15.6.1 Un disco uniforme di raggio 0,4 m può ruotare attorno a un asse orizzontale perpendicolare al piano del disco e passante per un punto sul suo bordo. Quale velocità angolare iniziale bisogna impartire al disco affinché compia un quarto di giro? (Risposta 5.72)
Supponiamo che la velocità angolare iniziale del disco sia $\omega$. Supponiamo anche che $I$ denoti il momento di inerzia del disco rispetto all'asse di rotazione orizzontale e $M$ denoti il momento delle forze che agiscono sul disco. Poiché il disco è in equilibrio, il momento della forza deve essere zero.
Il momento di inerzia del disco è uguale a $I=\frac{1}{2}mr^2$, dove $m$ è la massa del disco e $r$ è il raggio del disco. Per un dato disco $I=\frac{1}{2}m(0.4\text{ m})^2=0.08m \text{ m}^2$.
L'accelerazione angolare del disco può essere trovata dall'equazione $M=I\alpha$, dove $\alpha$ è l'accelerazione angolare del disco. Poiché la coppia è nulla, anche l'accelerazione angolare è nulla. Pertanto, il disco ruoterà con una velocità angolare costante.
La velocità angolare è correlata alla velocità lineare $v$ e al raggio del disco $r$ come segue: $\omega=\frac{v}{r}$. Affinché il disco possa compiere un quarto di giro, ogni punto del disco deve spostarsi di un quarto della circonferenza del disco. Ciò corrisponde ad un arco di lunghezza $s=\frac{1}{4}2\pi r=\frac{1}{2}\pi r$. La velocità lineare alla fine di questo arco può essere trovata dall'equazione $s=vt$. Poiché il disco ruota di un quarto di giro, il tempo di rotazione è pari a un quarto del periodo di rotazione, cioè $\frac{1}{4}\frac{2\pi}{\omega}$. Pertanto, $s=v\frac{1}{4}\frac{2\pi}{\omega}$, da cui $v=\frac{1}{2}\pi r\omega$.
Ora possiamo esprimere la velocità angolare iniziale che occorre impartire al disco affinché possa compiere un quarto di giro. Sappiamo che $v=\frac{1}{2}\pi r\omega$, e che la velocità lineare alla fine del movimento è $v=\frac{1}{2}\pi r\omega$ , quindi possiamo scrivere:
$$\frac{1}{2}\pi r\omega = \frac{1}{2}\pi r\sqrt{\frac{1}{2}g}$$
Risolvendo questa equazione per $\omega$, otteniamo:
$$\omega=\frac{\sqrt{g}}{r}\circa 5,72 \text{ rad/s}$$
dove $g$ è l'accelerazione di gravità. Pertanto, la velocità angolare iniziale che deve essere impartita al disco affinché possa ruotare di un quarto di giro può essere calcolata come circa 5,72 rad/s.
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Il nostro negozio di beni digitali offre una soluzione al problema 15.6.1 dalla collezione di Kepe O.?. Il problema è determinare la velocità angolare iniziale che deve essere impartita ad un disco uniforme di raggio 0,4 m affinché ruoti di un quarto di giro attorno ad un asse orizzontale perpendicolare al piano del disco e passante per un punto del suo bordo.
Per risolvere il problema utilizziamo le equazioni della meccanica. Il momento di inerzia del disco è uguale a $I=\frac{1}{2}mr^2$, dove $m$ è la massa del disco e $r$ è il raggio del disco. Per un dato disco $I=\frac{1}{2}m(0.4\text{ m})^2=0.08m \text{ m}^2$. L'accelerazione angolare del disco può essere trovata dall'equazione $M=I\alpha$, dove $\alpha$ è l'accelerazione angolare del disco. Poiché la coppia è nulla, anche l'accelerazione angolare è nulla. Pertanto, il disco ruoterà con una velocità angolare costante.
La velocità angolare è correlata alla velocità lineare $v$ e al raggio del disco $r$ come segue: $\omega=\frac{v}{r}$. Affinché il disco possa compiere un quarto di giro, ogni punto del disco deve spostarsi di un quarto della circonferenza del disco. Ciò corrisponde ad un arco di lunghezza $s=\frac{1}{4}2\pi r=\frac{1}{2}\pi r$. La velocità lineare alla fine di questo arco può essere trovata dall'equazione $s=vt$. Poiché il disco ruota di un quarto di giro, il tempo di rotazione è pari a un quarto del periodo di rotazione, cioè $\frac{1}{4}\frac{2\pi}{\omega}$. Pertanto, $s=v\frac{1}{4}\frac{2\pi}{\omega}$, da cui $v=\frac{1}{2}\pi r\omega$.
Infine possiamo esprimere la velocità angolare iniziale che occorre impartire al disco affinché possa compiere un quarto di giro. Sappiamo che $v=\frac{1}{2}\pi r\omega$, e che la velocità lineare alla fine del movimento è $v=\frac{1}{2}\pi r\omega$ , quindi possiamo scrivere: $$\frac{1}{2}\pi r\omega = \frac{1}{2}\pi r\sqrt{\frac{1}{2}g}$$ Risolvere questo problema dall'equazione $\omega$, otteniamo: $$\omega=\frac{\sqrt{g}}{r}\about 5.72 \text{ rad/s}$$ dove $g$ è l'accelerazione di gravità.
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Soluzione al problema 15.6.1 dalla collezione di Kepe O.?. consiste nel determinare la velocità angolare iniziale che bisogna impartire ad un disco uniforme di raggio 0,4 m affinché compia un quarto di giro.
Il primo passo è trovare il momento d'inerzia del disco rispetto all'asse di rotazione, che passa per la punta del suo bordo ed è perpendicolare al piano del disco. Per un disco omogeneo di massa M e raggio R, il momento d'inerzia è pari a I = (1/2)MR².
Quindi è necessario utilizzare la legge di conservazione dell'energia, secondo la quale l'energia cinetica di un corpo rotante è uguale all'energia potenziale che il corpo acquisisce quando si sposta dalla sua posizione iniziale a una posizione corrispondente a una rotazione di 90 gradi.
Pertanto, possiamo scrivere l'equazione: (1/2)Iω² = (1/2)mgR(1 - cos(π/2)), dove ω è la velocità angolare del disco, m è la massa del disco, g è l'accelerazione di gravità e cos(π/2) = 0.
Risolvendo questa equazione per ω, otteniamo: ω = sqrt(5g/2R).
Sostituendo i valori noti, otteniamo: ω = sqrt(5 * 9,81 / (2 * 0,4)) ≈ 5,72 rad/s.
Pertanto, affinché un disco uniforme di raggio 0,4 m possa ruotare di un quarto di giro, è necessario imprimergli una velocità angolare iniziale di circa 5,72 rad/s.
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