Lösung zu Aufgabe 15.6.1 aus der Sammlung von Kepe O.E.

15.6.1 Eine gleichmäßige Scheibe mit einem Radius von 0,4 m kann sich um eine horizontale Achse drehen, die senkrecht zur Scheibenebene verläuft und durch einen Punkt auf ihrem Rand verläuft. Welche Anfangswinkelgeschwindigkeit muss der Scheibe verliehen werden, damit sie sich um eine Vierteldrehung dreht? (Antwort 5.72)

Nehmen wir an, dass die anfängliche Winkelgeschwindigkeit der Scheibe $\omega$ beträgt. Nehmen wir außerdem an, dass $I$ das Trägheitsmoment der Scheibe relativ zur horizontalen Rotationsachse und $M$ das Moment der auf die Scheibe wirkenden Kräfte bezeichnet. Da sich die Scheibe im Gleichgewicht befindet, muss das Kraftmoment Null sein.

Das Trägheitsmoment der Scheibe ist gleich $I=\frac{1}{2}mr^2$, wobei $m$ die Masse der Scheibe und $r$ der Radius der Scheibe ist. Für eine gegebene Scheibe $I=\frac{1}{2}m(0,4\text{ m})^2=0,08m \text{ m}^2$.

Die Winkelbeschleunigung der Scheibe kann aus der Gleichung $M=I\alpha$ ermittelt werden, wobei $\alpha$ die Winkelbeschleunigung der Scheibe ist. Da das Drehmoment Null ist, ist auch die Winkelbeschleunigung Null. Somit dreht sich die Scheibe mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit.

Die Winkelgeschwindigkeit hängt wie folgt mit der Lineargeschwindigkeit $v$ und dem Scheibenradius $r$ zusammen: $\omega=\frac{v}{r}$. Damit sich die Scheibe um eine Vierteldrehung dreht, muss sich jeder Punkt auf der Scheibe um ein Viertel des Scheibenumfangs bewegen. Dies entspricht einem Bogen der Länge $s=\frac{1}{4}2\pi r=\frac{1}{2}\pi r$. Die lineare Geschwindigkeit am Ende dieses Bogens kann aus der Gleichung $s=vt$ ermittelt werden. Da sich die Scheibe um eine Vierteldrehung dreht, entspricht die Rotationszeit einem Viertel der Rotationsperiode, also $\frac{1}{4}\frac{2\pi}{\omega}$. Somit ist $s=v\frac{1}{4}\frac{2\pi}{\omega}$, woraus $v=\frac{1}{2}\pi r\omega$.

Jetzt können wir die anfängliche Winkelgeschwindigkeit ausdrücken, die der Scheibe verliehen werden muss, damit sie sich um eine Vierteldrehung dreht. Wir wissen, dass $v=\frac{1}{2}\pi r\omega$ und dass die lineare Geschwindigkeit am Ende der Bewegung $v=\frac{1}{2}\pi r\omega$ beträgt , also können wir schreiben:

$$\frac{1}{2}\pi r\omega = \frac{1}{2}\pi r\sqrt{\frac{1}{2}g}$$

Wenn wir diese Gleichung nach $\omega$ auflösen, erhalten wir:

$$\omega=\frac{\sqrt{g}}{r}\ca. 5,72 \text{ rad/s}$$

wobei $g$ die Erdbeschleunigung ist. Somit kann die anfängliche Winkelgeschwindigkeit, die der Scheibe verliehen werden muss, damit sie sich um eine Vierteldrehung dreht, mit ungefähr 5,72 rad/s berechnet werden.

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Unser digitaler Warenshop bietet eine Lösung für Problem 15.6.1 aus der Sammlung von Kepe O.?. Das Problem besteht darin, die anfängliche Winkelgeschwindigkeit zu bestimmen, die einer gleichmäßigen Scheibe mit einem Radius von 0,4 m verliehen werden muss, damit sie sich eine Vierteldrehung um eine horizontale Achse dreht, die senkrecht zur Scheibenebene steht und durch einen Punkt auf ihrem Rand verläuft.

Um das Problem zu lösen, verwenden wir die Gleichungen der Mechanik. Das Trägheitsmoment der Scheibe ist gleich $I=\frac{1}{2}mr^2$, wobei $m$ die Masse der Scheibe und $r$ der Radius der Scheibe ist. Für eine gegebene Scheibe $I=\frac{1}{2}m(0,4\text{ m})^2=0,08m \text{ m}^2$. Die Winkelbeschleunigung der Scheibe kann aus der Gleichung $M=I\alpha$ ermittelt werden, wobei $\alpha$ die Winkelbeschleunigung der Scheibe ist. Da das Drehmoment Null ist, ist auch die Winkelbeschleunigung Null. Somit dreht sich die Scheibe mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit.

Die Winkelgeschwindigkeit hängt wie folgt mit der Lineargeschwindigkeit $v$ und dem Scheibenradius $r$ zusammen: $\omega=\frac{v}{r}$. Damit sich die Scheibe um eine Vierteldrehung dreht, muss sich jeder Punkt auf der Scheibe um ein Viertel des Scheibenumfangs bewegen. Dies entspricht einem Bogen der Länge $s=\frac{1}{4}2\pi r=\frac{1}{2}\pi r$. Die lineare Geschwindigkeit am Ende dieses Bogens kann aus der Gleichung $s=vt$ ermittelt werden. Da sich die Scheibe um eine Vierteldrehung dreht, entspricht die Rotationszeit einem Viertel der Rotationsperiode, also $\frac{1}{4}\frac{2\pi}{\omega}$. Somit ist $s=v\frac{1}{4}\frac{2\pi}{\omega}$, woraus $v=\frac{1}{2}\pi r\omega$.

Schließlich können wir die anfängliche Winkelgeschwindigkeit ausdrücken, die der Scheibe verliehen werden muss, damit sie sich um eine Vierteldrehung dreht. Wir wissen, dass $v=\frac{1}{2}\pi r\omega$ und dass die lineare Geschwindigkeit am Ende der Bewegung $v=\frac{1}{2}\pi r\omega$ beträgt , also können wir schreiben: $$\frac{1}{2}\pi r\omega = \frac{1}{2}\pi r\sqrt{\frac{1}{2}g}$$ Dies lösen Gleichung für $\omega$ erhalten wir: $$\omega=\frac{\sqrt{g}}{r}\ca. 5,72 \text{ rad/s}$$ wobei $g$ die Erdbeschleunigung ist.

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Lösung zu Aufgabe 15.6.1 aus der Sammlung von Kepe O.?. besteht darin, die anfängliche Winkelgeschwindigkeit zu bestimmen, die einer gleichmäßigen Scheibe mit einem Radius von 0,4 m verliehen werden muss, damit sie sich um eine Vierteldrehung dreht.

Der erste Schritt besteht darin, das Trägheitsmoment der Scheibe relativ zur Drehachse zu ermitteln, die durch die Spitze ihres Randes verläuft und senkrecht zur Scheibenebene steht. Für eine homogene Scheibe der Masse M und des Radius R ist das Trägheitsmoment gleich I = (1/2)MR².

Dann müssen Sie den Energieerhaltungssatz anwenden, nach dem die kinetische Energie eines rotierenden Körpers gleich der potentiellen Energie ist, die der Körper erhält, wenn er sich von seiner Ausgangsposition in eine Position bewegt, die einer Drehung um 90 Grad entspricht.

Somit können wir die Gleichung schreiben: (1/2)Iω² = (1/2)mgR(1 - cos(π/2)), wobei ω die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe ist, m die Masse der Scheibe ist, g ist die Erdbeschleunigung und cos(π/2) = 0.

Wenn wir diese Gleichung nach ω auflösen, erhalten wir: ω = sqrt(5g/2R).

Wenn wir die bekannten Werte einsetzen, erhalten wir: ω = sqrt(5 * 9,81 / (2 * 0,4)) ≈ 5,72 rad/s.

Damit sich eine gleichmäßige Scheibe mit einem Radius von 0,4 m um eine Vierteldrehung drehen kann, muss ihr eine Anfangswinkelgeschwindigkeit von etwa 5,72 rad/s verliehen werden.

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