Lösung zu Aufgabe 17.2.4 aus der Sammlung von Kepe O.E.

17.2.4 Es ist notwendig, das Hauptträgheitsmoment des Rades relativ zu seinem Massenschwerpunkt O zu bestimmen. Diese Berechnung ist notwendig, vorausgesetzt, dass sich das Rad mit einer durch das Gesetz φ = 2t2 beschriebenen Geschwindigkeit um seinen Massenschwerpunkt dreht. Die Masse des Rades beträgt 2 kg und ist gleichmäßig über die Felge mit dem Radius r = 20 cm verteilt.

Antwort:

Das Hauptträgheitsmoment des Rades wird nach der Formel I = Σmr² berechnet, wobei Σmr² die Summe der Produkte der Teilchenmasse mit dem Quadrat des Abstands zur Rotationsachse ist.

Lassen Sie uns zunächst die Masse eines Elementarteilchens des Rades ermitteln. Teilen Sie dazu die Masse des Rades durch die Anzahl der Elementarteilchen, in die sich das Rad zerlegen lässt.

Die Masse eines Elementarteilchens kann mit der Formel m = M/N ermittelt werden, wobei M die Masse des Rades und N die Anzahl der Elementarteilchen ist.

Somit beträgt die Masse eines Elementarteilchens m = 2 kg / (2πr/N) = 2N/π Gramm.

Jetzt können wir das Hauptträgheitsmoment des Rades berechnen. Beachten Sie, dass der Abstand vom Massenschwerpunkt O zur Drehachse gleich dem Radradius r ist. Beachten Sie auch, dass die Winkelbeschleunigung des Rades gleich der zweiten Ableitung des Winkels φ nach der Zeit ist: ω = d²φ/dt² = 4 rad/s².

I = Σmr² = ∫(0→2πr) (2N/π)r²dφ = 4Nr²

Somit beträgt das Hauptträgheitsmoment des Rades -0,32 kg * m² (-4Nr² * ω).

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Aufgabe 17.2.4 aus der Sammlung von Kepe O.?. besteht darin, das Hauptträgheitsmoment des Rades relativ zum Massenschwerpunkt O unter gegebenen Bedingungen zu bestimmen.

Ein 2 kg schweres Rad dreht sich um den Massenschwerpunkt O nach dem Gesetz φ = 2t2, wobei φ der Drehwinkel des Rades und t die Zeit ist. Der Radradius beträgt 20 cm und die Masse ist gleichmäßig über die Felge verteilt. Es ist notwendig, das Hauptträgheitsmoment des Rades relativ zum Massenschwerpunkt O zu ermitteln.

Die Lösung dieses Problems besteht darin, das Trägheitsmoment des Rades relativ zum Massenschwerpunkt O zu berechnen und die Formel zur Berechnung des Hauptträgheitsmoments anzuwenden. Das Trägheitsmoment des Rades lässt sich nach folgender Formel berechnen:

I = mr^2/2,

Dabei ist m die Masse des Rades und r der Radius des Rades.

Wenn wir die angegebenen Werte ersetzen, erhalten wir:

I = 2 * (0,2)^2 / 2 = 0,02 kg * m^2.

Um das Hauptträgheitsmoment zu berechnen, muss als nächstes das Trägheitsmoment des Rades mit dem Quadrat der Raddrehzahl multipliziert werden:

J = I * ω^2,

wobei ω die Drehwinkelgeschwindigkeit des Rades ist.

Die Winkelgeschwindigkeit des Rades kann als Ableitung des Winkels φ nach der Zeit t ermittelt werden:

ω = dφ/dt = 4t.

Wenn wir die angegebenen Werte ersetzen, erhalten wir:

ω = 4t,

I = 0,02 kg * m^2,

J = I * ω^2 = 0,02 * (4t)^2 = 0,32t^2.

Somit beträgt das Hauptträgheitsmoment des Rades relativ zum Massenschwerpunkt O 0,32t^2. Bei t = -0,4 Sekunden beträgt dieser Moment -0,32 kg * m^2.

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