Řešení problému 15.6.1 ze sbírky Kepe O.E.

Stažení Zrcadlo

15.6.1 Jednotný disk o poloměru 0,4 m se může otáčet kolem vodorovné osy kolmé k rovině disku a procházející bodem na jeho okraji. Jakou počáteční úhlovou rychlost je třeba udělit disku, aby se otočil o čtvrt otáčky? (Odpověď 5.72)

Předpokládejme, že počáteční úhlová rychlost disku je $\omega$. Předpokládejme také, že $I$ značí moment setrvačnosti disku vzhledem k vodorovné ose rotace a $M$ moment sil působících na disk. Protože je disk v rovnováze, moment síly musí být nulový.
Moment setrvačnosti disku je roven $I=\frac{1}{2}mr^2$, kde $m$ je hmotnost disku a $r$ je poloměr disku. Pro daný disk $I=\frac{1}{2}m(0,4\text{m})^2=0,08m \text{ m}^2$.
Úhlové zrychlení disku lze zjistit z rovnice $M=I\alpha$, kde $\alpha$ je úhlové zrychlení disku. Protože točivý moment je nulový, úhlové zrychlení je také nulové. Disk se tedy bude otáčet konstantní úhlovou rychlostí.
Úhlová rychlost souvisí s lineární rychlostí $v$ a poloměrem disku $r$ následovně: $\omega=\frac{v}{r}$. Aby se disk otočil o čtvrt otáčky, musí se každý bod na disku posunout o čtvrtinu obvodu disku. To odpovídá oblouku délky $s=\frac{1}{4}2\pi r=\frac{1}{2}\pi r$. Lineární rychlost na konci tohoto oblouku lze zjistit z rovnice $s=vt$. Protože se disk otočí o čtvrtinu otáčky, doba rotace se rovná čtvrtině doby rotace, tedy $\frac{1}{4}\frac{2\pi}{\omega}$. Tedy $s=v\frac{1}{4}\frac{2\pi}{\omega}$, odkud $v=\frac{1}{2}\pi r\omega$.
Nyní můžeme vyjádřit počáteční úhlovou rychlost, která se musí udělit disku, aby se otočil o čtvrt otáčky. Víme, že $v=\frac{1}{2}\pi r\omega$ a že lineární rychlost na konci pohybu je $v=\frac{1}{2}\pi r\omega$ , takže můžeme napsat:
$$\frac{1}{2}\pi r\omega = \frac{1}{2}\pi r\sqrt{\frac{1}{2}g}$$
Řešením této rovnice pro $\omega$ dostaneme:
$$\omega=\frac{\sqrt{g}}{r}\cca 5,72 \text{ rad/s}$$
kde $g$ je gravitační zrychlení. Počáteční úhlovou rychlost, která musí být udělena disku, aby se otočil o čtvrtinu otáčky, lze tedy vypočítat jako přibližně 5,72 rad/s.
Vítejte v našem obchodě s digitálním zbožím! S potěšením vám představujeme náš nový produkt - řešení problému 15.6.1 z kolekce Kepe O.?.
Naše řešení je prezentováno ve vhodném formátu HTML, který vám umožňuje pohodlně prohlížet a studovat materiál. Můžete snadno najít potřebné informace a rychle pochopit složitost řešení tohoto problému.
Vynaložili jsme veškeré úsilí, abychom vám poskytli krásný a pohodlný design, abyste si mohli užívat náš produkt.
Zakoupením našeho řešení problému získáváte vysoce kvalitní produkt, který vám pomůže toto téma úspěšně zvládnout a získat potřebné znalosti. Nenechte si ujít příležitost zakoupit si náš digitální produkt a zlepšit své znalosti fyziky!
Náš obchod s digitálním zbožím nabízí řešení problému 15.6.1 z kolekce Kepe O.?. Problém je určit počáteční úhlovou rychlost, která musí být udělena jednotnému disku o poloměru 0,4 m tak, aby se otočil o čtvrt otáčky kolem vodorovné osy kolmé k rovině disku a procházející bodem na jeho okraji.
K řešení problému používáme rovnice mechaniky. Moment setrvačnosti disku je roven $I=\frac{1}{2}mr^2$, kde $m$ je hmotnost disku a $r$ je poloměr disku. Pro daný disk $I=\frac{1}{2}m(0,4\text{m})^2=0,08m \text{ m}^2$. Úhlové zrychlení disku lze zjistit z rovnice $M=I\alpha$, kde $\alpha$ je úhlové zrychlení disku. Protože točivý moment je nulový, úhlové zrychlení je také nulové. Disk se tedy bude otáčet konstantní úhlovou rychlostí.
Úhlová rychlost souvisí s lineární rychlostí $v$ a poloměrem disku $r$ následovně: $\omega=\frac{v}{r}$. Aby se disk otočil o čtvrt otáčky, musí se každý bod na disku posunout o čtvrtinu obvodu disku. To odpovídá oblouku délky $s=\frac{1}{4}2\pi r=\frac{1}{2}\pi r$. Lineární rychlost na konci tohoto oblouku lze zjistit z rovnice $s=vt$. Protože se disk otočí o čtvrtinu otáčky, doba rotace se rovná čtvrtině doby rotace, tedy $\frac{1}{4}\frac{2\pi}{\omega}$. Tedy $s=v\frac{1}{4}\frac{2\pi}{\omega}$, odkud $v=\frac{1}{2}\pi r\omega$.
Nakonec můžeme vyjádřit počáteční úhlovou rychlost, která se musí udělit disku, aby se otočil o čtvrt otáčky. Víme, že $v=\frac{1}{2}\pi r\omega$ a že lineární rychlost na konci pohybu je $v=\frac{1}{2}\pi r\omega$ , takže můžeme napsat: $$\frac{1}{2}\pi r\omega = \frac{1}{2}\pi r\sqrt{\frac{1}{2}g}$$ Řešení tohoto rovnice pro $\omega$, dostaneme: $$\omega=\frac{\sqrt{g}}{r}\cca 5,72 \text{ rad/s}$$ kde $g$ je gravitační zrychlení.
Naše řešení je prezentováno ve vhodném formátu HTML, který vám umožňuje pohodlně prohlížet a studovat materiál. Vynaložili jsme veškeré úsilí, abychom vám poskytli krásný a pohodlný design, abyste si mohli užívat náš produkt. Zakoupením našeho řešení problému získáváte vysoce kvalitní produkt, který vám pomůže toto téma úspěšně zvládnout a získat potřebné znalosti.

***

Řešení problému 15.6.1 ze sbírky Kepe O.?. spočívá v určení počáteční úhlové rychlosti, kterou je třeba udělit jednotnému disku o poloměru 0,4 m, aby se otočil o čtvrt otáčky.

Prvním krokem je nalezení momentu setrvačnosti disku vzhledem k ose rotace, která prochází bodem jeho okraje a je kolmá k rovině disku. Pro homogenní disk o hmotnosti M a poloměru R je moment setrvačnosti roven I = (1/2)MR².

Pak je třeba použít zákon zachování energie, podle kterého se kinetická energie rotujícího tělesa rovná potenciální energii, kterou těleso získá při pohybu ze své výchozí polohy do polohy odpovídající otočení o 90 stupňů.

Můžeme tedy napsat rovnici: (1/2)Iω² = (1/2)mgR(1 - cos(π/2)), kde ω je úhlová rychlost disku, m je hmotnost disku, g je gravitační zrychlení a cos(π/2) = 0.

Řešením této rovnice pro ω dostaneme: ω = sqrt(5g/2R).

Dosazením známých hodnot získáme: ω = sqrt(5 * 9,81 / (2 * 0,4)) ≈ 5,72 rad/s.

Aby se tedy stejnoměrný disk o poloměru 0,4 m otočil o čtvrt otáčky, je nutné mu dát počáteční úhlovou rychlost přibližně 5,72 rad/s.

***

Velmi pohodlný digitální produkt pro řešení matematických problémů.
Vynikající řešení pro ty, kteří chtějí rychle a efektivně vyřešit problém 15.6.1.
Program vám pomůže ušetřit čas hledáním řešení problému v učebnici.
Digitální produkt je velmi přehledný a dostupný k použití.
Rychlý a kvalitní přístup k řešení problému díky tomuto digitálnímu produktu.
Program vám pomůže lépe porozumět látce a posílit vaše znalosti.
Vynikající kombinace ceny a kvality při použití digitálního produktu k řešení problému 15.6.1.