Solução para o problema 17.2.4 da coleção de Kepe O.E.

17.2.4 É necessário determinar o principal momento de inércia da roda em relação ao seu centro de massa O. Este cálculo é necessário desde que a roda gire em torno de seu centro de massa a uma velocidade descrita pela lei φ = 2t2. A massa da roda é de 2 kg e está uniformemente distribuída ao longo do aro de raio r = 20 cm.

Responder:

O principal momento de inércia da roda é calculado pela fórmula I = Σmr², onde Σmr² é a soma dos produtos da massa da partícula pelo quadrado da distância ao eixo de rotação.

Primeiro, vamos encontrar a massa de uma partícula elementar da roda. Para fazer isso, divida a massa da roda pelo número de partículas elementares nas quais a roda pode ser dividida.

A massa de uma partícula elementar pode ser encontrada usando a fórmula m = M/N, onde M é a massa da roda e N é o número de partículas elementares.

Assim, a massa de uma partícula elementar é m = 2 kg / (2πr/N) = 2N/π gramas.

Agora podemos calcular o principal momento de inércia da roda. Observe que a distância do centro de massa O ao eixo de rotação é igual ao raio da roda r. Observe também que a aceleração angular da roda é igual à segunda derivada do ângulo φ em relação ao tempo: ω = d²φ/dt² = 4 rad/s².

I = Σmr² = ∫(0→2πr) (2N/π)r²dφ = 4Nr²

Assim, o momento principal de inércia da roda é igual a -0,32 kg * m² (-4Nr² * ω).

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Problema 17.2.4 da coleção de Kepe O.?. consiste em determinar o principal momento de inércia da roda em relação ao centro de massa O sob determinadas condições.

Uma roda pesando 2 kg gira em torno do centro de massa O de acordo com a lei φ = 2t2, onde φ é o ângulo de rotação da roda e t é o tempo. O raio da roda é de 20 cm e a massa está distribuída uniformemente ao longo do aro. É necessário encontrar o principal momento de inércia da roda em relação ao centro de massa O.

A solução para este problema envolve o cálculo do momento de inércia da roda em relação ao centro de massa O e a aplicação da fórmula de cálculo do momento principal das forças de inércia. O momento de inércia da roda pode ser calculado pela fórmula:

Eu = senhor ^ 2/2,

onde m é a massa da roda e r é o raio da roda.

Substituindo os valores dados, obtemos:

I = 2 * (0,2) ^ 2/2 = 0,02 kg * m ^ 2.

A seguir, para calcular o momento de inércia principal, é necessário multiplicar o momento de inércia da roda pelo quadrado da velocidade da roda:

J = eu * ω ^ 2,

onde ω é a velocidade angular de rotação da roda.

A velocidade angular de rotação da roda pode ser encontrada como a derivada do ângulo φ em relação ao tempo t:

ω = dφ/dt = 4t.

Substituindo os valores dados, obtemos:

ω = 4t,

Eu = 0,02 kg * m ^ 2,

J = I * ω^2 = 0,02 * (4t)^2 = 0,32t^2.

Assim, o principal momento de inércia da roda em relação ao centro de massa O é igual a 0,32t^2. Em t = -0,4 segundos este momento é -0,32 kg * m^2.

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