Soluzione al problema 17.2.4 dalla collezione di Kepe O.E.

17.2.4 È necessario determinare il momento d'inerzia principale della ruota rispetto al suo centro di massa O. Questo calcolo è necessario a condizione che la ruota ruoti attorno al suo centro di massa ad una velocità descritta dalla legge φ = 2t2. La massa della ruota è di 2 kg ed è uniformemente distribuita sul cerchio di raggio r = 20 cm.

Risposta:

Il momento d'inerzia principale della ruota è calcolato con la formula I = Σmr², dove Σmr² è la somma dei prodotti della massa delle particelle per il quadrato della distanza dall'asse di rotazione.

Per prima cosa troviamo la massa di una particella elementare della ruota. Per fare ciò, dividi la massa della ruota per il numero di particelle elementari in cui è possibile dividere la ruota.

La massa di una particella elementare può essere trovata utilizzando la formula m = M/N, dove M è la massa della ruota e N è il numero di particelle elementari.

Pertanto, la massa di una particella elementare è m = 2 kg / (2πr/N) = 2N/π grammi.

Ora possiamo calcolare il momento d'inerzia principale della ruota. Si noti che la distanza dal centro di massa O all'asse di rotazione è uguale al raggio della ruota r. Si noti inoltre che l'accelerazione angolare della ruota è pari alla derivata seconda dell'angolo φ rispetto al tempo: ω = d²φ/dt² = 4 rad/s².

I = Σmr² = ∫(0→2πr) (2N/π)r²dφ = 4Nr²

Pertanto, il momento d'inerzia principale della ruota è pari a -0,32 kg * m² (-4Nr² * ω).

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Problema 17.2.4 dalla collezione di Kepe O.?. consiste nel determinare il momento d'inerzia principale della ruota rispetto al centro di massa O in determinate condizioni.

Una ruota con una massa di 2 kg ruota attorno al centro di massa O secondo la legge φ = 2t2, dove φ è l'angolo di rotazione della ruota e t è il tempo. Il raggio della ruota è di 20 cm e la massa è distribuita uniformemente lungo il cerchio. È necessario trovare il momento d'inerzia principale della ruota rispetto al centro di massa O.

La soluzione a questo problema prevede il calcolo del momento di inerzia della ruota rispetto al centro di massa O e l'applicazione della formula per il calcolo delle principali forze del momento di inerzia. Il momento di inerzia della ruota può essere calcolato utilizzando la formula:

Io = signor^2/2,

dove m è la massa della ruota e r è il raggio della ruota.

Sostituendo i valori dati, otteniamo:

I = 2 * (0,2)^2 / 2 = 0,02 kg * m^2.

Successivamente, per calcolare il momento d'inerzia principale, è necessario moltiplicare il momento d'inerzia della ruota per il quadrato della velocità della ruota:

J = I*ω^2,

dove ω è la velocità angolare di rotazione della ruota.

La velocità angolare di rotazione della ruota può essere trovata come derivata dell'angolo φ rispetto al tempo t:

ω = dφ/dt = 4t.

Sostituendo i valori dati, otteniamo:

ω = 4t,

Io = 0,02 kg * m^2,

J = I * ω^2 = 0,02 * (4t)^2 = 0,32t^2.

Pertanto, il momento d'inerzia principale della ruota rispetto al centro di massa O è pari a 0,32t^2. A t = -0,4 secondi questo momento è -0,32 kg * m^2.

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