IDZ 11.2 – Opção 16. Soluções Ryabushko A.P.

1. Vamos encontrar uma solução particular para a equação diferencial 1.16 y´´= x/e2x usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos supor que a solução tenha a forma y = ax^2 + bx + c, onde a, b e c são coeficientes desconhecidos. Então y´ = 2ax + b e y´´ = 2a. Substitua essas expressões na equação original e obtenha: 2a = x/e2x a = x/(2e2x) y´ = 2ax + b = x/e2x b = x/e2x - 2ax = x/e2x - x^2/e2x = x (1-x)/(2e2x) Assim, a solução parcial tem a forma: y = (x^2/(2e2x)) + (x(1-x)/(2e2x)) + c y = (x^2 + x - x^2e2x + 2ce2x)/(2e2x) Para encontrar o valor da função y=φ(x) em x=x0 = −1/2, substitua x0 na expressão resultante e encontre o valor da função com precisão com duas casas decimais: y = ((-1/2)^2 + (-1/2) - (-1/2)^2e^(2*(-1/2)) + 2ce^(2*( -1/2))) /(2e^(2*(-1/2))) ≈ -0,22 + c Agora você precisa encontrar o valor da constante c, usando as condições iniciais y(0) = 1/ 4 e y´(0) = −1/4: y(0) = (0^2 + 0 - 0^2e^(20) + 2ce^(20))/(2e^(2*0)) = c/2 = 1/4 c = 1/2 Assim, uma solução particular para a equação diferencial 1.16 com x0 = −1/2 tem a forma: y = (x ^2 + x - x^2e2x + e)/2e2x e y(x0) ≈ -0,22 + 0,5 ≈ 0,28.

2. Vamos encontrar uma solução geral para a equação diferencial que permita uma redução na ordem 2,16 y´´+ 2xy´2 = 0. Denotemos y´ = p(x) e observemos que y´´ = p´ + xp^ 2. Substitua essas expressões na equação original e obtenha: p´ + xp^2 + 2xp^2 = 0 (p^2 + 1)p´ + 2xp^2 = 0 Divida ambos os lados por (p^2 + 1) e integre : ∫(p^2+1)^(-1) dp = - ∫(2x/(p^2+1)) dx arctan(p) = -ln|p^2+1| + C onde C é uma constante de integração arbitrária. Assim, a solução geral da equação diferencial tem a forma: arctan(p) = -ln|p^2+1| + C onde p = y´ e C é uma constante arbitrária.

3. Vamos resolver o problema de Cauchy para uma equação diferencial que admite uma redução de ordem 3,16 y´´+ 2/(1−y)y´2= 0, com condições iniciais y(0) = 0, y´(0) = 1. Substitua y´ = p(y) e observe que y´´ = p´p. Substitua essas expressões na equação original e obtenha: p´p + 2p^2/(1-y) = 0 p´p(1-y) + 2p^2 = 0 Divida ambos os lados por p^3(1-y) ) e integre: ∫(p´p/(p^3(1-y))) dy = -∫(2/(p^2)) dp -1/(2p^2) + ln|p| -ln|1-a| = C onde C é uma constante de integração arbitrária. Vamos substituir as condições iniciais y(0) = 0, y´(0) = 1 e encontrar o valor da constante C: -1/(2*1^2) + ln|1| -ln|1-0| = C C = -1/2 Assim, a solução do problema de Cauchy tem a forma: -1/(2p^2) + ln|p| -ln|1-a| = -1/2 onde p = y´ e y(0) = 0, y´(0) = 1.

4. Vamos integrar as seguintes equações 4.16 (xdx+ydy)/√(x^2+y^2)+(xdy-ydx)/x^2=0. Para fazer isso, observe que o lado esquerdo é igual à derivada total de (y/√(x^2+y^2)) em relação a x, e o lado direito é igual à derivada de (y/x) em relação a x. Assim, a equação original pode ser reescrita como: d/dx (y/√(x^2+y^2)) = d/dx (y/x) Integramos ambos os lados de x0 a x: ∫(x0)^ (x) d/dt (y/√(t^2+y^2)) dt = ∫(x0)^(x) d/dt (y/t) dt [y/√(x^2+y^ 2 )] - [y/√(x0^2+y^2)] = ln|x| -ln|x0| y/√(x^2+y^2) = ln|x| -ln|x0| + y/√(x0^2+y^2) y/√(x^2+y^2) - y/√(x0^2+y^2) = ln|x| -ln|x0| y(√(x0^2+y^2) - √(x^2+y^2)) = (√(x0^2+y^2))ln|x| - (√(x^2+y^2))ln|x0| Assim, a curva integral tem a forma: y = ((√(x^2+y^2))ln|x0| - (√(x0^2+y^2))ln|x|)/(√( x0 ^2+y^2) - √(x^2+y^2))

5. Vamos escrever a equação de uma curva que passa pelo ponto A(−4, 1) e tem a seguinte propriedade: o comprimento da perpendicular traçada da origem à tangente à curva é igual à abcissa do ponto de tangência . Vamos aplicar a fórmula do comprimento da perpendicular do ponto (x0, y0) à reta Ax + By + C = 0: d = |Ax0 + By0 + C|/sqrt(A^2 + B^2) Para o nosso problema, a perpendicular deve ser reduzida a partir da origem, para que possamos escrever a equação da tangente no ponto (x0, y0) como y - y0 = k(x - x0), onde k é a inclinação da tangente. Como a perpendicular deve ser igual à abcissa do ponto tangente, seu comprimento é igual a |x0

IDZ 11.2 – Opção 16. Soluções Ryabushko A.P. é um produto digital destinado a estudantes de matemática em universidades e outras instituições de ensino. Este produto contém soluções para problemas do IDZ 11.2 em análise matemática, compiladas pelo autor Ryabushko A.P. O produto é apresentado na forma de arquivo eletrônico em formato HTML com belo design e fácil navegação pelas tarefas.

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IDZ 11.2 – Opção 16. Soluções Ryabushko A.P. é um conjunto de soluções para equações diferenciais destinado a estudantes de matemática em universidades e outras instituições de ensino. O conjunto contém soluções para três problemas: encontrar uma solução particular para uma equação diferencial que permita uma redução na ordem; encontrar uma solução geral para uma equação diferencial que permita uma redução na ordem; solução do problema de Cauchy para uma equação diferencial que admite redução de ordem. O conjunto também contém uma solução para o problema de construção de uma curva que passa por um determinado ponto e possui uma determinada propriedade. As soluções são apresentadas na forma de fórmulas matemáticas e cálculos, acompanhadas de explicações e comentários detalhados. O conjunto é um produto digital e pode ser baixado em formato eletrônico.

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IDZ 11.2 – Opção 16. Soluções Ryabushko A.P. é um conjunto de soluções para problemas de análise matemática e equações diferenciais, realizado pelo autor Ryabushko A.P. A descrição do produto indica a disponibilidade de soluções para os seguintes problemas:

1. Encontrar uma solução específica para uma equação diferencial de segunda ordem e calcular o valor da função resultante para um determinado valor de argumento com precisão de duas casas decimais.
2. Encontrar uma solução geral para uma equação diferencial de segunda ordem com possibilidade de redução da ordem.
3. Solução do problema de Cauchy para uma equação diferencial de segunda ordem com possibilidade de redução de ordem.
4. Integração de uma equação diferencial de primeira ordem.
5. Escrever a equação de uma curva que passa por um determinado ponto e possui certas propriedades.

As soluções foram feitas no Microsoft Word 2003 utilizando o editor de fórmulas. Todas as soluções são descritas detalhadamente e fornecidas com explicações passo a passo.

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