Kepe O.E 컬렉션의 문제 15.6.1에 대한 솔루션입니다.

15.6.1 반경 0.4m의 균일한 디스크는 디스크 평면에 수직이고 가장자리의 한 점을 통과하는 수평 축을 중심으로 회전할 수 있습니다. 디스크가 1/4회전하려면 디스크에 어떤 초기 각속도를 부여해야 합니까? (답변 5.72)

디스크의 초기 각속도가 $\omega$라고 가정해보자. 또한 $I$는 수평 회전축에 대한 디스크의 관성 모멘트를 나타내고 $M$은 디스크에 작용하는 힘의 모멘트를 나타낸다고 가정합니다. 디스크가 평형 상태에 있으므로 힘의 모멘트는 0이 되어야 합니다.

디스크의 관성 모멘트는 $I=\frac{1}{2}mr^2$와 같습니다. 여기서 $m$는 디스크의 질량이고 $r$는 디스크의 반경입니다. 특정 디스크 $I=\frac{1}{2}m(0.4\text{m})^2=0.08m \text{m}^2$에 대해.

디스크의 각가속도는 방정식 $M=I\alpha$에서 찾을 수 있습니다. 여기서 $\alpha$는 디스크의 각가속도입니다. 토크가 0이므로 각가속도도 0입니다. 따라서 디스크는 일정한 각속도로 회전합니다.

각속도는 $\omega=\frac{v}{r}$와 같이 선형 속도 $v$ 및 디스크 반경 $r$와 관련됩니다. 디스크가 1/4바퀴 회전하려면 디스크의 각 지점이 디스크 원주의 1/4만큼 이동해야 합니다. 이는 $s=\frac{1}{4}2\pi r=\frac{1}{2}\pi r$ 길이의 호에 해당합니다. 이 호 끝의 선형 속도는 $s=vt$ 방정식에서 찾을 수 있습니다. 디스크가 1/4바퀴 회전하므로 회전 시간은 회전 주기의 1/4, 즉 $\frac{1}{4}\frac{2\pi}{\omega}$와 같습니다. 따라서 $s=v\frac{1}{4}\frac{2\pi}{\omega}$, 여기서 $v=\frac{1}{2}\pi r\omega$입니다.

이제 디스크가 1/4 회전하기 위해 디스크에 전달되어야 하는 초기 각속도를 표현할 수 있습니다. 우리는 $v=\frac{1}{2}\pi r\omega$를 알고 있으며 움직임이 끝날 때의 선형 속도는 $v=\frac{1}{2}\pi r\omega$입니다. , 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

$$\frac{1}{2}\pi r\omega = \frac{1}{2}\pi r\sqrt{\frac{1}{2}g}$$

$\omega$에 대한 이 방정식을 풀면 다음을 얻습니다.

$$\omega=\frac{\sqrt{g}}{r}\약 5.72 \text{ rad/s}$$

여기서 $g$는 중력 가속도입니다. 따라서 디스크가 1/4 회전하기 위해 디스크에 전달되어야 하는 초기 각속도는 약 5.72 rad/s로 계산될 수 있습니다.

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저희 디지털 상품 매장에서는 Kepe O.? 컬렉션의 문제 15.6.1에 대한 솔루션을 제공합니다. 문제는 반경 0.4m의 균일한 디스크가 디스크 평면에 수직이고 가장자리의 한 점을 통과하는 수평 축을 중심으로 1/4 회전하도록 전달되어야 하는 초기 각속도를 결정하는 것입니다.

문제를 해결하기 위해 우리는 역학 방정식을 사용합니다. 디스크의 관성 모멘트는 $I=\frac{1}{2}mr^2$와 같습니다. 여기서 $m$는 디스크의 질량이고 $r$는 디스크의 반경입니다. 특정 디스크 $I=\frac{1}{2}m(0.4\text{m})^2=0.08m \text{m}^2$에 대해. 디스크의 각가속도는 방정식 $M=I\alpha$에서 찾을 수 있습니다. 여기서 $\alpha$는 디스크의 각가속도입니다. 토크가 0이므로 각가속도도 0입니다. 따라서 디스크는 일정한 각속도로 회전합니다.

각속도는 $\omega=\frac{v}{r}$와 같이 선형 속도 $v$ 및 디스크 반경 $r$와 관련됩니다. 디스크가 1/4바퀴 회전하려면 디스크의 각 지점이 디스크 원주의 1/4만큼 이동해야 합니다. 이는 $s=\frac{1}{4}2\pi r=\frac{1}{2}\pi r$ 길이의 호에 해당합니다. 이 호 끝의 선형 속도는 $s=vt$ 방정식에서 찾을 수 있습니다. 디스크가 1/4바퀴 회전하므로 회전 시간은 회전 주기의 1/4, 즉 $\frac{1}{4}\frac{2\pi}{\omega}$와 같습니다. 따라서 $s=v\frac{1}{4}\frac{2\pi}{\omega}$, 여기서 $v=\frac{1}{2}\pi r\omega$입니다.

마지막으로, 디스크가 1/4 회전하기 위해 디스크에 전달되어야 하는 초기 각속도를 표현할 수 있습니다. 우리는 $v=\frac{1}{2}\pi r\omega$를 알고 있으며 움직임이 끝날 때의 선형 속도는 $v=\frac{1}{2}\pi r\omega$입니다. 이므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다: $$\frac{1}{2}\pi r\omega = \frac{1}{2}\pi r\sqrt{\frac{1}{2}g}$$ $\omega$에 대한 방정식을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다. $$\omega=\frac{\sqrt{g}}{r}\about 5.72 \text{ rad/s}$$ 여기서 $g$는 중력 가속도입니다.

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Kepe O.? 컬렉션의 문제 15.6.1에 대한 솔루션입니다. 반경 0.4m의 균일한 디스크가 1/4회전하도록 전달되어야 하는 초기 각속도를 결정하는 것으로 구성됩니다.

첫 번째 단계는 디스크의 가장자리 지점을 통과하고 디스크 평면에 수직인 회전축에 대한 디스크의 관성 모멘트를 찾는 것입니다. 질량이 M이고 반경이 R인 균질 디스크의 경우 관성 모멘트는 I = (1/2)MR²와 같습니다.

그런 다음 회전체의 운동 에너지가 초기 위치에서 90도 회전에 해당하는 위치로 이동할 때 몸체가 획득하는 위치 에너지와 동일하다는 에너지 보존 법칙을 사용해야 합니다.

따라서 방정식을 쓸 수 있습니다: (1/2)IΩ² = (1/2)mgR(1 - cos(π/2)), 여기서 Ω는 디스크의 각속도, m은 디스크의 질량, g는 중력 가속도이고 cos(π/2) = 0입니다.

Ω에 대한 이 방정식을 풀면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다. Ω = sqrt(5g/2R).

알려진 값을 대체하면 다음과 같은 결과를 얻습니다. Ω = sqrt(5 * 9.81 / (2 * 0.4)) ≒ 5.72 rad/s.

따라서 반경 0.4m의 균일한 디스크가 1/4회전하려면 약 5.72rad/s의 초기 각속도가 필요합니다.

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