Solução D1-55 (Figura D1.5 condição 5 SM Targ 1989)

Solução para o problema D1-55 (Figura D1.5, condição 5, S.M. Targ, 1989)

Existe uma carga de massa D que se move em um tubo curvo ABC localizado em um plano vertical. As seções do tubo podem ser inclinadas ou horizontais (ver Figuras D1.0 - D1.9 e Tabela D1). No ponto A, a carga recebe uma velocidade inicial v0. Na seção AB, além da força da gravidade, a carga é influenciada por uma força constante Q (sua direção está indicada nas figuras) e uma força de resistência do meio R, que depende da velocidade v da carga e é dirigido contra o movimento. O atrito da carga no tubo na seção AB não é levado em consideração. No ponto B, a carga se move para a seção BC do tubo sem alterar sua velocidade, onde é atuada por uma força de atrito (coeficiente de atrito da carga no tubo f = 0,2) e uma força variável F, a projeção de qual Fx no eixo x é dado na tabela. A carga é considerada um ponto material. Denotamos a distância AB por l, o tempo de movimento da carga do ponto A ao ponto B por t1. Desprezaremos o atrito da carga no tubo na seção BC.

É necessário encontrar a lei do movimento de carga no trecho da aeronave, ou seja, expressão para a coordenada x do ponto D dependendo do tempo t, ou seja, x = f(t), onde x = BD.

A solução para este problema pode ser dividida em duas partes: o movimento da carga na seção AB e o movimento na seção BC.

Movimentação de carga no trecho AB.

A carga é influenciada pela força da gravidade D, pela força constante Q e pela força de resistência do meio R. A segunda lei de Newton para a carga tem a forma:

D - Q - R = Dv,

onde v é a velocidade da carga.

Considerando que a força de resistência do meio R é proporcional à velocidade v, ou seja, R = kv, onde k é alguma constante, obtemos:

D - Q - kv = Dv.

Assim, a equação para a movimentação de carga na seção AB tem a forma:

Dv + kv = D - Q.

Vamos introduzir a seguinte notação:

a = k/D, b = Q/D.

Então a equação do movimento pode ser escrita como:

v' + av = 1 - b,

onde v' = dv/dt.

A solução para esta equação diferencial linear é:

v = (1 - b)/a + Ce^(-at),

onde C é a constante de integração, que pode ser encontrada nas condições iniciais. No ponto A, a carga tem velocidade inicial v0, portanto, C = (v0 - (1 - b)/a).

Assim, a velocidade da carga na seção AB é igual a:

v = (v0 - (1 - b)/a)e^(-at) + (1 - b)/a.

Integrando a velocidade, encontramos a lei do movimento da carga na seção AB:

x = l - (1 - b)/a - ((v0 - (1 - b)/a)/a)(1 - e^(-at)) - (1 - b)/a*t - (1 /2)k/at^2.

Movimentação de carga no trecho da aeronave.

A carga é influenciada pela gravidade D, força variável F e força de atrito. A segunda lei de Newton para carga tem a forma:

D - F - fN = Dv',

onde N é a força normal, f é o coeficiente de atrito.

Considerando que a força normal é igual ao peso da carga na seção da aeronave, ou seja, N = D, e a projeção da força F no eixo x, igual a Fx, pode ser expressa em termos de tempo t, obtemos:

F = Fx(t).

Assim, a equação para a movimentação de carga no trecho da aeronave tem a forma:

Dv' = D - Fx(t) - fD.

Resolvendo esta equação diferencial, encontramos a lei do movimento da carga na seção da aeronave:

x = eu + v*t - (1/2)FX(t)/Dt ^ 2 + (1/2)ft^2.

Assim, a lei do movimento de carga no trecho da aeronave tem a forma:

x = eu + v*t - (1/2)FX(t)/Dt ^ 2 + (1/2)ft^2.

Assim, a lei completa de movimentação de carga na seção ABC pode ser escrita como:

x = l - (1 - b)/a - ((v0 - (1 - b)/a)/a)(1 - e^(-at)) - (1 - b)/at - (1/2)k/at ^ 2 + l + vt - (1/2)FX(t)/Dt ^ 2 + (1/2)ft^2.

Resposta: x = 2l - (1 - b)/a - ((v0 - (1 - b)/a)/a)(1 - e^(-at)) - (1 - b)/a*t - (1/2)k/at^2 - (1/2)FX(t)/Dt ^ 2 + (1/2)ft^2.

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A solução D1-55 descreve o movimento de uma carga de massa m, que recebe uma velocidade inicial v0 no ponto A e se move ao longo de um tubo curvo ABC localizado em um plano vertical. Na seção AB, além da força da gravidade, a carga é influenciada por uma força constante Q e uma força de resistência do meio R, que depende da velocidade da carga. No ponto B, a carga se move para a seção BC, onde, além da força da gravidade, é influenciada pela força de atrito e pela força variável F. O coeficiente de atrito da carga no tubo é f = 0,2.

Para encontrar a lei do movimento da carga na seção BC, é necessário conhecer a distância AB=l ou o tempo t1 de movimento da carga do ponto A ao ponto B. O atrito da carga no tubo na seção AB é negligenciado.

A tarefa é encontrar a função x=f(t), onde x=BD é a distância do ponto B ao ponto D, e t é o tempo de movimentação da carga no trecho da aeronave. Para resolver o problema é necessário utilizar dados da tabela e figuras D1.0-D1.9.

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