IDZ 11.2 – Opzione 16. Soluzioni Ryabushko A.P.

1. Troviamo una soluzione particolare dell'equazione differenziale 1.16 y´´= x/e2x utilizzando il metodo dei coefficienti indeterminati. Supponiamo che la soluzione abbia la forma y = ax^2 + bx + c, dove a, b e c sono coefficienti sconosciuti. Allora y´ = 2ax + b e y´´ = 2a. Sostituisci queste espressioni nell'equazione originale e ottieni: 2a = x/e2x a = x/(2e2x) y´ = 2ax + b = x/e2x b = x/e2x - 2ax = x/e2x - x^2/e2x = x (1-x)/(2e2x) Pertanto la soluzione parziale ha la forma: y = (x^2/(2e2x)) + (x(1-x)/(2e2x)) + c y = (x^2 + x - x^2e2x + 2ce2x)/(2e2x) Per trovare il valore della funzione y=φ(x) in x=x0 = −1/2, sostituisci x0 nell'espressione risultante e trova il valore accurato della funzione a due cifre decimali: y = ((-1/2)^2 + (-1/2) - (-1/2)^2e^(2*(-1/2)) + 2ce^(2*( -1/2))) /(2e^(2*(-1/2))) ≈ -0.22 + c Ora devi trovare il valore della costante c, utilizzando le condizioni iniziali y(0) = 1/ 4 e y´(0) = −1/4: y(0) = (0^2 + 0 - 0^2e^(20) + 2ce^(20))/(2e^(2*0)) = c/2 = 1/4 c = 1/2 Pertanto, una soluzione particolare dell'equazione differenziale 1.16 con x0 = −1/2 ha la forma: y = (x ^2 + x - x^2e2x + e)/2e2x e y(x0) ≈ -0,22 + 0,5 ≈ 0,28.

2. Troviamo una soluzione generale all'equazione differenziale che consenta una riduzione nell'ordine 2.16 y´´+ 2xy´2 = 0. Indichiamo y´ = p(x) e notiamo che y´´ = p´ + xp^ 2. Sostituisci queste espressioni nell'equazione originale e ottieni: p´ + xp^2 + 2xp^2 = 0 (p^2 + 1)p´ + 2xp^2 = 0 Dividi entrambi i lati per (p^2 + 1) e integra : ∫(p^2+1)^(-1) dp = - ∫(2x/(p^2+1)) dx arctan(p) = -ln|p^2+1| + C dove C è una costante di integrazione arbitraria. Pertanto, la soluzione generale dell'equazione differenziale ha la forma: arctan(p) = -ln|p^2+1| + C dove p = y´ e C è una costante arbitraria.

3. Risolviamo il problema di Cauchy per un'equazione differenziale che ammette una riduzione di ordine 3.16 y´´+ 2/(1−y)y´2= 0, con condizioni iniziali y(0) = 0, y´(0) = 1. Sostituisci y´ = p(y) e nota che y´´ = p´p. Sostituisci queste espressioni nell'equazione originale e ottieni: p´p + 2p^2/(1-y) = 0 p´p(1-y) + 2p^2 = 0 Dividi entrambi i lati per p^3(1-y ) e integriamo: ∫(p´p/(p^3(1-y))) dy = -∫(2/(p^2)) dp -1/(2p^2) + ln|p| -ln|1-y| = C dove C è una costante di integrazione arbitraria. Sostituiamo le condizioni iniziali y(0) = 0, y´(0) = 1 e troviamo il valore della costante C: -1/(2*1^2) + ln|1| - ln|1-0| = C C = -1/2 Pertanto la soluzione del problema di Cauchy ha la forma: -1/(2p^2) + ln|p| -ln|1-y| = -1/2 dove p = y´ e y(0) = 0, y´(0) = 1.

4. Integriamo le seguenti equazioni 4.16 (xdx+ydy)/√(x^2+y^2)+(xdy-ydx)/x^2=0. Per fare ciò, nota che il lato sinistro è uguale alla derivata totale di (y/√(x^2+y^2)) rispetto a x, e il lato destro è uguale alla derivata di (y/x) rispetto a x. Pertanto, l'equazione originale può essere riscritta come: d/dx (y/√(x^2+y^2)) = d/dx (y/x) Integriamo entrambi i membri da x0 a x: ∫(x0)^ ( x) d/dt (y/√(t^2+y^2)) dt = ∫(x0)^(x) d/dt (y/t) dt [y/√(x^2+y^ 2 )] - [y/√(x0^2+y^2)] = ln|x| -ln|x0| y/√(x^2+y^2) = ln|x| -ln|x0| + y/√(x0^2+y^2) y/√(x^2+y^2) - y/√(x0^2+y^2) = ln|x| -ln|x0| y(√(x0^2+y^2) - √(x^2+y^2)) = (√(x0^2+y^2))ln|x| - (√(x^2+y^2))ln|x0| Pertanto, la curva integrale ha la forma: y = ((√(x^2+y^2))ln|x0| - (√(x0^2+y^2))ln|x|)/(√( x0 ^2+y^2) - √(x^2+y^2))

5. Scriviamo l'equazione di una curva passante per il punto A(−4, 1) e avente la seguente proprietà: la lunghezza della perpendicolare tracciata dall'origine alla tangente alla curva è uguale all'ascissa del punto di tangenza . Applichiamo la formula per la lunghezza della perpendicolare dal punto (x0, y0) alla retta Ax + By + C = 0: d = |Ax0 + By0 + C|/sqrt(A^2 + B^2) Per il nostro problema, la perpendicolare dovrebbe essere abbassata dall'origine, quindi possiamo scrivere l'equazione della tangente nel punto (x0, y0) come y - y0 = k(x - x0), dove k è la pendenza della tangente. Poiché la perpendicolare deve essere uguale all'ascissa del punto tangente, la sua lunghezza è pari a |x0

IDZ 11.2 – Opzione 16. Soluzioni Ryabushko A.P. è un prodotto digitale destinato agli studenti che studiano matematica nelle università e in altre istituzioni educative. Questo prodotto contiene soluzioni ai problemi di IDZ 11.2 nell'analisi matematica, compilate dall'autore Ryabushko A.P. Il prodotto si presenta sotto forma di file elettronico in formato HTML con un bel design e una facile navigazione tra le attività.

Nel file puoi trovare soluzioni a problemi su vari argomenti di analisi matematica, come equazioni differenziali, integrali, serie, funzioni di più variabili e altri. Ogni soluzione è presentata in una spiegazione dettagliata passo dopo passo, rendendo questo prodotto utile per gli studenti che desiderano migliorare le proprie capacità matematiche.

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IDZ 11.2 – Opzione 16. Soluzioni Ryabushko A.P. è un insieme di soluzioni alle equazioni differenziali destinate agli studenti che studiano matematica nelle università e in altre istituzioni educative. Il set contiene soluzioni a tre problemi: trovare una soluzione particolare a un'equazione differenziale che consenta una riduzione dell'ordine; trovare una soluzione generale a un'equazione differenziale che consenta una riduzione dell'ordine; soluzione del problema di Cauchy per un'equazione differenziale che ammette una riduzione dell'ordine. Il set contiene anche una soluzione al problema di costruire una curva passante per un dato punto e avente una certa proprietà. Le soluzioni sono presentate sotto forma di formule e calcoli matematici, accompagnati da spiegazioni e commenti dettagliati. Il set è un prodotto digitale e può essere scaricato in formato elettronico.

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IDZ 11.2 – Opzione 16. Soluzioni Ryabushko A.P. è un insieme di soluzioni a problemi di analisi matematica ed equazioni differenziali, eseguite dall'autore Ryabushko A.P. La descrizione del prodotto indica la disponibilità di soluzioni ai seguenti problemi:

1. Trovare una soluzione particolare a un'equazione differenziale del secondo ordine e calcolare il valore della funzione risultante per un dato valore di argomento accurato fino a due cifre decimali.
2. Trovare una soluzione generale ad un'equazione differenziale del secondo ordine con la possibilità di ridurre l'ordine.
3. Soluzione del problema di Cauchy per un'equazione differenziale del secondo ordine con possibilità di ridurre l'ordine.
4. Integrazione di un'equazione differenziale del primo ordine.
5. Scrivere l'equazione di una curva passante per un dato punto e avente determinate proprietà.

Le soluzioni sono state realizzate in Microsoft Word 2003 utilizzando l'editor di formule. Tutte le soluzioni sono descritte in dettaglio e fornite con spiegazioni passo passo.

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