Solución al problema 17.2.4 de la colección de Kepe O.E.

17.2.4 Es necesario determinar el momento de inercia principal de la rueda con respecto a su centro de masa O. Este cálculo es necesario, siempre que la rueda gire alrededor de su centro de masa a una velocidad descrita por la ley φ = 2t2. La masa de la rueda es de 2 kg y está distribuida uniformemente sobre la llanta de radio r = 20 cm.

Respuesta:

El principal momento de inercia de la rueda se calcula mediante la fórmula I = Σmr², donde Σmr² es la suma de los productos de la masa de las partículas por el cuadrado de la distancia al eje de rotación.

Primero, encontremos la masa de una partícula elemental de la rueda. Para ello, divida la masa de la rueda por el número de partículas elementales en las que se puede dividir la rueda.

La masa de una partícula elemental se puede encontrar usando la fórmula m = M/N, donde M es la masa de la rueda y N es el número de partículas elementales.

Así, la masa de una partícula elemental es m = 2 kg / (2πr/N) = 2N/π gramos.

Ahora podemos calcular el momento de inercia principal de la rueda. Tenga en cuenta que la distancia desde el centro de masa O al eje de rotación es igual al radio de la rueda r. Tenga en cuenta también que la aceleración angular de la rueda es igual a la segunda derivada del ángulo φ con respecto al tiempo: ω = d²φ/dt² = 4 rad/s².

I = Σmr² = ∫(0→2πr) (2N/π)r²dφ = 4Nr²

Por tanto, el momento de inercia principal de la rueda es igual a -0,32 kg * m² (-4Nr² * ω).

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Problema 17.2.4 de la colección de Kepe O.?. Consiste en determinar el momento principal de inercia de la rueda con respecto al centro de masa O en determinadas condiciones.

Una rueda que pesa 2 kg gira alrededor del centro de masa O según la ley φ = 2t2, donde φ es el ángulo de rotación de la rueda y t es el tiempo. El radio de la rueda es de 20 cm y la masa está distribuida uniformemente a lo largo de la llanta. Es necesario encontrar el momento de inercia principal de la rueda con respecto al centro de masa O.

La solución a este problema pasa por calcular el momento de inercia de la rueda con respecto al centro de masa O y aplicar la fórmula para calcular el momento principal de las fuerzas de inercia. El momento de inercia de la rueda se puede calcular mediante la fórmula:

Yo = señor^2/2,

donde m es la masa de la rueda y r es el radio de la rueda.

Sustituyendo los valores dados obtenemos:

Yo = 2 * (0,2)^2 / 2 = 0,02 kg * m^2.

A continuación, para calcular el momento de inercia principal, es necesario multiplicar el momento de inercia de la rueda por el cuadrado de la velocidad de rotación de la rueda:

J = Yo * ω^2,

donde ω es la velocidad angular de rotación de la rueda.

La velocidad angular de rotación de la rueda se puede encontrar como la derivada del ángulo φ con respecto al tiempo t:

ω = dφ/dt = 4t.

Sustituyendo los valores dados obtenemos:

ω = 4t,

Yo = 0,02 kg * m^2,

J = I * ω^2 = 0,02 * (4t)^2 = 0,32t^2.

Por tanto, el principal momento de inercia de la rueda con respecto al centro de masa O es igual a 0,32t^2. En t = -0,4 segundos, este momento es -0,32 kg * m^2.

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