Solução para o problema 15.6.1 da coleção de Kepe O.E.

15.6.1 Um disco uniforme de raio 0,4 m pode girar em torno de um eixo horizontal perpendicular ao plano do disco e passando por um ponto em sua borda. Que velocidade angular inicial deve ser transmitida ao disco para que ele gire um quarto de volta? (Resposta 5.72)

Suponhamos que a velocidade angular inicial do disco seja $\omega$. Suponhamos também que $I$ denota o momento de inércia do disco em relação ao eixo horizontal de rotação, e $M$ denota o momento das forças que atuam no disco. Como o disco está em equilíbrio, o momento da força deve ser zero.

O momento de inércia do disco é igual a $I=\frac{1}{2}mr^2$, onde $m$ é a massa do disco e $r$ é o raio do disco. Para um determinado disco $I=\frac{1}{2}m(0,4\text{ m})^2=0,08m \text{ m}^2$.

A aceleração angular do disco pode ser encontrada na equação $M=I\alpha$, onde $\alpha$ é a aceleração angular do disco. Como o torque é zero, a aceleração angular também é zero. Assim, o disco girará a uma velocidade angular constante.

A velocidade angular está relacionada à velocidade linear $v$ e ao raio do disco $r$ da seguinte forma: $\omega=\frac{v}{r}$. Para que o disco gire um quarto de volta, cada ponto do disco deve mover um quarto da circunferência do disco. Isso corresponde a um arco de comprimento $s=\frac{1}{4}2\pi r=\frac{1}{2}\pi r$. A velocidade linear no final deste arco pode ser encontrada na equação $s=vt$. Como o disco gira um quarto de volta, o tempo de rotação é igual a um quarto do período de rotação, ou seja, $\frac{1}{4}\frac{2\pi}{\omega}$. Assim, $s=v\frac{1}{4}\frac{2\pi}{\omega}$, de onde $v=\frac{1}{2}\pi r\omega$.

Agora podemos expressar a velocidade angular inicial que deve ser transmitida ao disco para que ele gire um quarto de volta. Sabemos que $v=\frac{1}{2}\pi r\omega$, e que a velocidade linear no final do movimento é $v=\frac{1}{2}\pi r\omega$ , então podemos escrever:

$$\frac{1}{2}\pi r\omega = \frac{1}{2}\pi r\sqrt{\frac{1}{2}g}$$

Resolvendo esta equação para $\omega$, obtemos:

$$\omega=\frac{\sqrt{g}}{r}\aproximadamente 5,72 \text{ rad/s}$$

onde $g$ é a aceleração da gravidade. Assim, a velocidade angular inicial que deve ser transmitida ao disco para que ele gire um quarto de volta pode ser calculada como aproximadamente 5,72 rad/s.

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Nossa loja de produtos digitais oferece uma solução para o problema 15.6.1 da coleção de Kepe O.?. O problema é determinar a velocidade angular inicial que deve ser transmitida a um disco uniforme de raio 0,4 m para que ele gire um quarto de volta em torno de um eixo horizontal perpendicular ao plano do disco e passando por um ponto em sua borda.

Para resolver o problema usamos as equações da mecânica. O momento de inércia do disco é igual a $I=\frac{1}{2}mr^2$, onde $m$ é a massa do disco e $r$ é o raio do disco. Para um determinado disco $I=\frac{1}{2}m(0,4\text{ m})^2=0,08m \text{ m}^2$. A aceleração angular do disco pode ser encontrada na equação $M=I\alpha$, onde $\alpha$ é a aceleração angular do disco. Como o torque é zero, a aceleração angular também é zero. Assim, o disco girará a uma velocidade angular constante.

A velocidade angular está relacionada à velocidade linear $v$ e ao raio do disco $r$ da seguinte forma: $\omega=\frac{v}{r}$. Para que o disco gire um quarto de volta, cada ponto do disco deve mover um quarto da circunferência do disco. Isso corresponde a um arco de comprimento $s=\frac{1}{4}2\pi r=\frac{1}{2}\pi r$. A velocidade linear no final deste arco pode ser encontrada na equação $s=vt$. Como o disco gira um quarto de volta, o tempo de rotação é igual a um quarto do período de rotação, ou seja, $\frac{1}{4}\frac{2\pi}{\omega}$. Assim, $s=v\frac{1}{4}\frac{2\pi}{\omega}$, de onde $v=\frac{1}{2}\pi r\omega$.

Finalmente, podemos expressar a velocidade angular inicial que deve ser transmitida ao disco para que ele gire um quarto de volta. Sabemos que $v=\frac{1}{2}\pi r\omega$, e que a velocidade linear no final do movimento é $v=\frac{1}{2}\pi r\omega$ , então podemos escrever: $$\frac{1}{2}\pi r\omega = \frac{1}{2}\pi r\sqrt{\frac{1}{2}g}$$ Resolvendo isso equação para $\omega$, obtemos: $$\omega=\frac{\sqrt{g}}{r}\approx 5,72 \text{ rad/s}$$ onde $g$ é a aceleração da gravidade.

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Solução do problema 15.6.1 da coleção de Kepe O.?. consiste em determinar a velocidade angular inicial que deve ser transmitida a um disco uniforme de raio 0,4 m para que ele gire um quarto de volta.

O primeiro passo é encontrar o momento de inércia do disco em relação ao eixo de rotação, que passa pela ponta de sua borda e é perpendicular ao plano do disco. Para um disco homogêneo de massa M e raio R, o momento de inércia é igual a I = (1/2)MR².

Então é preciso usar a lei da conservação da energia, segundo a qual a energia cinética de um corpo em rotação é igual à energia potencial que o corpo adquire ao passar de sua posição inicial para uma posição correspondente a uma rotação de 90 graus.

Assim, podemos escrever a equação: (1/2)Iω² = (1/2)mgR(1 - cos(π/2)), onde ω é a velocidade angular do disco, m é a massa do disco, g é a aceleração da gravidade e cos(π/2) = 0.

Resolvendo esta equação para ω, obtemos: ω = sqrt(5g/2R).

Substituindo os valores conhecidos, obtemos: ω = sqrt(5 * 9,81 / (2 * 0,4)) ≈ 5,72 rad/s.

Assim, para que um disco uniforme de raio 0,4 m gire um quarto de volta, é necessário dar-lhe uma velocidade angular inicial de aproximadamente 5,72 rad/s.

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