IDZ 11.2 – Επιλογή 16. Λύσεις Ryabushko A.P.

1. Ας βρούμε μια συγκεκριμένη λύση στη διαφορική εξίσωση 1.16 y´´= x/e2x χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των απροσδιόριστων συντελεστών. Ας υποθέσουμε ότι η λύση έχει τη μορφή y = ax^2 + bx + c, όπου τα a, b και c είναι άγνωστοι συντελεστές. Τότε y´ = 2ax + b και y´´ = 2a. Αντικαταστήστε αυτές τις παραστάσεις στην αρχική εξίσωση και λάβετε: 2a = x/e2x a = x/(2e2x) y´ = 2ax + b = x/e2x b = x/e2x - 2ax = x/e2x - x^2/e2x = x (1-x)/(2e2x) Έτσι, η μερική λύση έχει τη μορφή: y = (x^2/(2e2x)) + (x(1-x)/(2e2x)) + c y = (x^2 + x - x^2e2x + 2ce2x)/(2e2x) Για να βρείτε την τιμή της συνάρτησης y=φ(x) στο x=x0 = −1/2, αντικαταστήστε το x0 στην παράσταση που προκύπτει και βρείτε την τιμή της συνάρτησης ακριβή με δύο δεκαδικά ψηφία: y = ((-1/2)^2 + (-1/2) - (-1/2)^2e^(2*(-1/2)) + 2ce^(2*( -1/2))) /(2e^(2*(-1/2))) ≈ -0,22 + c Τώρα πρέπει να βρείτε την τιμή της σταθεράς c, χρησιμοποιώντας τις αρχικές συνθήκες y(0) = 1/ 4 και y´(0) = −1/4: y(0) = (0^2 + 0 - 0^2e^(20) + 2ce^(20))/(2e^(2*0)) = c/2 = 1/4 c = 1/2 Έτσι, μια συγκεκριμένη λύση της διαφορικής εξίσωσης 1.16 με x0 = −1/2 έχει τη μορφή: y = (x ^2 + x - x^2e2x + e)/2e2x και y(x0) ≈ -0,22 + 0,5 ≈ 0,28.

2. Ας βρούμε μια γενική λύση στη διαφορική εξίσωση που επιτρέπει μια αναγωγή με τάξη 2,16 y´´+ 2xy´2 = 0. Ας συμβολίσουμε y´ = p(x) και σημειώστε ότι y´´ = p´ + xp^ 2. Αντικαταστήστε αυτές τις εκφράσεις στην αρχική εξίσωση και λάβετε: p´ + xp^2 + 2xp^2 = 0 (p^2 + 1)p´ + 2xp^2 = 0 Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με (p^2 + 1) και ενσωματώστε : ∫(p^2+1)^(-1) dp = - ∫(2x/(p^2+1)) dx arctan(p) = -ln|p^2+1| + C όπου C είναι μια αυθαίρετη σταθερά ολοκλήρωσης. Έτσι, η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης έχει τη μορφή: arctan(p) = -ln|p^2+1| + C όπου p = y´ και C είναι μια αυθαίρετη σταθερά.

3. Ας λύσουμε το πρόβλημα Cauchy για μια διαφορική εξίσωση που δέχεται αναγωγή τάξης 3,16 y´´+ 2/(1−y)y´2= 0, με αρχικές συνθήκες y(0) = 0, y´(0) = 1. Αντικαταστήστε το y´ = p(y) και σημειώστε ότι y´´ = p´p. Αντικαταστήστε αυτές τις εκφράσεις στην αρχική εξίσωση και λάβετε: p´p + 2p^2/(1-y) = 0 p´p(1-y) + 2p^2 = 0 Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με p^3(1-y ) και ενσωματώστε: ∫(p´p/(p^3(1-y))) dy = -∫(2/(p^2)) dp -1/(2p^2) + ln|p| -ln|1-y| = C όπου C είναι μια αυθαίρετη σταθερά ολοκλήρωσης. Ας αντικαταστήσουμε τις αρχικές συνθήκες y(0) = 0, y´(0) = 1 και ας βρούμε την τιμή της σταθεράς C: -1/(2*1^2) + ln|1| - ln|1-0| = C C = -1/2 Έτσι, η λύση στο πρόβλημα Cauchy έχει τη μορφή: -1/(2p^2) + ln|p| -ln|1-y| = -1/2 όπου p = y´ και y(0) = 0, y´(0) = 1.

4. Ας ενσωματώσουμε τις παρακάτω εξισώσεις 4.16 (xdx+ydy)/√(x^2+y^2)+(xdy-ydx)/x^2=0. Για να το κάνετε αυτό, σημειώστε ότι η αριστερή πλευρά είναι ίση με τη συνολική παράγωγο του (y/√(x^2+y^2)) ως προς το x και η δεξιά πλευρά είναι ίση με την παράγωγο του (y/x) ως προς το x. Έτσι, η αρχική εξίσωση μπορεί να ξαναγραφεί ως εξής: d/dx (y/√(x^2+y^2)) = d/dx (y/x) Ενσωματώνουμε και τις δύο πλευρές από x0 σε x: ∫(x0)^ ( x) d/dt (y/√(t^2+y^2)) dt = ∫(x0)^(x) d/dt (y/t) dt [y/√(x^2+y^ 2 )] - [y/√(x0^2+y^2)] = ln|x| - ln|x0| y/√(x^2+y^2) = ln|x| - ln|x0| + y/√(x0^2+y^2) y/√(x^2+y^2) - y/√(x0^2+y^2) = ln|x| - ln|x0| y(√(x0^2+y^2) - √(x^2+y^2)) = (√(x0^2+y^2))ln|x| - (√(x^2+y^2))ln|x0| Έτσι, η ολοκληρωτική καμπύλη έχει τη μορφή: y = ((√(x^2+y^2))ln|x0| - (√(x0^2+y^2))ln|x|)/(√( x0 ^2+y^2) - √(x^2+y^2))

5. Ας γράψουμε την εξίσωση μιας καμπύλης που διέρχεται από το σημείο A(−4, 1) και έχει την ακόλουθη ιδιότητα: το μήκος της κάθετου που σύρεται από την αρχή στην εφαπτομένη της καμπύλης είναι ίσο με την τετμημένη του σημείου εφαπτομένης . Ας εφαρμόσουμε τον τύπο για το μήκος της κάθετου από το σημείο (x0, y0) στην ευθεία Ax + By + C = 0: d = |Ax0 + By0 + C|/sqrt(A^2 + B^2) Για το πρόβλημά μας, η κάθετο πρέπει να χαμηλώσει από την αρχή, οπότε μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο (x0, y0) ως y - y0 = k(x - x0), όπου k είναι η κλίση της εφαπτομένης. Εφόσον η κάθετη πρέπει να είναι ίση με την τετμημένη του εφαπτομενικού σημείου, το μήκος της είναι ίσο με |x0

IDZ 11.2 – Επιλογή 16. Λύσεις Ryabushko A.P. είναι ένα ψηφιακό προϊόν που προορίζεται για μαθητές που σπουδάζουν μαθηματικά σε πανεπιστήμια και άλλα εκπαιδευτικά ιδρύματα. Αυτό το προϊόν περιέχει λύσεις σε προβλήματα από το IDZ 11.2 σε μαθηματική ανάλυση, που συντάχθηκε από τον συγγραφέα Ryabushko A.P. Το προϊόν παρουσιάζεται σε μορφή ηλεκτρονικού αρχείου σε μορφή HTML με όμορφο σχεδιασμό και εύκολη πλοήγηση στις εργασίες.

Στο αρχείο μπορείτε να βρείτε λύσεις σε προβλήματα σε διάφορα θέματα μαθηματικής ανάλυσης, όπως διαφορικές εξισώσεις, ολοκληρώματα, σειρές, συναρτήσεις πολλών μεταβλητών και άλλα. Κάθε λύση παρουσιάζεται σε μια λεπτομερή εξήγηση βήμα προς βήμα, καθιστώντας αυτό το προϊόν χρήσιμο για μαθητές που θέλουν να βελτιώσουν τις μαθηματικές τους δεξιότητες.

Αυτό το ψηφιακό προϊόν μπορεί να αγοραστεί από ένα κατάστημα ψηφιακών προϊόντων και να χρησιμοποιηθεί για εκπαιδευτικούς σκοπούς, ως πρόσθετο υλικό για αυτοπροετοιμασία για εξετάσεις και τεστ. Διαφέρει από τα χάρτινα εγχειρίδια στο ότι μπορεί να βρεθεί και να ληφθεί εύκολα και γρήγορα και να χρησιμοποιηθεί σε διάφορες συσκευές, όπως υπολογιστές, tablet και smartphone. Επιπλέον, δεν καταλαμβάνει χώρο στο ράφι και είναι πάντα διαθέσιμο για χρήση οποιαδήποτε στιγμή, οπουδήποτε.

IDZ 11.2 – Επιλογή 16. Λύσεις Ryabushko A.P. είναι ένα σύνολο λύσεων σε διαφορικές εξισώσεις που προορίζονται για μαθητές που σπουδάζουν μαθηματικά σε πανεπιστήμια και άλλα εκπαιδευτικά ιδρύματα. Το σύνολο περιέχει λύσεις σε τρία προβλήματα: εύρεση μιας συγκεκριμένης λύσης σε μια διαφορική εξίσωση που επιτρέπει τη μείωση στη σειρά. εύρεση μιας γενικής λύσης σε μια διαφορική εξίσωση που επιτρέπει τη μείωση στη σειρά. επίλυση του προβλήματος Cauchy για μια διαφορική εξίσωση που δέχεται αναγωγή κατά σειρά. Το σύνολο περιέχει επίσης μια λύση στο πρόβλημα της κατασκευής μιας καμπύλης που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο και έχει μια συγκεκριμένη ιδιότητα. Οι λύσεις παρουσιάζονται με τη μορφή μαθηματικών τύπων και υπολογισμών, που συνοδεύονται από λεπτομερείς επεξηγήσεις και σχόλια. Το σετ είναι ψηφιακό προϊόν και μπορείτε να το κατεβάσετε σε ηλεκτρονική μορφή.

***

IDZ 11.2 – Επιλογή 16. Λύσεις Ryabushko A.P. είναι ένα σύνολο λύσεων σε προβλήματα μαθηματικής ανάλυσης και διαφορικών εξισώσεων, που εκτελούνται από τον συγγραφέα Ryabushko A.P. Η περιγραφή του προϊόντος υποδεικνύει τη διαθεσιμότητα λύσεων στα ακόλουθα προβλήματα:

1. Η εύρεση μιας συγκεκριμένης λύσης σε μια διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης και ο υπολογισμός της τιμής της συνάρτησης που προκύπτει για μια δεδομένη τιμή ορίσματος με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων.
2. Εύρεση γενικής λύσης σε διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης με δυνατότητα μείωσης της τάξης.
3. Λύση του προβλήματος Cauchy για διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης με δυνατότητα μείωσης της τάξης.
4. Ολοκλήρωση διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης.
5. Γράψτε την εξίσωση μιας καμπύλης που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο και έχει ορισμένες ιδιότητες.

Οι λύσεις έγιναν στο Microsoft Word 2003 χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα επεξεργασίας τύπων. Όλες οι λύσεις περιγράφονται λεπτομερώς και παρέχονται με επεξηγήσεις βήμα προς βήμα.

***

1. Μια εξαιρετική λύση για την προετοιμασία για εξετάσεις μαθηματικών!
2. Χάρη στο IDZ 11.2 – Επιλογή 16, κατανοώ καλύτερα το υλικό του μαθήματος.
3. Αποφάσεις Ryabushko A.P. πολύ αναλυτικό και κατανοητό.
4. Καταφέραμε να λύσουμε όλα τα προβλήματα χάρη σε αυτό το IDZ!
5. Είναι πολύ βολικό το υλικό να παρουσιάζεται σε ηλεκτρονική μορφή.
6. IDZ 11.2 – Η επιλογή 16 βοηθά στην εξοικονόμηση χρόνου κατά την προετοιμασία για την εξέταση.
7. Μια εξαιρετική επιλογή για όσους θέλουν να βελτιώσουν τις γνώσεις τους στα μαθηματικά.
8. Αποφάσεις Ryabushko A.P. σας βοηθά να κατανοήσετε πολύπλοκα θέματα.
9. Το κόστος του ψηφιακού IDZ είναι χαμηλότερο από αυτό της έντυπης έκδοσης.
10. Προτείνω το IDZ 11.2 – Επιλογή 16 σε όλους τους μαθητές που προετοιμάζονται για τις εξετάσεις στα μαθηματικά!

Ιδιαιτερότητες:

Πολύ βολικό και κατανοητό υλικό για την προετοιμασία για τις εξετάσεις στα μαθηματικά.

Οι λύσεις στα προβλήματα παρουσιάζονται ξεκάθαρα και συνοπτικά, χωρίς περιττά λόγια.

Χάρη σε αυτό το IDZ, κατάλαβα εύκολα θέματα που προηγουμένως μου φαινόταν δύσκολα.

Πολύ ποιοτικό και χρήσιμο προϊόν για μαθητές και φοιτητές.

Οι λύσεις παρουσιάζονται σε μια βολική μορφή, η οποία τις καθιστά εύκολη στην εκμάθησή τους.

Ευχαριστώ τον συγγραφέα για το τόσο χρήσιμο και κατανοητό υλικό!

Ετοιμάστηκα γρήγορα και εύκολα για τις εξετάσεις χάρη σε αυτό το IDZ.

Συνιστούμε ανεπιφύλακτα αυτό το προϊόν σε όποιον χρειάζεται βοήθεια για την εκμάθηση μαθηματικών.

Χάρη σε αυτό το IDZ, άρχισα να νιώθω μεγαλύτερη αυτοπεποίθηση στα μαθηματικά μου.

Σούπερ χρήσιμα πράγματα! Το προτείνω σε όποιον θέλει να περάσει με επιτυχία τις εξετάσεις στα μαθηματικά.