 2003 bằng trình soạn thảo công thức. Tất cả các giải pháp đều được mô tả chi tiết và kèm theo giải thích từng bước.

***

Một giải pháp tuyệt vời để chuẩn bị cho kỳ thi toán!
Nhờ IDZ 11.2 – Option 16, tôi hiểu rõ hơn nội dung khóa học.
Quyết định Ryabushko A.P. rất chi tiết và dễ hiểu.
Chúng tôi đã giải quyết được tất cả các vấn đề nhờ IDZ này!
Rất thuận tiện khi tài liệu được trình bày dưới dạng điện tử.
IDZ 11.2 – Option 16 giúp tiết kiệm thời gian khi ôn thi.
Một sự lựa chọn tuyệt vời cho những ai muốn nâng cao kiến thức về toán học.
Quyết định Ryabushko A.P. giúp bạn hiểu các chủ đề phức tạp.
Chi phí của IDZ kỹ thuật số thấp hơn so với phiên bản giấy.
Tôi giới thiệu IDZ 11.2 – Phương án 16 cho tất cả học sinh đang chuẩn bị cho kỳ thi toán!